Équations différentielles

AP Calcul BC · Sujet 7

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7.1

Modélisation de situations avec des équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.A : Interpréter des énoncés verbaux de problèmes sous la forme d'équations différentielles impliquant une expression de dérivée.

FUN-7.A.1 Les équations différentielles relient une fonction d'une variable indépendante et les dérivées de cette fonction.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une équation différentielle 微分方程 relie une fonction à ses dérivées. De nombreuses situations réelles sont décrites par un taux : « la population croît à un taux proportionnel à sa taille » devient $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Poser l'équation à partir d'une description verbale – identifier ce qui change et à quoi il est proportionnel – est la première compétence.

7.2

Vérification des solutions pour les équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.B : Vérifier les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.B.1 Les dérivées peuvent être utilisées pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle donnée.
FUN-7.B.2 Il peut y avoir une infinité de solutions générales à une équation différentielle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une solution est une fonction qui satisfait l'équation. Pour vérifier une solution proposée, dérivez-la et substituez-la dans l'équation, en vérifiant que les deux côtés concordent. Une solution générale contient une constante $C$ ; une solution particulière fixe $C$ à partir d'une condition.

7.3

Tracer des champs de pentes

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.1 Un champ de pentes est une représentation graphique d'une équation différentielle sur un ensemble fini de points du plan.
FUN-7.C.2 Les champs de pentes fournissent des informations sur le comportement des solutions des équations différentielles du premier ordre.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Champs de pentes & courbes solutions

Un champ de pentes 斜率场 trace un court segment de ligne en de nombreux points, chacun ayant la pente $\dfrac{dy}{dx}$ que l'équation y donne. Il représente la famille des courbes solutions sans résoudre. Pour en dessiner un, évaluez le côté droit en chaque point de grille et tracez un segment de cette pente.

Un champ de pentes montre la gradient partout ; les courbes solutions le suivent — Un champ de pentes montre le gradient partout ; les courbes solutions le suivent

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Lire une équation différentielle comme un champ de pentes

Un champ de pentes dessine la pente $dy/dx$ à chaque point. Une courbe solution s'y insère, toujours tangente aux petits segments — vous pouvez la tracer en suivant le flux.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.4

Raisonnement à l'aide de champs de pentes

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.3 Les solutions aux équations différentielles sont des fonctions ou des familles de fonctions.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une courbe solution suit les segments comme un bateau suivant un courant. À partir d'un champ de pentes, vous pouvez esquisser la solution particulière passant par un point donné, décrire le comportement à long terme et localiser où les solutions s'aplatissent (pentes proches de zéro) – raisonner sur les solutions uniquement à partir de l'image.

7.5

Approximer des solutions en utilisant la méthode d'Euler

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.C : Estimer les solutions d'équations différentielles.

FUN-7.C.4 La méthode d'Euler fournit une procédure pour approximer une solution à une équation différentielle ou un point sur une courbe solution. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Méthode d'Euler

Méthode d'Euler 欧拉方法 approxime une solution numériquement en suivant le champ de pentes. Partant d'un point connu, faites un petit pas $\Delta x$ et mettez à jour :

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Répétez pour chaque étape. Des pas plus petits donnent une meilleure approximation. (C'est une technique uniquement pour BC.)

Compétence d'examen : savoir effectuer deux ou trois étapes d'Euler à la main à partir d'un tableau, et savoir que la méthode d'Euler sous-estime ou surestime selon la concavité de la solution.

Exemple résolu. Approximer $y(1)$ pour $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, avec un pas $\Delta x=0.5$. Étape 1 : la pente à $(0,1)$ est $0+1=1$, donc $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Étape 2 : la pente à $(0.5,1.5)$ est $0.5+1.5=2$, donc $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Trouver des solutions générales par séparation des variables

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.D : Déterminer des solutions générales d'équations différentielles.

FUN-7.D.1 Certaines équations différentielles peuvent être résolues par séparation des variables.
FUN-7.D.2 L'antidifférentiation peut être utilisée pour trouver des solutions générales d'équations différentielles.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

E. coli sous un microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle — E. coli au microscope : les équations différentielles modélisent la croissance exponentielle

Une équation différentielle séparable 可分离 peut être écrite avec tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrée :

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Cela produit la solution générale (avec une $+C$), la principale méthode analytique pour résoudre les équations différentielles dans ce cours.

Exercice résolu. Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=xy$ avec $y(0)=2$. En séparant, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ donne $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, donc $y=Ae^{x^2/2}$. La condition $y(0)=2$ donne $A=2$, donc $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Trouver des solutions particulières en utilisant des conditions initiales

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.E : Déterminer des solutions particulières d'équations différentielles.

