Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision du 2026 février. Les cas en classe originaux ne constituent pas un modèle officiel ; conservez les limites de notation/test sur le terrain de chaque modèle source.
- Interpréter une estimation de population et des preuves de simulation sans prétendre à une preuve
- Calculer des quantités conditionnelles, composées et de valeur attendue
- Choisissez entre permutations et combinaisons selon que l'ordre des éléments est important ou non
Prérequis : Pourcentages ; populations ; tirage aléatoire versus affectation aléatoire.
Expliquer et choisir la méthode
Un échantillon aléatoire permet d'inférer sur sa population source ; une marge d'erreur fournit un intervalle d'incertitude d'échantillonnage autour d'une estimation. L'affectation aléatoire, en revanche, permet de comparer des traitements causaux. Dans une simulation, un résultat rarement produit sous une hypothèse peut constituer une preuve contre cette hypothèse ; l'absence d'un résultat inhabituel ne prouve pas la validité de l'hypothèse.
La probabilité conditionnelle limite le dénominateur au groupe conditionnant. Pour A ou B, soustrayez leur intersection après avoir additionné les probabilités séparées. L'indépendance permet de multiplier des probabilités inchangées ; les tirages sans remise nécessitent des effectifs mis à jour. La valeur attendue est la somme de chaque résultat possible multiplié par sa probabilité, et n'est pas nécessairement un résultat obtenu lors d'une seule épreuve.
Utilisez le principe multiplicatif pour des choix successifs. Pour n objets distincts, choisir r éléments dans l'ordre donne n!/(n-r)! ; choisir un ensemble non classé donne n!/[r!(n-r)!]. Diviser par r! élimine les multiples ordonnancements du même ensemble. Ces formules supposent des objets distincts et sans remise ; des conditions différentes nécessitent un dénombrement correspondant.
Traduisez l'événement en un nombre de cas avant de calculer sa probabilité. Si un événement favorable peut se produire de plusieurs manières disjointes, additionnez ces cas ; si les chemins se chevauchent, évitez le double comptage. Une réponse numérique doit être comprise entre zéro et un pour une probabilité, tandis qu'un coût ou un score attendu porte les unités des résultats.
Une marge d'erreur est ajoutée et soustraite en points de pourcentage. Estimer 63% avec une marge de 4 points donne 59%–67%. Il s'agit d'un intervalle issu d'une procédure, et non d'une garantie que la réponse de chaque personne soit proche de 63%. L'échantillonnage aléatoire soutient l'inférence sur la population ; l'affectation aléatoire traite des comparaisons de traitement.
Exemple résolu existant : Parmi cinq étudiants, le nombre de paires capitaine/adjoint est 5·4=20 ; le nombre de paires non classées est 5·4/2=10. Un jeu attribue 4 points avec une probabilité 1/4 et 0 sinon, donc la récompense attendue est 1 point par partie. Une estimation d'échantillon de 52% ±3 points de pourcentage donne 49%–55% ; ce n'est pas une garantie concernant chaque échantillon ou individu.
Contexte original complété
Chaque question de transfert énonce toutes les données nécessaires.
Pratique indépendante et raisonnement vérifié
Transfert 1
Six étudiants choisissent un président et un secrétaire différent. Combien d'affectations ? Combien de comités de deux personnes non classés ? Expliquez la différence.
Raisonnement : Des rôles ordonnés donnent $6(5)=30$. Les paires non classées comptent chaque paire deux fois dans ce produit, il y a donc $6(5)/2=15$. Échanger les personnes change les rôles mais pas un comité non classé.
Transfert 2
Un jeu rapporte 12 jetons avec une probabilité 0.1, 3 avec une probabilité 0.4, et zéro sinon. L'entrée coûte 2 jetons. Trouvez le payout (paiement) attendu et le gain net attendu. Un joueur reçoit-il ce montant à chaque coup ?
Raisonnement : La probabilité restante est 0.5. $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ jetons. Le gain net attendu est $E(G)=E(P)-2=0.4$ jeton par coup. Les résultats nets réels sont 10,1,-2 ; aucun n'est égal à 0.4, qui est une moyenne à long terme selon le modèle.
Transfert 3
Deux boules sont tirées sans remise d'un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues. Trouvez la probabilité que les deux soient rouges et celle d'avoir exactement une rouge.
Raisonnement : $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$. Avoir exactement une rouge peut se faire par RB ou BR : $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$. Le deuxième dénominateur est 4 ; les tirages sont dépendants.
Transfert 4
Un échantillon aléatoire de 500 membres inscrits de bibliothèque rapporte 62% de soutien pour un changement, avec une marge déclarée de 4 points de pourcentage. Énoncez l'intervalle et la population. Cela établit-il le soutien parmi tous les résidents de la ville ?
Raisonnement : L'intervalle va de $62\%-4\%=58\%$ à $62\%+4\%=66\%$, où la soustraction désigne des points. La population est constituée des membres inscrits dans le cadre d'échantillonnage. Les non-membres n'ont pas été échantillonnés, donc l'estimation ne confirme pas le soutien de tous les résidents.
Transfert 5
Quarante volontaires sont affectés aléatoirement aux anciennes ou nouvelles instructions, avec la même tâche et les mêmes conditions. Le nouveau groupe termine plus vite. Quelles affirmations causales et concernant la population sont raisonnables ?
Justification : L'affectation aléatoire permet une comparaison causale des versions de l'instruction pour ces participants dans les conditions testées, sous réserve de variations. Le choix sur volontaire limite la généralisation à la population. Il n'établit pas que chaque futur utilisateur terminera plus vite.
Transfert 6
Un sondage auprès de 10000 volontaires de site web présente une marge d'erreur déclarée étroite. Expliquez pourquoi la taille seule ne peut corriger le biais de sélection et proposez une meilleure méthode de recrutement.
Justification : Les personnes choisissant de répondre peuvent différer systématiquement de celles qui ne le font pas. Une marge pour la variabilité d'échantillonnage ne supprime pas ce biais. Sélectionnez aléatoirement dans la population cible définie et suivez les non-réponses ; signalisez toujours les limites.
Limites et prochaine utilisation
L'ordre, la remise et la conditionnalité changent le calcul. Ne pas rejeter une affirmation statistique ne signifie pas la prouver vraie.
Toutes les tâches ici sont une pratique originale publique avec un guide rédigé. Elles ne constituent pas des questions officielles ni de nouveaux diagnostics. Les tests protégés et simulés existants restent séparés.