Applications de l'intégration

AP Calcul BC · Sujet 8

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8.1

Trouver la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.B : Déterminer la valeur moyenne d'une fonction à l'aide d'intégrales définies.

CHA-4.B.1 La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La valeur moyenne 平均值 de $f$ sur $[a,b]$ est l'intégrale divisée par la largeur :

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

C'est la hauteur constante qu'un rectangle aurait pour avoir la même aire que la région sous $f$. Ne confondez pas cela avec la moyenne des taux de changement (qui utilise la dérivée).

Exercice résolu. La valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$ est $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

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La valeur moyenne d'une fonction

y = ax³ + bx² + cx + d

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est son intégrale divisée par la largeur — la hauteur constante dont le rectangle a la même aire que sous la courbe.

8.2

Relier position, vitesse et accélération en utilisant des intégrales

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.C : Déterminer des valeurs pour les positions et les taux de variation en utilisant des intégrales définies dans des problèmes de mouvement rectiligne.

CHA-4.C.1 Pour une particule en mouvement rectiligne sur un intervalle de temps, l'intégrale définie de la vitesse représente le déplacement de la particule sur cet intervalle de temps, et l'intégrale définie de la vitesse représente la distance totale parcourue par la particule sur cet intervalle de temps.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour un mouvement rectiligne, l'intégration inverse la dérivation :

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Deux distinctions clés : le déplacement 位移 est $\int_a^b v\,dt$ (changement net de position), tandis que la distance totale 总路程 est $\int_a^b |v|\,dt$ (en scindant là où $v$ change de signe). La vitesse est $|v|$.

8.3

Utiliser des fonctions d'accumulation et des intégrales définies dans des contextes appliqués

Programme

Compréhension durable (CHA-4) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variation sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.D : Interpréter la signification d'une intégrale définie dans des problèmes d'accumulation.

CHA-4.D.1 Une fonction définie comme une intégrale représente une accumulation d'un taux de variation.
CHA-4.D.2 L'intégrale définie du taux de variation d'une quantité sur un intervalle donne la variation nette de cette quantité sur cet intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-4.E : Déterminer la variation nette en utilisant des intégrales définies dans des contextes appliqués.

CHA-4.E.1 L'intégrale définie peut être utilisée pour exprimer des informations sur l'accumulation et la variation nette dans de nombreux contextes appliqués.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsqu'un taux est donné (débit, ventes par jour), l'intégrale définie donne le total accumulé, et $\int_a^b R(t)\,dt$ porte les unités de $R$ fois le temps. Une configuration courante : montant initial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ donne le montant à un moment ultérieur. Interprétez toujours la réponse dans le contexte, avec les unités.

8.4

Trouver l'aire entre des courbes exprimées en fonction de x

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.1 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées avec des intégrales définies.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un potier façonnant un récipient : les volumes de révolution font tourner une région plane autour d'un axe

L'aire entre $y=f(x)$ (en haut) et $y=g(x)$ (en bas) de $a$ à $b$ est

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Trouvez les points d'intersection pour les limites, et soustrayez toujours haut moins bas.

L'aire entre deux courbes est l'intégrale du haut moins le bas — L'aire entre deux courbes est l'intégrale de haut moins bas

Exemple résolu. Entre $y=x$ et $y=x^2$ (se croisant en $x=0,1$, avec $y=x$ en haut), l'aire est $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Trouver l'aire entre des courbes exprimées en fonction de y

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.2 Les aires de régions dans le plan peuvent être calculées à l'aide de fonctions de $x$ ou de $y$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque les courbes sont plus faciles à décrire comme $x=f(y)$, intégrez par rapport à $y$ au lieu de cela, en utilisant droite moins gauche :

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choisir d'intégrer en $y$ peut éviter de diviser la région en plusieurs morceaux.

8.6

Trouver l'aire entre des courbes qui s'intersectent plus de deux fois

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.A : Calculer des aires dans le plan à l'aide de l'intégrale définie.

CHA-5.A.3 Les aires de certaines régions dans le plan peuvent être calculées en utilisant une somme de deux intégrales définies ou en évaluant une intégrale définie de la valeur absolue de la différence de deux fonctions.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si deux courbes se croisent plusieurs fois, le haut et le bas changent. Divisez la région à chaque intersection et intégrez chaque morceau avec le bon haut-moins-bas (ou utilisez $\int|f-g|$), puis additionnez les morceaux.

8.7

Volumes par sections transversales : carrés et rectangles

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.B.1 Les volumes de solides à sections transversales carrées et rectangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Si les sections transversales 横截面 perpendiculaires à l'axe $x$ d'un solide sont des carrés ou des rectangles, intégrez leur aire. Avec une longueur de côté égale à la distance entre deux courbes, une section transversale carrée donne

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

La méthode consiste toujours à « intégrer l'aire de la section transversale ».

