LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

Un detector con diez por ciento de eficiencia no registra exactamente diez fotones de cada cien. El conteo fluctúa incluso con eficiencia estable.

Requisitos previos: 47.

• Use medios y fluctuaciones de conteo binomial y de Poisson
• Propague pequeñas incertidumbres con supuestos de correlación establecidos
• Resuelva restricciones de exponentes dimensionales y verifique las unidades de un modelo

Para N partículas incidentes independientes detectadas con probabilidad p, el conteo X es binomial: media Np y varianza Np(1−p). La desviación estándar es sqrt[Np(1−p)], no la varianza misma. Con N grande y p pequeña, una aproximación de Poisson tiene media λ=Np y varianza λ, por lo que la desviación es sqrt(λ). Para N=200 y p=0.05, la media exacta es 10 y la desviación sqrt(9.5)≈3.08, mientras que Poisson da sqrt(10)≈3.16. Ningún modelo promete un conteo fijo. Las detecciones correlacionadas o el tiempo muerto pueden invalidar la independencia.

Para una función medida suave y(x1,…), linealice los cambios usando sus derivadas parciales. Las incertidumbres estándar pequeñas e independientes se combinan en cuadratura: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Las entradas correlacionadas requieren términos cruzados de covarianza. Para y=x^a, la incertidumbre estándar fraccional es aproximadamente |a|σ_x/|x|. Así, la energía cinética K=½mv² con incertidumbre de masa despreciable tiene incertidumbre fraccional el doble que la velocidad. Con incertidumbre independiente de masa, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Estas aproximaciones requieren errores pequeños y un modelo lineal local adecuado.

La dispersión aleatoria mide la precisión; un sesgo común de calibración afecta la exactitud y no desaparece al promediar repeticiones. Para lecturas repetidas independientes, la incertidumbre estándar de la media disminuye como 1/sqrt(n), pero el error sistemático compartido no. La incertidumbre de una dispersión física y la incertidumbre de su media estimada son cantidades diferentes. Indique si un porcentaje citado es una incertidumbre estándar, un intervalo de confianza o un límite de caso peor. Sumar contribuciones absolutas es un límite conservador, no la regla de cuadratura de errores estándar independientes.

El análisis dimensional iguala potencias de masa, longitud y tiempo, en lugar de tamaños numéricos. Para una forma de longitud de Planck G^a $\hbar$^b c^d, las dimensiones son [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T y [c]=L/T. Exigiendo longitud da −a+b=0, 3a+2b+d=1 y −2a−b−d=0. Por tanto a=b=1/2 y d=−3/2, así que la longitud es sqrt(G$\hbar$/c³). El análisis dimensional no puede determinar un coeficiente adimensional arbitrario ni probar que las constantes elegidas son físicamente suficientes. Rechace una fórmula con unidades incorrectas antes de insertar números.

Para incertidumbres estándar pequeñas e independientes en $K=mv^2/2$, diferencie primero.

Con incertidumbres relativas 3% en masa y 2% en velocidad, Un límite del caso más desfavorable usaría una suma, no esta cuadratura. Las correlaciones requieren términos de covarianza.

No confunda la cuenta media con la cuenta garantizada, la varianza con la desviación estándar, o un error estándar aleatorio con un sesgo de calibración. La consistencia dimensional es necesaria pero no suficiente.

incertidumbre estándar: Incertidumbre expresada como desviación estándar bajo un modelo de medición especificado.

aproximación de Poisson: Modelo de conteo de eventos independientes raros con varianza igual a su media.