Conducteurs et condensateurs

Dans un conducteur 导体 idéal, les électrons se déplacent librement. Ajoutez de la charge supplémentaire sur l'un et les charges se repoussent mutuellement jusqu'à ce qu'elles se stabilisent, presque instantanément, en équilibre électrostatique 静电平衡. Dans cet état, le conducteur possède quatre propriétés que vous devez être capable d'énoncer et d'utiliser :

• Le champ électrique à l'intérieur du conducteur est nul. S'il ne l'était pas, les électrons libres continueraient de se déplacer.
• Toute charge excédentaire repose à la surface. (Charge nette négative = électrons en surplus à la surface ; positive = carence d'électrons à cet endroit.)
• Le champ juste à l'extérieur est perpendiculaire 垂直 à la surface, d'amplitude $E=\sigma/\varepsilon_0$. Toute composante parallèle pousserait la charge latéralement le long de la surface.
• L'ensemble du conducteur constitue une seule surface equipotentielle 等势面 : chaque point, à l'intérieur comme à la surface, est au même potentiel.

La densité de charge est maximale là où la surface courbe fortement – aux points et bords –, donc le champ extérieur y est le plus intense. Dans un champ externe, un conducteur se polarise : les charges se déplacent sur sa surface pour que l'intérieur reste exempt de champ et que le corps reste une equipotentielle. Entourer une région avec une coque conductrice fermée bloque totalement les champs extérieurs – blindage électrostatique 静电屏蔽, le principe derrière la cage de Faraday 法拉第笼.

Lorsque deux conducteurs sont en contact (ou reliés par un fil), la charge circule entre eux jusqu'à ce que leurs surfaces atteignent le même potentiel – c'est cette condition qui arrête l'écoulement, et non « des charges égales ». Une sphère plus grande porte davantage de charge au même potentiel ($V=kQ/R$), elle absorbe donc la part majoritaire.

Exemple résolu. Une petite sphère de rayon $R$ portant $+6.0\ \mu\text{C}$ touche une sphère éloignée de rayon $2R$, puis elles se séparent. Des potentiels égaux exigent $\dfrac{kq_1}{R}=\dfrac{kq_2}{2R}$, donc $q_2=2q_1$. Avec $q_1+q_2=6.0\ \mu\text{C}$ : $q_1=2.0\ \mu\text{C}$ et $q_2=4.0\ \mu\text{C}$.

Mise à la terre 接地 est une référence idéalisée à zéro potentiel capable d'absorber ou de fournir n'importe quelle quantité de charge. Mettre un conducteur à la terre alors qu'une charge externe est proche laisse au conducteur une charge induite 感应电荷 nette : le champ externe repousse les charges d'un signe vers la terre, et si l'on coupe le fil de mise à la terre avant d'enlever la charge externe, le reste reste piégé.

Un condensateur 电容器 stocke de la charge sur deux conducteurs séparés par un espace : $+Q$ sur une plaque, $-Q$ sur l'autre. Sa capacitance 电容 relie la charge stockée à la différence de potentiel entre les plaques :

La capacitance dépend uniquement de la géométrie et du matériau dans l'espace – jamais de $Q$ ou $\Delta V$ eux-mêmes.

Démonstration résolue (plaques parallèles). Pour un condensateur à plaques parallèles 平行板电容器 avec aire de plaque $A$ et petit espace $d$ : la loi de Gauss combinée à la superposition 叠加 donne un champ uniforme uniforme entre les plaques, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$ (chaque plaque seule contribue $\sigma/2\varepsilon_0$ ; entre les plaques les deux s'additionnent, à l'extérieur ils s'annulent). Un champ uniforme implique $\Delta V=Ed=\dfrac{Qd}{\varepsilon_0 A}$, donc

Cette chaîne $E\to\Delta V\to C$ est une dérivation standard de FRQ – apprenez-la en trois étapes et citez chacune. La même méthode s'applique aux deux autres formes attendues par l'AP : sphères concentriques ($C=4\pi\varepsilon_0\dfrac{ab}{b-a}$) et cylindre coaxial de longueur $L$, où $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ donne $\Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{b}{a}$ et ainsi $C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$.

Exemple résolu. Plaques d'aire $A=0.020\ \text{m}^2$ et espace $d=1.0\ \text{mm}$ : $C=\dfrac{8.85\times10^{-12}(0.020)}{1.0\times10^{-3}}=1.8\times10^{-10}\ \text{F}$. Chargé à $100\ \text{V}$ il contient $Q=CV=1.8\times10^{-8}\ \text{C}$.

