QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

Dos electrones pueden compartir un orbital espacial si su estado completo espacial-más-espín tiene la antisimetría requerida.

Prerrequisitos: 5, 36.

• Construya estados espaciales de dos orbitales normalizados simétricos y antisimétricos
• Combinar simetría espacial y de espín para producir estados permitidos de dos electrones
• Contar ocupaciones de estado completo e interpretar correlaciones inducidas por el intercambio

Para partículas idénticas, intercambiar cada etiqueta de coordenada y espín cambia la función de onda total fermiónica por un signo negativo y deja invariante la bosónica. Las ranuras matemáticas 1 y 2 etiquetan argumentos, no partículas permanentemente distinguibles. Para dos orbitales ortonormales distintos a y b, las combinaciones espaciales son Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. La ortogonalidad hace que estas combinaciones estén normalizadas y proporciona valores propios de intercambio ±1. Si los dos orbitales son idénticos, la combinación antisimétrica es idénticamente cero y la fórmula simétrica mostrada no está correctamente normalizada; el estado espacial de doble ocupación es simplemente a(1)a(2). Verifique la normalización siempre que cambien los orbitales o sus solapamientos.

Dos partículas de espín-1/2 tienen un singlete de espín (↑↓−↓↑)/√2 con espín total S=0; es antisimétrico bajo intercambio. Los tres tripletes ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 y ↓↓ tienen S=1 y son simétricos. Los electrones requieren un estado total antisimétrico, por lo que un estado espacial simétrico se empareja con el singlete, mientras que un estado espacial antisimétrico se empareja con un triplete. Dos electrones en el mismo orbital espacial pueden formar el singlete, pero no pueden formar un triplete allí en este estado simple de dos electrones. La exclusión de Pauli impide la ocupación del mismo estado individual completo, incluido el espín. Los electrones de espín opuesto en un orbital son dos estados completos diferentes; describir la exclusión como un electrón por orbital descarta esta distinción.

Para dos orbitales espaciales a,b y dos estados de espín cada uno, hay cuatro estados individuales completos. Dos electrones idénticos tienen choose(4,2)=6 patrones de ocupación: dos singletes de doble ocupación, un singlete de diferente orbital y tres tripletes de diferente orbital. Para tres orbitales espaciales, hay seis estados completos y choose(6,2)=15 patrones. Contar asignaciones ordenadas sobrestima las partículas idénticas. Los bosones sin espín en dos orbitales tienen en cambio tres ocupaciones: ambos en a, uno en cada uno, ambos en b. Estos conteos asumen ninguna restricción energética adicional y los estados individuales accesibles mencionados; restringir la energía total o la proyección del espín cambia el subconjunto permitido.

Un estado espacial antisimétrico satisface Ψ_−(x,x)=0, por lo que su densidad de posición conjunta se anula sobre la línea de coincidencia. Un estado espacial simétrico no necesita anularse allí. La diferencia surge de la interferencia entre amplitudes intercambiadas, incluso para partículas no interactuantes; no es una fuerza repulsiva clásica impuesta separadamente. Para un pozo de longitud L, elegir a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). En x₁=L/4 y x₂=3L/4, la amplitud espacial antisimétrica es −2/L y su densidad es 4/L²; la amplitud simétrica es cero. Estas son densidades de probabilidad conjuntas por dos longitudes, no probabilidades adimensionales en puntos exactos. La compatibilidad física del espín todavía decide qué estado electrónico total usa cada combinación espacial.

Para orbitales distintos ortogonales a y b, los estados espaciales simétricos y antisimétricos son

Un estado total de dos electrones debe ser antisimétrico bajo el intercambio simultáneo de posición y espín. Así, el espacio simétrico se empareja con el singlete de espín; el espacio antisimétrico se empareja con el espín triplete. Si ambos electrones ocupan a, el producto espacial es simétrico y solo se permite el espín singlete. La fórmula de normalización de diferente orbital no puede reutilizarse simplemente para a = b.

*Una función de onda espacial antisimétrica se empareja con espín de triplete, una simétrica con espín singlete

Intercambie todos los argumentos espaciales y de espín. No confunda el espacio antisimétrico con un estado total antisimétrico, ni use el factor √2 de orbitales distintos para dos orbitales idénticos.

singlete de espín: Estado antisimétrico de dos espines-1/2 con espín total S=0.

determinante de Slater: Construcción fermiónica antisimétrica a partir de estados individuales completos; estados duplicados lo hacen anularse.