FUN-7.E.1 Une solution générale peut décrire une infinité de solutions à une équation différentielle. Il n'y a qu'une seule solution particulière passant par un point donné.
FUN-7.E.2 La fonction $F$ définie par $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaisant $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Les solutions aux équations différentielles peuvent être soumises à des restrictions de domaine.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une condition initiale 初始条件 (un point connu, ex. $y(0)=5$) fixe la constante $C$. Résolvez la solution générale, substituez la condition pour trouver $C$, puis écrivez la solution particulière. Surveillez le domaine – une solution particulière n'est valide que sur l'intervalle contenant le point initial.

La constante donne une famille de courbes ; une condition initiale en sélectionne une

7.8

Modèles exponentiels avec des équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.F : Interpréter la signification d'une équation différentielle et de ses variables dans un contexte.

FUN-7.F.1 Des applications spécifiques de la recherche de solutions générales et particulières aux équations différentielles incluent le mouvement le long d'une droite et la croissance et la décroissance exponentielles.
FUN-7.F.2 Le modèle pour la croissance et la décroissance exponentielles qui découle de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel à sa taille » est $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objectif d'apprentissage FUN-7.G : Déterminer les solutions générales et particulières pour des problèmes impliquant des équations différentielles en contexte.

FUN-7.G.1 Le modèle de croissance et de décroissance exponentielle, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, avec condition initiale $y = y_0$ lorsque $t = 0$, a des solutions de la forme $y = y_0 e^{kt}$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Croissance exponentielle vs logistique

L'équation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ dit que le taux de changement est proportionnel à la quantité – donnant une croissance ou décroissance exponentielle 指数增长. Séparer les variables donne

$$y=y_0 e^{kt},$$

avec $k>0$ pour la croissance et $k<0$ pour la décroissance. Cela modélise la croissance de population illimitée, la désintégration radioactive et les intérêts composés continus.

Tasse de café refroidissant : la loi de refroidissement de Newton est un modèle classique d'équation différentielle

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Un modèle de croissance/décroissance exponentielle

y = a·e^(bx) + c

L'équation $dy/dt=ky$ a des solutions exponentielles : la quantité change à un taux proportionnel à elle-même, donnant une croissance illimitée ($k>0$) ou une décroissance vers zéro ($k<0$).

7.9

Modèles logistiques avec équations différentielles

Programme

Compréhension durable (FUN-7) : Résoudre des équations différentielles permet de déterminer des fonctions et de développer des modèles.

Objectif d'apprentissage FUN-7.H : Interpréter le sens du modèle de croissance logistique dans son contexte. SEULEMENT BC

FUN-7.H.1 Le modèle de croissance logistique découlant de l'énoncé « Le taux de variation d'une quantité est proportionnel conjointement à la taille de cette quantité et à la différence entre la quantité et sa capacité de charge » est $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. SEULEMENT BC
FUN-7.H.2 L'équation différentielle logistique et les conditions initiales peuvent être interprétées sans résoudre l'équation différentielle. SEULEMENT BC
FUN-7.H.3 La valeur limite (capacité de charge) d'une équation différentielle logistique lorsque la variable indépendante tend vers l'infini peut être déterminée à l'aide du modèle de croissance logistique et des conditions initiales. SEULEMENT BC
FUN-7.H.4 La valeur de la variable dépendante dans une équation différentielle logistique au moment où elle varie le plus rapidement peut être déterminée à l'aide du modèle de croissance logistique et des conditions initiales. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La croissance réelle est limitée par les ressources, donc le modèle logistique 逻辑斯蒂 modèle ajoute une capacité de charge 环境容纳量 $L$ :

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

La croissance est presque exponentielle quand $P$ est petit, ralentit lorsque $P$ approche $L$, et s'arrête à $P=L$. Faits clés BC : la population se stabilise à $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), et elle croît le plus rapidement lorsque $P=\tfrac{L}{2}$ (le point d'inflexion de la courbe en S). On s'attend à ce que vous lisiez $L$ et la valeur de croissance maximale directement depuis l'équation.

Exemple résolu. Pour $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, la capacité de charge est $L=2000$ (la population s'y aplatit), et la croissance est maximale quand $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – les deux se lisent directement depuis l'équation, sans résolution.

Le modèle logistique croît le plus rapidement à P=L/2 et se stabilise à la capacité de charge L — Le modèle logistique croît plus vite à P=L/2 et s'aplatit à la capacité de charge L

7.9

Conseils d'examen

Résolvez une équation sécable en plaçant tous les $y$ d'un côté et tous les $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés (ajoutez $+C$ une seule fois).
Utilisez la condition initiale pour trouver $C$ (une solution particulière).
Tracez ou lisez un champ de pentes : les petits segments montrent $\tfrac{dy}{dx}$ en chaque point, et une courbe solution les suit.
Reconnaissez les modèles exponentiels $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (croissance/décroissance).
Une équation différentielle donne la pente ; vous devez intégrer pour retrouver la fonction.

Leçons interactives sur ce sujet

Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.

Épreuves Passées

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