AT.3 · Thermal spectra and one-electron scaling

Un pico espectral, un flujo total de radiación y una energía de transición atómica son tres observables distintos.

Prerrequisitos: 7, 9, 34.

• Diferenciar el pico espectral en longitud de onda, la radiación integrada y la energía del fotón
• Derivar el radio de Bohr y el escalado de energía bajo supuestos de un solo electrón
• Calcular transiciones Coulomb-ión, límites de serie y umbrales de ionización

Para radiación de equilibrio térmico ideal, la radiancia espectral en longitud de onda de Planck es B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ es por intervalo de longitud de onda y por ángulo sólido, no una potencia total. El espectro de flujo superficial hemisférico de un cuerpo negro es M_λ=πB_λ; integrar sobre todas las longitudes de onda da σ_SB T⁴. Todas las temperaturas son en Kelvin absolutos. El pico en longitud de onda obedece λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. Un espectro por frecuencia tiene un pico diferente porque B_ν dν y B_λ dλ incluyen un jacobiano; c/λ_max no es la frecuencia pico de B_ν. Aumentar T desplaza el pico en longitud de onda hacia valores más cortos e incrementa el flujo integrado en T⁴, no solo por la relación de posición del pico.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

En el modelo histórico de Bohr de un solo electrón con núcleo pesado de carga Ze, la fuerza de Coulomb m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) y el momento angular m_e vr=n$\hbar$ conducen a r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n y E_n≈−13.6Z²/n² eV. El radio escala con n²/Z mientras que la energía de enlace escala con Z²/n²; no use el mismo exponente de carga en ambos. Estas suposiciones de órbitas circulares son un modelo histórico de escalado. El momento angular de la mecánica ondulatoria es √[l(l+1)]$\hbar$ con l=0,…,n−1, por lo que un orbital 1s tiene cero momento angular orbital en lugar del valor n$\hbar$ de Bohr. Las correcciones de masa reducida reemplazan m_e con μ: el radio de Coulomb escala como 1/μ y la energía como μ. El apantallamiento multielectrónico, las correcciones relativistas de gran Z y la estructura fina están fuera del modelo simple.

Para una emisión ni→nf con ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convierta esta diferencia positiva a λ≈1240/E_γ nm. La ionización desde n requiere energía 13.6Z²/n² eV para alcanzar el cero del continuo. La absorción invierte el orden de los niveles y necesita la correspondiente energía entrante positiva del fotón. Para una serie que termina en nf fijo, la mayor energía de fotón ligado-ligado ocurre cuando ni→∞, dando E_limit=13.6Z²/nf² y la longitud de onda más corta de la serie. Para helio monocoelectrónico Z=2, n=3→2 da 7.5556 eV y λ≈164.12 nm. Su radio de Bohr n=3 es 4.5a₀; este radio describe la órbita histórica, no un modo radial universal para cada l en n=3.

La ley de Wien se refiere al pico de densidad en longitud de onda de un espectro de cuerpo negro.

Un fotón en esa longitud de onda tiene energía La fuente emite una distribución de energías fotónicas. Su flujo superficial integrado es $\sigma T^4$, y el pico de densidad de frecuencia no se obtiene simplemente dividiendo c entre esta longitud de onda del pico.

Declarar una densidad de longitud de onda o frecuencia, usar Kelvin para potencias cuartas, y distinguir transiciones de ionización. Un radio circular de Bohr y el momento angular no son el radio y L de cada orbital ondulatorio.

radiancia espectral: Intensidad de radiación por unidad de área proyectada, ángulo sólido e intervalo espectral especificado.

límite de serie: Energía o longitud de onda del fotón límite de transición ligada a ligada cuando el nivel inicial se aproxima al continuo para un nivel final fijo.