Applications contextuelles de la dérivation

Une fois que vous savez calculer des dérivées, vous les utilisez pour décrire le monde réel. La dérivée $f'(x)$ est le taux de changement instantané de $f$ par rapport à son entrée. Lire et rapporter ce taux correctement est une compétence évaluée.

Les unités comptent. L'unité de $f'(x)$ est l'unité de $f$ divisée par l'unité de $x$. Si $C(t)$ est un nombre d'acres et $t$ est en semaines, alors $C'(t)$ est en acres par semaine. À l'examen, « En utilisant des unités correctes, interprétez la signification de $g'(140)$ » demande une phrase complète : la valeur, la quantité, le mot de taux « par », et le moment. Par exemple : « $g'(140)=2.3$ signifie qu'à $x=140$, la quantité augmente d'environ $2.3$ unités par unité de $x$. »

Pour une particule se déplaçant sur une ligne, trois fonctions du temps sont liées par la dérivation :

• position 位置 $s(t)$;
• velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ – signé ; son signe donne la direction;
• acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Lectures clés (parties fréquentes de l'examen) :

• La particule est au repos 静止 lorsque $v(t)=0$.
• Elle se déplace vers la droite/en haut quand $v(t)>0$ et vers la gauche/en bas quand $v(t)<0$ ; elle change de direction où $v$ change de signe.
• Vitesse 速率 est $|v(t)|$. La vitesse est croissante quand $v$ et $a$ ont le même signe (la particule accélère), et décroissante quand ils ont des signes opposés.

Distinguez soigneusement entre la vitesse (qui a une direction) et la rapidité (qui n'en a pas) – l'examen teste cette différence exacte.

Exemple résolu. Une particule se déplace avec $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Alors $v(t)=3(t-1)(t-3)$, donc elle est au repos à $t=1$ et $t=3$ et change de direction à chacun. À $t=2$, $v=-3<0$ et $a(2)=6(2)-12=0$ ; juste après, $a>0$ tandis que $v<0$, donc la particule est ralentissant là-bas.

La même idée de dérivée modélise toute quantité changeante : un réservoir qui se vide, une population qui s'étend, une tasse qui refroidit. Chaque fois qu'un problème dit « le taux auquel... », il décrit une dérivée. Lisez les unités pour savoir de quel taux de quelle quantity vous disposez, puis interprétez dans le contexte.

Dans un problème de taux liés 相关变化率, plusieurs quantités changent ensemble au fil du temps, et vous connaissez certains taux mais voulez en trouver un autre. Le moteur est la règle de la chaîne : dérivez une relation par rapport au temps $t$. Chaque variable devient une fonction de $t$, donc chaque dérivée ajoute un facteur « $\,/\,dt$ ». Les règles du produit et du quotient peuvent aussi être nécessaires.

Une procédure fiable – et un modèle plein score sur l'examen :

1. Nommez les variables et notez les taux donnés et le taux inconnu (ex. « $\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/jour, trouver $\dfrac{dV}{dt}$ »).
2. Écrivez une équation reliant les quantités (souvent une formule géométrique ou de volume).
3. Dérivez les deux côtés par rapport à $t$ (règle de la chaîne) – avant de substituer les nombres.
4. Substituez les valeurs connues à l'instant d'intérêt, et résolvez pour le taux inconnu.
5. Énoncez la réponse avec des unités et le bon signe (une quantité décroissante a un taux négatif).

Substituer les nombres trop tôt est l'erreur classique : différenciez d'abord la relation générale, puis insérez.

Exemple résolu. Le volume d'une ballon sphérique augmente à $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. De $V=\tfrac43\pi r^3$, différenciez d'abord : $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. À $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, donc $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Près d'un point de tangence, une courbe lisse ressemble à sa tangente – c'est la linéarité locale 局部线性. Ainsi, la tangente fournit une approximation linéaire 线性近似 (linéarisation) de la fonction près de ce point :

Utilisez-la pour estimer $f$ à un $x$ proche de $a$.

Sur- ou sous-estimation ? La réponse dépend de la convexité 凹凸性. Si la courbe est concave vers le haut près de $a$ (elle s'incurve au-dessus de sa tangente), la valeur de la tangente est une sous-estimation 低估. Si elle est concave vers le bas, la tangente est au-dessus de la courbe, donnant une surestimation 高估. Les parties d'examen testent ce raisonnement, donc justifiez avec le signe de $f''$.

Quand la substitution directe dans un quotient de limites donne la forme indéterminée 未定式 $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, vous pouvez utiliser la Règle de L'Hospital 洛必达法则 :

à condition que la limite à droite existe. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément (ceci n'est pas la règle du quotient), puis essayez la limite à nouveau. Confirmez d'abord que la forme est bien $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ – appliquer la règle à toute autre forme est une erreur.

Exemple résolu. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ donne $\tfrac00$, donc dérivez le numérateur et le dénominateur : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. Et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ est aussi $\tfrac00$ ; il devient $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

• Dans les problèmes de mouvement : la vitesse est la dérivée de la position, l'accélération est la dérivée de la vitesse ; la vitesse augmente quand la vitesse et l'accélération partagent un signe.
• Pour les taux liés, dérivez l'équation liante par rapport au temps, puis substituez les valeurs données en dernier.
• Utilisez la tangente pour une approximation linéaire près d'un point connu ; elle n'est précise que tout près.
• Lisez le signe d'un taux : positif signifie que les quantités évoluent ensemble, négatif signifie qu'elles évoluent en sens inverse.
• Énoncez toujours les unités et interprétez la réponse dans le contexte.