Alcance y requisitos previos
Basado en el marco del Digital SAT. Estas tareas en papel no son adaptativas ni predicen una puntuación escalada.
- Recuperar el centro y el radio de un círculo completando el cuadrado
- Convertir ángulos centrales y calcular longitud de arco y área de sector
- Usar relaciones tangente, ángulo inscrito y círculo unitario
Prerrequisitos: Completar el cuadrado; radio; radianes; razones de triángulos rectángulos.
Explicar y elegir el método
Un círculo con centro (h,k) y radio r satisface (x-h)²+(y-k)²=r². Para una ecuación expandida, complete el cuadrado en x e y y agregue las constantes de equilibrio al otro lado. El lado derecho resultante debe ser positivo para un círculo real no degenerado. Mantenga el radio distinto de su cuadrado.
Un ángulo central θ en radianes da longitud de arco rθ y área de sector r²θ/2. En grados, use la fracción θ/360 de la circunferencia completa o el área. Una vuelta completa es 2π radianes=360°. Las fórmulas rθ y r²θ/2 requieren radianes; insertar grados sin conversión da una escala incorrecta.
Una tangente en un punto de un círculo es perpendicular al radio allí. Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco; un ángulo que subtiende un diámetro es un ángulo recto. Identifique el arco compartido real y el centro antes de aplicar estas afirmaciones. Una cuerda no es una tangente y no necesita ser perpendicular a un radio a menos que condiciones adicionales lo establezcan.
En la circunferencia unitaria, un punto en el ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sin θ), por lo que cos²θ + sin²θ = 1. Los signos dependen del cuadrante. Para ángulos agudos complementarios, sin θ = cos(90° - θ). Use triángulos especiales para valores exactos: en 30°, el seno es 1/2 y el coseno √3/2; en 45°, ambos son √2/2.
Complete ambos cuadrados en una ecuación de círculo. $x^2+y^2+6x-8y=0$ se convierte en $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. El centro es $(-3,4)$ y el radio es 5. La longitud de arco es $s=r\theta$ solo para ángulos en radianes $\theta$.
Ejemplo resuelto. x²+y²-4x+6y-12=0 se convierte en (x-2)²+(y+3)²=25, dando centro (2,-3), radio 5. Para radio 6 y ángulo central π/3, la longitud del arco es 2π y el área del sector 6π. Un ángulo inscrito sobre ese mismo arco de 60° es 30°. En 150°, el coseno es -√3/2 y el seno 1/2 porque el punto está en el cuadrante II.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Encuentre el centro y el radio de $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. ¿Está $(7,-1)$ sobre él?
Razonamiento. Completar cuadrados da $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. Centro $(4,-1)$, radio 3. La sustitución de $(7,-1)$ da $3^2+0^2=9$, por lo que está en el círculo.
Práctica 2
Un sector tiene radio 8 cm y ángulo 135°. Encuentre su ángulo en radianes, longitud de arco y área. Un ángulo inscrito en otro lugar de la circunferencia intercepta este mismo arco; encuéntrelo.
Razonamiento. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radianes. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central: 67.5 grados.
Práctica 3
Un punto en la circunferencia unitaria está en el cuadrante III y tiene ⟨$y=-1/2$⟩. Encuentre su coordenada ⟨$x$⟩ y un ángulo entre ⟨0⟩° y ⟨360⟩°.
Razonamiento. $x^2+y^2=1$ da $x^2=3/4$. El Cuadrante III requiere $x<0$, así que $x=-\sqrt3/2$. El punto está en 210 grados, con ángulo de referencia 30 grados.
Límites y próximo uso
Verifique las unidades de grados/radianes, los signos del centro y si un ángulo es central o inscrito antes de aplicar la fórmula.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.