S2 · Statistics 2

Statistiques 2 (S2, papier WST02/01, 1 heure 30 minutes, 75 points, première évaluation juin 2020) suit S1 dans la voie appliquée : P1–P2 et S1 sont supposés. Le livret contient les tables binomiale, de Poisson et normale. Cette référence couvre les distributions binomiale et de Poisson avec leurs approximations, les variables aléatoires continues, la distribution uniforme, l'échantillonnage et le procédure complète de test d'hypothèse.

Indispensable pour S2 (non inclus dans le livret) :

Distribution binomiale : $n$ essais indépendants, probabilité constante $p$ — les deux hypothèses à énoncer dans le contexte. Distribution de Poisson : les événements se produisent individuellement, indépendamment, à un taux moyen constant — le taux les échelles ($\mathrm{Po}(\lambda)$ par minute donne $\mathrm{Po}(5\lambda)$ en 5 minutes). Moments viennent sous forme de formules : $np$ et $np(1-p)$ ; $\lambda$ et $\lambda$. Étant donné la moyenne et la variance d'une binomiale, résoudre pour $n$ et $p$ simultanément. L'approximation de Poisson de la binomiale nécessite $n$ grand et $p$ petit (utiliser $\lambda = np$).

Exemple résolu — moments puis approximations (WST02 juin 2025 Q3). Bonbons bleus par petit une sac a moyenne 3 et variance 2.55 : $np = 3$ et $np(1-p) = 2.55$ donnent $1 - p = 0.85$, donc $p = 0.15$ et $n = 20$. Un sac moyen de 40 avec 20% de vert : $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, et $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. Un grand sac de 80 avec 10% de jaune : avec $n = 80$ $p = 0.1$ satisfait $X\approx\mathrm{Po}(8)$ et $P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$. Densités par morceaux :

Une variable aléatoire continue possède une fonction de densité de probabilité $f$ dont l'aire totale est 1 et qui vaut $P(X = x) = 0$ en tout point ; la fonction de répartition cumulative $F(x) = P(X \le x)$ satisfait $f = F'$ et $F(a) = \int_{-\infty}^a f$. Densités par morceaux : normaliser $\int f = 1$ (ce qui détermine la constante inconnue), puis lire le médian ($F = \tfrac12$), les quartiles et le mode à partir du sommet de $f$ (posers $f' = 0$ ou inspecter les coins). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; skewness compare la moyenne, la médiane et le mode.

Exemple résolu — une FRC traitée étape par étape (WST02 juin 2025 Q1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ sur $[0, 1]$: $F(1) = 1$ donne $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. La médiane : $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, c'est-à-dire $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, donc $m = 0.671$. La modalité : $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ et $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ donne $x = 1$ (rejeter $-1$, hors du support). Asymétrie : moyenne $0.64 <$ médiane $0.671 <$ modalité $1$ — asymétrie négative.

Exemple résolu — une densité par morceaux linéaire, sans calculatrice (WST02 juin 2025 Q5). Avec $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ sur $[0, k]$ et $f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ sur $(k, 6]$ : normalisation,

donc $k = 3.5$ (la densité est continue là, les deux parties valant $\tfrac13$). Ensuite $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, et avec $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ donné, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.

La distribution uniforme continue sur $[a, b]$ Uniforme sur $[a, b]$ : densité $\tfrac1{b-a}$, CDF linéaire, moyenne $\tfrac{a+b}2$, variance $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. Deux faits fixent $a$ et $b$ (une probabilité d'intervalle donne $b - a$ ; la moyenne donne $a + b$). L'échelle codée décale la moyenne ; les probabilités sont des longueurs divisées par $b - a$.

Exemple résolu — uniforme sur un large intervalle (WST02 juin 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ convient aussi — mais ne garder qu'une racine pour toute la question). $E(cX + 1) = 3$ donne $c = \tfrac13$ ; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$ ; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.

