TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

Un gas puede tener velocidad media cero mientras sus partículas tienen alta velocidad promedio. Las direcciones opuestas se cancelan en la media vectorial; la velocidad no tiene signo.

Prerrequisitos: 4, 35.

• Normalizar densidades continuas de velocidad e interpretar sus unidades
• Diferenciar medias vectoriales, medias de velocidad y velocidades más probables
• Usar pesos de Boltzmann con degeneración y una función de partición

Para una densidad de probabilidad de velocidad continua f(v), f(v)dv aproxima la probabilidad en un intervalo estrecho y ∫desde0hasta∞ f(v)dv=1. La densidad tiene unidades inversas de velocidad y no es en sí una probabilidad. Si P(v)dv cuenta partículas en ese intervalo, su área es el recuento de partículas N y f=P/N. Un trapecio que asciende sobre un ancho v0, permanece plano sobre un ancho 2v0, luego desciende sobre un ancho v0 tiene un área de 3av0 para una altura a. Normalice por el área antes de calcular una media o interpretar una altura graficada.

En un gas isotrópico en equilibrio sin flujo macroscópico, cada distribución de componente de velocidad es simétrica, así que ⟨v_vector⟩=0. La velocidad v=|v_vector| es no negativa y tiene media positiva. Para un gas ideal clásico, la densidad de Maxwell es proporcional a v²exp[−mv²/(2kBT)]. Su moda es sqrt(2kBT/m), su media es sqrt(8kBT/(πm)) y su velocidad cuadrática media es sqrt(3kBT/m). Son tres cantidades diferentes. El factor v² hace que la densidad de velocidad sea cero en v=0, aunque la densidad vectorial de velocidad sea máxima en el vector cero.

Para una distribución continua, la probabilidad de una velocidad específica exacta es cero; las probabilidades no nulas se refieren a intervalos. Esta afirmación no implica que no haya partículas con velocidades arbitrariamente pequeñas, ni que un detector de resolución finita no pueda registrar un valor cero. La temperatura cambia la escala de la distribución de Maxwell: las velocidades características son proporcionales a sqrt(T/m). Duplicar la temperatura no duplica la velocidad, y las partículas más pesadas tienen, en promedio, velocidades menores a la misma temperatura.

En un ensemble canónico a temperatura T, un estado de energía E_i tiene peso exp(−E_i/(kBT)). Divida por la función de partición Z=Σexp(−E_i/(kBT)) para obtener probabilidades. Si un nivel de energía tiene degeneración g_i, su probabilidad de nivel es g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Una igual energía por estado no implica igual probabilidad por nivel cuando las degeneraciones difieren. Para un nivel fundamental de degeneración 1 y un nivel excitado de degeneración 2 a Δ=kBT ln2, el peso total excitado es 2e^(−ln2)=1: los dos niveles tienen cada uno una probabilidad de 1/2. Las suposiciones clásicas de Maxwell–Boltzmann difieren de las ocupaciones cuánticas de Bose–Einstein y Fermi–Dirac.

Un ensemble canónico tiene degeneración fundamental 1 y degeneración excitada g a una separación Delta.

Con g = 4 y $\Delta=k_BT\ln2$, Esta es la probabilidad para todo el nivel excitado. Cada uno de sus cuatro estados tiene probabilidad 1/6.

Una densidad de altura no es una probabilidad. La velocidad media, la rapidez media y la moda difieren; incluya la degeneración antes de normalizar las probabilidades de nivel.

densidad de probabilidad: Probabilidad por unidad de una variable continua, cuya integral da la probabilidad del intervalo.

función de partición: Suma de pesos estadísticos utilizada para normalizar las probabilidades de los estados de equilibrio.