QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

Un desplazamiento de energía de primer orden nulo puede coexistir con un cambio de estado y un desplazamiento de orden superior distinto de cero.

Prerrequisitos: 5, 24.

• Calcular desplazamientos de energía de primer orden no degenerados como valores esperados normalizados
• Usar simetría y elementos matriciales para evaluar límites de acoplamiento débil
• Diagonalizar la perturbación dentro de un subespacio exactamente degenerado

Sea H=H₀+λW, donde λ es un parámetro adimensional pequeño y los eigenestados de H₀ son conocidos y normalizados. Para un nivel no degenerado n, la corrección de energía de primer orden es λ⟨n|W|n⟩. En el espacio de posiciones, esto es λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx para un potencial multiplicativo, con integración sobre el dominio permitido. Un valor de potencial en un punto no es un valor esperado; la densidad de probabilidad del estado pondera todo el dominio. Para un pozo infinito 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). La reflexión respecto a su centro hace que ⟨x⟩=L/2, por lo que un potencial débil añadido γx produce un desplazamiento γL/2 para cada nivel de pozo no degenerado a primer orden. γ tiene unidades de energía por longitud.

Para una perturbación impar respecto al centro, como γ(x−L/2), la densidad de probabilidad de un eigenestado de pozo sin perturbar es par, por lo que su diagonal se anula. Una perturbación cuadrática centrada η(x−L/2)², en cambio, da un desplazamiento ηL²[1/12−1/(2π²n²)], que es positivo para η>0 y depende de n. La paridad hace que la integral de primer orden sea cero solo para la simetría específica del estado y del operador. Las elementos matriciales fuera de la diagonal aún pueden cambiar la función de onda. No convierta una cancelación por simetría en una afirmación de que toda corrección de energía se anule o que el estado original permanezca exacto.

Para un estado no degenerado, la mezcla principal de otro estado sin perturbación m es proporcional a λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). La condición útil de pequeñas perturbaciones compara entonces elementos de matriz de acoplamiento con las separaciones de niveles relevantes, no solo con un cero de energía absoluto arbitrario. Al segundo orden, la corrección de energía contiene Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Para el estado no degenerado más bajo, todos estos denominadores son negativos, por lo que la corrección de segundo orden es no positiva en este modelo. Cerca de una degeneración, un denominador pequeño invalida la expansión no degenerada; utilice un subespacio acoplado en lugar de dividir por cero.

Si un nivel de H₀ es exactamente degenerado, elija una base ortonormal dentro de ese subespacio y forme la matriz hermítica de la perturbación allí. Sus eigenvalores son los desplazamientos de energía de primer orden, y sus eigenvectores especifican las combinaciones que diagonalizan la separación principal. Para un subespacio de dos estados con perturbación ε[[2,1],[1,2]], las combinaciones simétrica y antisimétrica normalizadas tienen desplazamientos 3ε y ε. Leer solo las dos entradas diagonales predeciría incorrectamente dos desplazamientos de 2ε. Un múltiplo escalar común de la identidad desplaza ambos estados por igual y no rompe su degenerencia; los acoplamientos fuera del subespacio pueden ser importantes a órdenes superiores.

Un subespacio degenerado requiere diagonalización matricial antes de calcular los desplazamientos de primer orden. Suponga que la perturbación restringida a dos estados es $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Los desplazamientos son epsilon y 3 epsilon. Los estados normalizados son $(1,-1)/\sqrt2$ y $(1,1)/\sqrt2$. Leer solo las entradas diagonales omitiría la separación. Acoplamientos a otros niveles deben permanecer débiles en relación con sus separaciones energéticas.

*Diagonalice todo el bloque degenerado: los valores propios dan los desplazamientos de primer orden

Use pesos de estado normalizados, conserve las unidades de perturbación y diagonalice un bloque degenerado. La cancelación de primer orden y la invariancia exacta son afirmaciones diferentes.

desplazamiento de energía de primer orden: Corrección principal de perturbación débil dada por el valor esperado del estado sin perturbar.

teoría de perturbaciones degeneradas: Método que primero diagonaliza la perturbación dentro de un subespacio degenerado sin perturbar.