Potentiel électrique

Lorsque vous poussez deux charges similaires ensemble, vous effectuez un travail 功 contre la force électrique. Ce travail est stocké par la paire sous forme d'énergie potentielle électrique 电势能 :

$U_E$ est défini comme le travail qu'une force externe doit fournir pour amener les charges depuis l'infini jusqu'à une distance $r$ l'une de l'autre. Les signes portent la physique :

• Charges similaires : $U_E>0$. Une poussée extérieure était nécessaire pour les rassembler. Si on les relâche, elles s'éloignent, et l'énergie stockée devient énergie cinétique 动能.
• Charges opposées : $U_E<0$. La paire est liée. Vous devez fournir $|U_E|$ de travail pour les séparer jusqu'à l'infini.

La force électrique est une force conservative 保守力 : le travail qu'elle effectue dépend uniquement des points de départ et d'arrivée, pas du chemin, et est égal à $-\Delta U_E$.

Pour un système 系统 de plusieurs charges, additionnez l'énergie potentielle de chaque paire distincte :

Exemple résolu. Trois charges $+2.0\ \mu\text{C}$ sont placées aux coins d'un triangle équilatéral de côtés $0.30\ \text{m}$. Chaque paire stocke $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. Il y a trois paires, donc $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. C'est le travail nécessaire pour assembler le triangle depuis l'infini – et l'énergie cinétique que les charges partageraient si les trois étaient relâchées.

Potentiel électrique 电势 est l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Il est mesuré en volts ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$) :

Le potentiel est un scalaire 标量 : il a un signe mais pas de direction. Cela rend $V$ beaucoup plus facile à manipuler que le champ $\vec{E}$. Pour plusieurs charges ponctuelles 点电荷, utilisez la superposition scalaire 叠加 – additionnez les potentiels avec leurs signes :

Exemple résolu. Le potentiel $0.10\ \text{m}$ d'une charge ponctuelle $+3.0\ \text{nC}$ est $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Maintenant ajoutez une charge $-3.0\ \text{nC}$ $0.30\ \text{m}$ du même point : elle contribue $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, donc le total est $270-90=180\ \text{V}$. Juste une somme signée – aucune composante vectorielle à décomposer.

Distributions de charges continues

Pour une distribution de charge continue 连续电荷分布, découpez-la en petits morceaux $dq$, traitez chaque morceau comme une charge ponctuelle, et intégrez 积分 :

C'est une intégrale scalaire, c'est pourquoi elle est généralement bien plus simple que l'intégrale de champ. L'examen AP s'attend à ce que vous gériez quatre formes avec le calcul : un mince anneau (à un point sur son axe), un arc (à son centre), une ligne ou un fil fini (en colinéarité, ou sur sa médiatrice perpendiculaire) et un fil ou cylindre infini (à une distance de son axe).

Exemple résolu (anneau de charge). Un fin anneau de rayon $R$ porte une charge totale $Q$. Pour un point $P$ sur l'axe à une distance $z$ du centre, chaque élément $dq$ est situé à la même distance $r=\sqrt{R^2+z^2}$ de $P$. La distance est constante, donc elle sort de l'intégrale :

Sur une question ouverte, dites que $r$ est le même pour chaque élément – cette affirmation est l'étape notée. La même idée donne $V=kQ/R$ au centre de n'importe quel arc, quel que soit son angle.

Du potentiel au champ

Le potentiel et le champ contiennent les mêmes informations, liés par une dérivée dans chaque direction et par une intégrale de chemin :

Le champ est le négatif du gradient 梯度 du potentiel : $\vec{E}$ pointe du potentiel élevé vers le potentiel bas, « en descente ». Où $V$ change rapidement, le champ est fort.

Exemple résolu. Le long de l'axe $x$, $V(x)=3x^{2}-2x$ (volts, avec $x$ en mètres). Alors $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. En $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$ : le champ là-pointe dans la direction $-x$.

La différence de potentiel 电势差 entre deux points est le changement d'énergie potentielle par unité de charge déplacée entre eux : $\Delta V=\Delta U_E/q$. Une batterie crée une différence de potentiel chimiquement : les réactions à l'intérieur séparent la charge positive de la charge négative et maintiennent les bornes à une distance fixe $\Delta V$ l'une de l'autre.

Cartes équipotentielles

Une ligne équipotentielle 等势面 (aussi appelée isoline 等值线) joint des points partageant le même potentiel. Quatre règles permettent de lire n'importe quelle carte :

• Les isolines sont perpendiculaires 垂直 aux lignes de champ 电场线 partout où elles se croisent.
• $\vec{E}$ pointe du $V$ haut vers le $V$ bas – jamais le long d'une isoline. Déplacer une charge le long d'une isoline ne demande aucun travail.
• Des isolines rapprochées signifient un champ fort : $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
• Vous pouvez esquisser la carte du champ à partir d'une carte d'isolignes, et la carte d'isolignes à partir d'une carte de champ.

Compétence d'examen. Étant donné une carte avec des isolignes tous les $10\ \text{V}$ espacées d'environ $2\ \text{cm}$, estimez $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, pointant de la ligne de valeur plus élevée vers celle de valeur plus basse. Le travail qu'un agent externe effectue pour déplacer une charge $q$ lentement de $A$ à $B$ est $W=q(V_B-V_A)$ – le chemin pris n'a pas d'importance.

Lorsqu'une charge $q$ se déplace entre deux points dont le potentiel diffère de $\Delta V$, l'énergie potentielle du système charge-champ change de

Si seule la force électrique agit, l'énergie totale est conservée, donc l'énergie cinétique change de la quantité opposée :

Surveillez les deux signes ensemble : une charge positive accélère lorsqu'elle se déplace vers un potentiel inférieur, tandis qu'une charge négative accélère lorsqu'elle se déplace vers un potentiel supérieur. Les deux ne font que transformer l'énergie potentielle en énergie cinétique. C'est ainsi que les accélérateurs de particules donnent leur énergie aux particules chargées, et cela sous-tend l'analyse énergétique dans les circuits.

Exemple résolu. Un proton ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) part au repos et est accéléré à travers une chute de potentiel de $500\ \text{V}$ (il se déplace vers un potentiel plus bas, donc $\Delta V=-500\ \text{V}$ et $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Poser $\Delta K=\tfrac12 mv^2$ :

Compétence d'examen. Choisissez les méthodes énergétiques, pas la cinématique, chaque fois que le champ est non uniforme ou que le chemin est courbe : seuls les potentiels des points d'extrémité comptent. Une chaîne typique de questions ouvertes est $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, avec une ligne de justification : « la force électrique est conservative, donc l'énergie est conservée. »

• Reliez champ et potentiel par $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ et $\vec E=-\nabla V$ (en 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
• Le potentiel est un scalaire — additionnez les contributions avec leurs signes, aucune composante vectorielle requise.
• L'énergie potentielle d'une paire est $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$ ; utilisez la conservation de l'énergie pour la vitesse d'une charge.
• Sachez qu'aucun travail n'est effectué en se déplaçant le long d'une équipotentielle, qui est perpendiculaire à $\vec E$.
• Choisissez le zéro du potentiel (généralement l'infini) et énoncez-le.