Parce que le champ entre les plaques est uniforme, une particule chargée subit une force constante, donc elle se déplace avec une accélération constante – exactement comme un mouvement de projectile 抛体运动 sous gravité : vitesse constante horizontalement, accélération uniforme vers une plaque.

Exemple résolu. Un électron entre à mi-chemin entre les plaques à $v_0=2.0\times10^{7}\ \text{m/s}$, parallèlement à celles-ci. Le champ est $E=1.0\times10^{3}\ \text{N/C}$ et les plaques ont $4.0\ \text{cm}$ de longueur. Accélération : $a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{(1.6\times10^{-19})(1.0\times10^{3})}{9.11\times10^{-31}}=1.8\times10^{14}\ \text{m/s}^2$. Temps entre les plaques : $t=\dfrac{0.040}{2.0\times10^{7}}=2.0\times10^{-9}\ \text{s}$. Déviation : $y=\tfrac12at^{2}=\tfrac12(1.8\times10^{14})(2.0\times10^{-9})^{2}\approx3.5\times10^{-4}\ \text{m}$ – environ $0.35\ \text{mm}$ vers la plaque positive.

Stocker de la charge nécessite un travail 功 : une force extérieure doit déplacer chaque portion de charge contre le champ de celle déjà présente. Le travail total se transforme en énergie potentielle stockée,

Le facteur $\tfrac12$ est l'aire du triangle sous la ligne $Q$–$\Delta V$ : le premier charge déplacé coûte presque rien, le dernier coûte le full $\Delta V$.

Les condensateurs se combinent à l'inverse des résistances : en parallèle 并联 les capacitances s'additionnent ($C_{\text{eq}}=C_1+C_2$, même $\Delta V$, charges s'additionnent), tandis qu'en série 串联 les inverses s'additionnent ($\tfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\tfrac{1}{C_1}+\tfrac{1}{C_2}$, même $Q$, tensions s'additionnent).

Exemple résolu. Un condensateur $2\ \mu\text{F}$ et un condensateur $4\ \mu\text{F}$ en série : $\tfrac{1}{C}=\tfrac12+\tfrac14$, donc $C=\tfrac43\ \mu\text{F}$. La même paire en parallèle : $6\ \mu\text{F}$.

Un diélectrique 电介质 est un isolant. Ses charges ne peuvent pas voyager librement, mais dans un champ externe chaque molécule s'étire ou pivote légèrement – le matériau devient polarisé 极化. Les molécules alignées créent leur propre petit champ opposé à celui appliqué, donc le champ net à l'intérieur du matériau diminue :

où $\kappa$ est la constante diélectrique 介电常数, rapport de la permittivité du matériau à la permittivité du vide 真空介电常数.

Remplir un condensateur avec un diélectrique multiplie sa capacitance :

Ce qui se passe ensuite dépend de ce qui reste fixe – un piège fréquent aux examens :

Exemple résolu. Un condensateur $100\ \text{pF}$ est chargé à $12\ \text{V}$, déconnecté, puis rempli d'un diélectrique $\kappa=3$. $Q$ est piégé, donc $\Delta V$ chute à $4\ \text{V}$ et l'énergie stockée tombe au tiers – l'énergie manquante a été utilisée pour tirer le diélectrique vers l'intérieur. Reconnecté à la batterie $12\ \text{V}$, le condensateur porterait trois fois plus de charge et trois fois plus d'énergie.

Compétence d'examen. Commencez toujours les questions sur les diélectriques en écrivant quelle grandeur est maintenue fixe ($Q$ ou $\Delta V$), puis laissez $C=\kappa C_0$ diriger tout le reste via $Q=C\Delta V$ et $U=\tfrac12 C(\Delta V)^2$.

• En équilibre électrostatique, un conducteur a $\vec E=0$ à l'intérieur et toute charge excédentaire à la surface.
• Appliquez la loi de Gauss $\oint \vec E\cdot d\vec A=\tfrac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ avec une surface gaussienne adaptée à la symétrie (sphère, cylindre, pilule).
• L'ensemble du conducteur est une seule equipotentielle, et le champ de surface est perpendiculaire à celle-ci.
• Pour un condensateur utilisez $C=\tfrac{Q}{V}$, énergie $U=\tfrac12 CV^2$, et comment un diélectrique élève $C$.
• Choisissez la surface gaussienne de sorte que $\vec E$ soit constant et parallèle (ou nul) sur chaque partie.