8.8

Volumes par sections transversales : triangles et demi-cercles

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.B : Calculer les volumes de solides à sections transversales connues à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.B.2 Les volumes de solides à sections transversales triangulaires peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
CHA-5.B.3 Les volumes de solides à sections transversales semi-circulaires et autres définies géométriquement peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies et des formules d'aire pour ces formes géométriques.
- Exemples illustratifs pour CHA-5.B.3 :
  - Le volume d'un entonnoir dont les sections transversales sont des cercles peut être calculé en utilisant la formule de l'aire d'un cercle et les intégrales définies (voir 2016 FRQ de l'examen AP #5(b)).
  - Le volume d'un solide dont l'aire de la section transversale est définie à l'aide d'une fonction peut être calculé en utilisant la fonction d'aire connue et une intégrale définie (voir 2009 FRQ de l'examen AB #4(c)).

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Même idée, formule d'aire différente : pour des sections transversales triangulaires équilatérales utilisez $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, et pour des demi-cercles $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (avec $s$ la distance entre les courbes). Remplacez la formule d'aire et intégrez.

8.9

Volume avec la méthode du disque : Rotation autour de l'axe x ou y

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.1 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Solides de révolution : la méthode des disques

Faire tourner une région autour d'un axe crée un solide dont les sections transversales sont des disques. La méthode du disque 圆盘法 intègre $\pi(\text{radius})^2$ :

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

où le rayon $R$ est la distance de la courbe à l'axe. Utilisez $dy$ lorsque vous tournez autour de l'axe $y$-.

La méthode des disques : faire tourner y=f(x) autour de l'axe balaye des disques de rayon f(x)

Exemple résolu. Faire tourner la région sous $y=\sqrt{x}$ de $0$ à $4$ autour de l'axe $x$- donne des disques de rayon $\sqrt{x}$ : $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Faire tourner une région autour d'un axe balaye un solide de révolution

8.10

Volume avec la méthode du disque : Rotation autour d'autres axes

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.2 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dans le plan peuvent être trouvés en utilisant des intégrales définies avec la méthode du disque.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Lorsque l'axe de rotation est une ligne horizontale ou verticale comme $y=k$ (et non un axe), le rayon s'ajuste : $R=|f(x)-k|$. Définissez le rayon comme la distance de la courbe à cette ligne, puis intégrez $\pi R^2$ comme auparavant.

8.11

Volume avec la méthode de la rondelle : Rotation autour de l'axe x ou y

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.3 Les volumes de solides de révolution autour de l'axe $x$ ou de l'axe $y$ dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Volume par la méthode des anneaux

Si la région ne touche pas l'axe, la rotation laisse un trou, donc les sections transversales sont des rondelles (anneaux). La méthode de la rondelle 垫圈法 soustrait le disque intérieur :

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifiez les rayons extérieur et intérieur comme des distances de chaque courbe à l'axe.

Vocabulaire Entrainer

Anglais	Chinois	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volume avec la méthode de la rondelle : Rotation autour d'autres axes

Programme

Compréhension durable (CHA-5) : Les intégrales définies nous permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de changements d'aire ou de volume sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-5.C : Calculer les volumes de solides de révolution à l'aide d'intégrales définies.

CHA-5.C.4 Les volumes de solides de révolution autour de toute ligne horizontale ou verticale dont les sections transversales sont en forme d'anneau peuvent être trouvés à l'aide d'intégrales définies avec la méthode de la rondelle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Comme avec les disques, tourner autour d'une ligne $y=k$ ou $x=k$ déplace les deux rayons – chacun devient la distance de sa courbe à cette ligne. Esquissez la région et l'axe, étiquetez $R_{\text{outer}}$ et $R_{\text{inner}}$, puis intégrez la différence des carrés.

8.13

Longueur d'arc d'une courbe lisse et distance parcourue

Programme

Compréhension fondamentale (CHA-6) : Les intégrales définies permettent de résoudre des problèmes impliquant l'accumulation de variations de longueur sur un intervalle.

Objectif d'apprentissage CHA-6.A : Déterminer la longueur d'une courbe dans le plan définie par une fonction, à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

CHA-6.A.1 La longueur d'une courbe plane définie par une fonction peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie. SEULEMENT BC

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La longueur d'arc 弧长 de $y=f(x)$ de $a$ à $b$ est

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Cette formule uniquement BC provient de l'addition de petits hypoténuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. La même idée donne la distance qu'un particule parcourt le long d'un chemin courbe.

Exemple résolu. Trouvez la longueur d'arc de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ de $x=0$ à $x=3$. Ici $f'(x)=x^{1/2}$, donc $1+(f')^2=1+x$ et

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Le pont Golden Gate et ses câbles principaux balayants — Le câble principal du pont pend comme une courbe lisse ; une intégrale donne sa longueur exacte

8.13

Conseils d'examen

L'aire entre courbes est $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — trouvez les points d'intersection pour les limites et gardez haut moins bas.
Pour un volume de révolution, additionnez les sections transversales de disques/anneaux d'aire $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Le changement accumulé est $\int$ d'un taux : total = valeur initiale $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
L'intégration signifie "additionner infiniment de petites pièces" — configurez l'intégrande comme une fine tranche.

Leçons interactives sur ce sujet

Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.

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