Alcance y requisitos previos
Marco Digital SAT; la práctica basada en papeles originales es no adaptativa y no ofrece predicción de puntuación escalonada.
- Aplicar escalado de longitud, área y volumen a figuras similares
- Usar ángulos de líneas paralelas y sumas de triángulos para encontrar incógnitas
- Distinguir similitud de congruencia e información adecuada
Prerrequisitos: Suma de ángulos del triángulo; Pitágoras; unidades de longitud/área/volumen.
Explicar y elegir el método
Para figuras similares con factor de escala k, las longitudes correspondientes se escalan por k, las áreas por k² y los volúmenes por k³. Estas leyes aplican cuando todas las dimensiones correspondientes cambian juntas. Un cilindro con solo el radio duplicado y altura fija tiene cuatro veces el volumen, no ocho veces. Indique qué dimensiones están escaladas antes de elegir el exponente.
Use la medida geométrica correcta: el área del triángulo es la mitad de la base por la altura perpendicular; el volumen del cilindro es el área de la base por la altura. El área superficial suma las caras expuestas, mientras que el volumen mide el espacio encerrado. Una longitud inclinada no es automáticamente la altura perpendicular requerida por una fórmula de área. Asigne unidades cuadradas o cúbicas al resultado.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Para líneas paralelas cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes y alternos internos son iguales, y los ángulos internos del mismo lado suman 180°. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°; su ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores remotos. Estas reglas dependen de la paralelismo declarado o marcado, no de la apariencia del dibujo.
Los triángulos similares comparten ángulos correspondientes y lados correspondientes proporcionales; los triángulos congruentes también tienen longitudes correspondientes iguales. Dos ángulos establecen similitud pero no igualdad de tamaño. Mantenga la correspondencia al escribir una razón. Una disposición de lado-lado-ángulo no garantiza universalmente la congruencia, mientras que lado-ángulo-lado incluye el ángulo entre los dos lados.
Un factor de escala $k$ cambia todas las longitudes correspondientes. $A_2=k^2A_1$ y $V_2=k^3V_1$ para figuras semejantes. Si $k=3/2$ y $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, entonces $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Cambiar solo una dimensión no justifica estas reglas de semejanza.
Ejemplo resuelto existente: Dos sólidos similares tienen una proporción de aristas de 2:3, por lo tanto la proporción de áreas superficiales es 4:9 y la proporción de volúmenes es 8:27. Un jardín triangular con base de 12 m y altura perpendicular de 5 m tiene un área de 30 m². Si un triángulo tiene ángulos interiores de 48° y 67°, su tercer ángulo es 65° y el ángulo exterior adyacente es 115°=48°+67°.
Contexto original completo
Cada pregunta de transferencia establece todos los datos necesarios.
Práctica independiente y razonamiento verificado
Transferencia 1
Contenedores similares tienen áreas superficiales 96 y 216 centímetros cuadrados. El volumen menor es 160 centímetros cúbicos. Encuentre el volumen mayor.
Razonamiento: $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. El volumen usa el cubo: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Usar la razón de áreas directamente daría el volumen incorrecto.
Transferencia 2
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 13 cm y un cateto 5 cm. Encuentre el otro cateto, su área y el seno del ángulo opuesto al cateto de 5 cm.
Razonamiento: $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Transferencia 3
Dos ángulos interiores de un triángulo son 42° y 73°. Encuentre el tercer ángulo y su ángulo exterior adyacente. ¿Determinarían esos ángulos todas las longitudes de los lados?
Razonamiento: El tercer ángulo es $180-42-73=65$ grados. Su ángulo exterior adyacente es $180-65=115$ grados, también $42+73$. Los ángulos establecen la forma, no la escala; los triángulos similares pueden tener diferentes longitudes de lados.
Transferencia 4
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Un ángulo correspondiente mide 68°. Encuentre su ángulo correspondiente igual y el ángulo adyacente en la segunda línea. Explique qué condición dada justifica cada paso.
Razonamiento: El paralelismo da el ángulo correspondiente igual a 68°. El par adyacente forma un ángulo llano, por lo que el otro es 180°−68°=112°. Los ángulos correspondientes iguales requieren las líneas paralelas indicadas; la suma del ángulo llano usa la adyacencia sobre una línea. Un bosquejo similar sin paralelismo no justificaría la primera igualdad.
Límites y próximo uso
Use k² o k³ únicamente cuando se escalé toda la figura; no infiera líneas paralelas ni una altura perpendicular a partir de un croquis sin marcas.
Todas las tareas aquí son prácticas originales públicas con orientación redactada. No son preguntas oficiales ni diagnósticos nuevos. Las pruebas y simulacros existentes protegidos permanecen separados.