Un recensement mesure tous les individus (complet mais coûteux, lent, potentiellement destructif); un échantillon mesure une partie (moins cher, plus rapide, mais avec une erreur d'échantillonnage). La liste d'échantillonnage répertorie les unités d'échantillonnage. Une statistique est une fonction des seules valeurs de l'échantillon (pas de paramètres inconnus) — $\bar X$ en est une, $\bar X - \mu$ n'en est pas ; sa distribution sur des échantillons répétés est la distribution d'échantillonnage.

Exemple résolu — une distribution d'échantillonnage (WST02 juin 2025 Q4). Trois perles tirées dans un sac de ratio 2:5 noir:blanc, attribuant 4 point par noir et 1 point par blanc : avec $P(\text{black}) = \tfrac27$, le score $X$ prend les valeurs 3, 6, 9, 12 avec des probabilités $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ compte 9 nécessite $n$, donc $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$. $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ nécessite $n > 15.6$, donc $n = 16$.

Un test d'hypothèse compare des données à un modèle nul.

Énoncez l'hypothèse nulle $H_0$ (aucun changement, paramètre citée) et $H_1$ (à une ou deux queues selon la demande). Trouvez la zone critique au niveau indiqué en accumulant les probabilités de queue jusqu'à ce qu'elles franchissent queue placent tout le niveau dans une seule queue ; ceux à deux queues le partagent. Conclure EN CONTEXTE : « preuves insuffisantes que … ait changé ». Approximations normales de la binomiale : moyenne $\alpha$, variance les tests placent tout le niveau dans une seule queue ; à deux queues, divisez-le par deux. Concluez EN CONTEXTE : « preuves insuffisantes que … a changé ». Approximations normales de la binomiale : moyenne $np$, variance $np(1-p)$, avec la correction de continuité (au moins $t$ signifie $t - 0.5$).

Exemple résolu — test de taux de Poisson (WST02 juin 2025 Q2). Les clients moyenne 20/heure; après modifications, un intervalle de 30 minutes est observé : $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$. Au niveau 3% : $P(X \le 3) = 0.0103$ mais $P(X \le 4) = 0.0293$ (trop grand); $P(X \ge 17) = 0.0270$ mais $P(X \ge 18) = 0.0143$ — région critique $X \le 3$ ou $X \ge 18$, niveau réel $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. L'observation 16 se trouve à l'extérieur → ne pas rejeter $H_0$.

Exemple résolu — test binomial avec approximation normale centrale (WST02 juin 2025 Q7). 30% des clients prennent une assurance ; un échantillon de 40 donne $X\sim B(40, 0.3)$. Plus grande valeur $r$ telle que $P(X < r) < 0.05$ (fewer than $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ but $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. Pour 200 clients, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$ : $P(X \ge t) = 0.9474$ signifie $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, donc $t = 50$. Après une offre spéciale, 11 sur 25 achètent : $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$ ; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, donc rejeter $H_0$ — preuve que la proportion a augmenté.

• Énoncer les hypothèses binomiales/Poisson dans le contexte ; résoudre les paires moyenne/variance pour $n$, $p$ ; adapter les taux de Poisson selon le temps.
• Normaliser les densités par morceaux (constantes, k carré parfait) ; dériver F pour obtenir f ; trouver médiane/quartiles depuis F, mode depuis f' ou coins ; calculer E(X), E(X²), Var ; lire l'asymétrie depuis moyenne-médiane-mode.
• Citer et dériver les propriétés de la loi uniforme ; déterminer a et b à partir d'un intervalle plus la moyenne ; conserver les probabilités comme des longueurs.
• Distinguer recensement vs échantillon avec avantages et inconvénients ; reconnaître les statistiques ; construire de petites distributions d'échantillonnage par énumération ; envelopper les comptes dans B(n, p) pour des suivis.
• Effectuer des tests unilatéraux et bilatéraux : hypothèses en symboles et mots, région critique par accumulation, niveau de signification réel, conclusion contextualisée ; approximation normale avec correction par continuité lorsque n est grand.