TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

Un nivel de energía fermiónico puede contener varias partículas cuando posee varios estados distintos; la regla de exclusión se aplica por estado completo.

Prerrequisitos: 20, 35, 38.

• Calcular la ocupación media por estado cuántico completo para fermiones y bosones
• Contar las ocupaciones permitidas de partículas idénticas e identificar el límite diluido clásico
• Comparar la capacidad calorífica de modo cuadrático clásico con la respuesta de un oscilador cuántico

Para partículas no interactivas en equilibrio térmico y de intercambio de partículas, use el potencial químico μ y x=(ε−μ)/(kBT). La ocupación media de un estado completo es n_F=1/(e^x+1) para fermiones y n_B=1/(e^x−1) para bosones. La ocupación fermiónica de ese estado es cero o uno; su media está entre ambos. La ocupación bosónica puede exceder uno. Un nivel de degeneración g tiene una ocupación total media de g veces la ocupación de un solo estado cuando sus estados comparten la misma energía. Cuente el espín como parte de un estado completo. El denominador de Bose requiere ε>μ para la expresión finita ordinaria, tratando el límite del estado fundamental por separado. Para fotones en equilibrio μ=0 porque el número de fotones no se conserva; no establezca μ=0 para cada gas de partículas materiales.

Contar patrones de ocupación en lugar de etiquetar partículas idénticas. Dos fermiones idénticos distribuidos entre cuatro estados completos distintos tienen choose(4,2)=6 patrones permitidos. Dos bosones idénticos entre esos estados tienen choose(4+2−1,2)=10 patrones porque ambos pueden compartir un estado. Dos partículas distinguibles etiquetadas tendrían 4²=16 asignaciones. Estos son diferentes modelos de conteo, no tres respuestas intercambiables a la misma especificación. Si una pregunta proporciona degeneración de espín, primero decida si su número declarado cuenta estados completos o solo niveles orbitales. Una prohibición de Pauli sobre dos estados completos idénticos no prohíbe fermiones de espín opuesto en una órbita espacial.

Cuando x es grande y positivo, la ocupación es pequeña y ambos denominadores están dominados por e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), el límite diluido de Maxwell–Boltzmann. En x=ln4 las medias son 1/5 para fermiones, 1/3 para bosones y 1/4 en la aproximación clásica; la diferencia sigue siendo significativa. Un gran número total de partículas por sí solo no justifica estadísticas clásicas: la densidad, la temperatura y los estados accesibles controlan la ocupación. Para fermiones a baja T, los estados debajo de μ se llenan casi completamente y los de encima se vacían casi por completo. En ε=μ un estado fermiónico tiene una media de medio; insertar ese valor en la fórmula de Bose ordinaria produciría un denominador divergente y requiere un tratamiento de límite diferente.

La equipartición clásica asigna kBT/2 de energía media a cada término cuadrático independiente en un hamiltoniano equilibrado. Un gas ideal monoatómico tiene tres términos traslacionales, dando U=3NkBT/2 y C_V=3NkB/2. Un oscilador armónico clásico unidimensional tiene términos cinéticos y potenciales, dando media kBT y C=kB. Para un oscilador cuántico con separación fija ε=$\hbar$ω, la energía térmica sobre su punto cero independiente de la temperatura es ε/(e^x−1), ahora x=ε/(kBT), y C/kB=x²e^x/(e^x−1)². A alta T se aproxima al valor clásico; a baja T la excitación se congela y C→0. Una energía de punto cero ε/2 desplaza U pero no C. Las contribuciones rotacionales/vibracionales moleculares también necesitan verificar sus escalas de energía antes de asignar términos cuadráticos clásicos.

El número de ocupación se refiere a un estado completo de partícula única. Para $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

La aproximación clásica diluida da $e^{-x}=1/4$; no es exacto aquí. Un nivel g-multiple tiene ocupación total media $g\bar n$, por lo que un nivel fermiónico puede contener más de una partícula mientras que cada estado completo aún obedece la exclusión.

*Las tres distribuciones coinciden cuando (ε − μ) ≫ kT; la capacidad calorífica cuántica se congela a baja T

Excluir dos fermiones de un estado completo, no de todo un nivel de energía degenerado. Indicar qué x se utiliza; las ocupaciones del potencial químico y las fórmulas de excitación de oscilador fijo son modelos diferentes.

ocupación media: Valor de conjunto promedio de partículas en un estado cuántico completo o un grupo especificado de estados.

equipartición: Regla clásica de equilibrio que asigna kBT/2 a cada término hamiltoniano cuadrático independiente.