SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

Al rotar un cristal en un haz de rayos X se mapean sus planos atómicos, porque la reflexión constructiva ocurre solo en ángulos discretos.

Prerrequisitos: 8, 36.

• Aplicar la condición de Bragg para encontrar espaciados entre planos o ángulos de difracción
• Estimar la energía de Fermi y la temperatura de Fermi de electrones libres
• Distinguir contribuciones electrónicas y reticulares a la capacidad calorífica

La reflexión de Bragg desde planos paralelos separados por d interfere constructivamente cuando 2d sinθ=nλ, con θ medido desde la superficie del plano (ángulo rasante), no desde la normal. El primer orden n=1 da el ángulo más pequeño. Para λ=0.154 nm y un pico en θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Si 2d<λ no existe orden alguno; el seno debe mantenerse en o por debajo de 1.

En un cristal cúbico, el espaciado del plano (hkl) es d=a/√(h²²+k²²+l²²) con constante de red a; los planos (110) dan a/√2. Por tanto, un ángulo de Bragg medido determina la constante de red. Las ausencias sistemáticas debidas a la base (por ejemplo, en redes centradas en el cuerpo donde h+k+l es impar) proporcionan información estructural más allá de la fórmula de espaciado.

El modelo de electrón libre empaqueta N electrones de conducción en estados hasta el vector de onda de Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) para densidad numérica n, dando E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). Para n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV y T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Dado que T_F excede ampliamente la temperatura ambiente, solo una fracción del orden de T/T_F de los electrones está térmicamente excitada.

Por tanto, los metales tienen dos términos de capacidad calorífica a baja temperatura: un término electrónico γT lineal en T y un término reticular (Debye) βT³. Graficar C/T frente a T² da la intersección γ y la pendiente β. Cerca de la temperatura ambiente, la parte reticular se acerca al valor de Dulong–Petit y domina; a baja T, el término electrónico γT supera al término reticular βT³ decreciente.

La difracción de Bragg utiliza el ángulo theta medido desde el plano cristalino, no desde su normal.

La capacidad calorífica metálica a baja temperatura tiene términos electrónicos y reticulares separados: Un gráfico de C/T frente a T cuadrado presenta intersección gamma y pendiente beta. Una línea recta identifica el régimen de este modelo.

*Ley de Bragg 2d sin θ = nλ; C/T = γ + βT² separa electrones de red

Medir θ desde la normal al plano en lugar del plano mismo, o asignar toda la capacidad calorífica a bajas temperaturas a los electrones. La condición de seno y la descomposición en dos términos son los puntos donde fallan estos cálculos.

Condición de Bragg: Reflexión constructiva desde planos de red cuando 2d sinθ=nλ, con θ medido desde el plano.

Energía de Fermi: La energía electrónica ocupada más alta a temperatura cero en el modelo de electrones libres.