WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

Una forma de onda puede contener muchos armónicos mientras no tiene términos senoidales en absoluto. La simetría de reflexión le dice cuáles coeficientes se anulan antes de la integración.

Requisitos previos: 3, 47.

• Utilice la ortogonalidad para identificar los coeficientes de Fourier
• Aproveche la paridad par e impar sin descartar el término constante
• Relacione las amplitudes de los componentes con la interferencia y las formas de onda físicas

Para una función real 2π-periódica suficientemente regular, escriba f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Los coeficientes son a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx y b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, con a0 usando n=0. Los cosenos y senos son ortogonales en un periodo completo. La media es a0/2, no a0; conserve el término constante incluso cuando todos los coeficientes de frecuencia no nula de una familia se anulen.

Si f es par respecto al origen elegido, f(x)sin(nx) es impar y su integral simétrica es cero, por lo que todos los b_n se anulan. Si f es impar, su media y todos los a_n se anulan. La simetría depende del origen: desplazar la misma señal física puede mezclar coeficientes de seno y coseno mientras deja inalteradas sus frecuencias armónicas. Una forma de onda triangular no negativa simétrica sobre x=0 puede tener armónicos de coseno y una media no nula sin ningún armónico de seno.

Para la extensión 2π-periódica de f(x)=|x| en [−π,π], la media es π/2. Integrando x cos(nx) por partes en [0,π] se obtiene a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), por lo que los coeficientes de coseno de orden par son cero y los de orden impar son −4/(πn²). Todos los coeficientes de seno son cero. La decaimiento 1/n² refleja una función continua con discontinuidad en la pendiente. Una discontinuidad de salto suele producir un decaimiento más lento de los coeficientes y sobreshoot en sumas parciales; no infiera el mismo comportamiento de convergencia para cada forma de onda.

Una suma de Fourier añade amplitudes con sus fases. Para amplitudes monocromáticas coherentes e iguales A que se encuentran con diferencia de fase φ, la amplitud resultante al cuadrado es 2A²(1+cosφ), por lo que la intensidad es 2I0(1+cosφ). Es 4I0 en fase y cero en φ=π. El promedio incoherente elimina el término cruzado, produciendo 2I0. Los armónicos en frecuencias distintas pueden construir una forma con el tiempo; su suma instantánea no es la suma de sus intensidades individuales. Identifique si la pregunta se refiere a una forma de onda, potencia promedio temporal o interferencia coherente.

Para una función periódica real, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. La simetría par hace que todos los coeficientes de seno sean cero porque el integrando es impar. Para $f(x)=|x|$ sobre $[-\pi,\pi]$,

la integración por partes proporciona la segunda expresión. La media es $a_0/2=\pi/2$; solo sobreviven los armónicos de coseno impares. Un cuspid no justifica descartar el término constante.

La simetría par elimina los coeficientes senoidales, no el término constante ni cada armónica cosenoidal. Verifique el origen de la simetría y si los campos son coherentes antes de sumar las intensidades.

ortogonalidad: Integral nula del producto de funciones base distintas sobre el intervalo especificado.

coeficiente de Fourier: Peso de un componente base de seno, coseno o constante en una expansión periódica.