RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

GRE Subject Test · GRE Physics · Tema 42

42.1

Simultaneidad, medición de longitud y transformación de velocidad

Dos observadores pueden estar en desacuerdo sobre cuál de dos eventos ocurrió primero, y ambos pueden tener razón.

Prerrequisitos: 22.

Transformar separaciones de eventos e identificar la longitud propia frente a lecturas simultáneas de extremos
Aplicar la adición relativista de velocidades y verificar un invariante de vector cuatro
Clasificar el signo del intervalo para ordenar eventos y descartar contacto causal

English	Español
spacetime interval/ˈspeɪstaɪm ˈɪntəvl/	intervalo espacio-temporal
proper length/ˈprɒpə leŋθ/	longitud propia

42.2

Transformar separaciones

Use la transformación de Lorentz con movimiento de marco declarado: si el marco S′ se mueve a +v a lo largo de x respecto a S, entonces x′=γ(x−vt) y t′=γ(t−vx/c²) con γ=1/sqrt(1−v²/c²). Aplíquelo a las separaciones de eventos Δx y Δt, no solo a coordenadas individuales. Dos eventos simultáneos en S (Δt=0) en lugares diferentes tienen Δt′=−γvΔx/c²: el evento más alejado en la dirección +x ocurre antes en S′. La simultaneidad depende del marco, no es un error de contabilidad.

42.3

Medir longitud en un marco

La longitud de una barra en movimiento debe leerse desde las posiciones de los extremos al mismo tiempo de laboratorio (Δt=0). Entonces Δx′=γΔx da L=L0/γ con L0 la longitud propia (marco en reposo). Leer los extremos simultáneamente en el marco de la barra no produce la longitud de laboratorio; las dos condiciones de lectura responden a preguntas diferentes. Indique el marco y la condición de lectura antes de citar cualquier longitud.

42.4

Clasificar el intervalo

El intervalo s²=c²Δt²−Δx² (convención mostly-minus, declarada una vez) es invariante. s²>0 es de tipo temporal: existe un marco donde los eventos están co-localizados, y Δτ=s/c es el tiempo propio entre ellos. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

42.5

Sumar velocidades y verificar invariantes

Las velocidades colineales se suman como u=(u′+v)/(1+u′v/c²); el denominador mantiene u<c para cualquier u′,v<c, y u′=c da u=c exactamente. La energía y el momento forman un vector cuatro con invariante E²−p²c²=m²c⁴: calcúlelo en el marco conveniente. Verifique cada resultado en el límite no relativista, donde la regla de suma se reduce a u=u′+v y el invariante se reduce a la energía en reposo.

42.6

Método resuelto

Dos eventos de laboratorio tienen Delta x = 900 m y Delta t = 2 microsegundos. Su intervalo de espaciotiempo es espacial porque c Δt = 600 m es menor que Δx. Un sistema de referencia en el que son simultáneos satisface

$$\Delta t'=\gamma(\Delta t-v\Delta x/c^2)=0,\quad v=c^2\Delta t/\Delta x=2c/3.$$

Su separación en ese marco es $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. Ningún marco puede colocar estos eventos espaciales en la misma posición.

Izquierda: velocidad del laboratorio frente a la velocidad de la sonda para un buque a 0.5c, relativista y clásica. Derecha: una barra de 2 m medida como 1.6 m a 0.6c — La adición de velocidades mantiene u por debajo de c (0.5c con 0.5c da 0.8c); la longitud se contrae en 1/γ

42.7

Verificar condiciones y vocabulario

Citar L=L0/γ sin la condición de extremos simultáneos, o sumar velocidades como u=u′+v a velocidades relativistas. Una diferencia de simultaneidad es física, no un error.

intervalo de espaciotiempo: La combinación invariante c²Δt²−Δx² bajo la convención de signos declarada, cuyo signo clasifica la separación entre eventos.

longitud propia: La separación entre extremos medida en el marco de reposo del objeto; cualquier otro marco debe leer ambos extremos simultáneamente según su propio tiempo.