M1 · Mechanics 1

Mechanics 1 (M1, paper WME01/01, 1 hour 30 minutes, 75 marks, first assessment June 2019) is la unidad aplicada de Matemáticas AS Internacionales: P1 y P2 se asumen conocidas. Utilice $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ a menos que se indique lo contrario, y presente respuestas inexactas con 2 o 3 cifras significativas. Esta referencia cubre supuestos de modelado, vectores en mecánica, cinemática de aceleración constante, leyes de Newton con partículas conectadas, momento e impulso, fricción, estática y momentos.

Conocimiento esencial para M1 (no incluido en la hoja de fórmulas — memorizar):

Las palabras en un enunciado son instrucciones. Una partícula tiene masa pero no tamaño; una lámina tiene área pero sin espesor; una barra tiene longitud pero sin espesor; un cuerpo rígido mantiene su forma. Luz significa sin masa; una cuerda ligera sin carga sobre una polea lisa tiene la misma tensión en toda su longitud. Uniforme significa densidad constante, por lo que una barra uniforme tiene su centro de masa en su punto medio. Una cuerda inextensible mantiene su longitud fija; una cuerda tensa sobre una polea fija vincula las magnitudes de velocidad de los extremos, y una superficie lisa frente a una superficie rugosa determinan si actúa la fricción. Una polea lisa y ligera cambia la dirección de la tensión, no su magnitud. Enuncie la suposición que utiliza — "liso, por lo tanto sin fricción" — porque los puntos se otorgan al modelado tanto como al álgebra.

Desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas son vectores: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ tiene magnitud $5$ y dirección $\tan^{-1}(-4/3)$ desde el eje positivo $x$. Descomponer en componentes, trabajar componente por componente, y combinar al final. La resultante de $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ es $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. Con $\mathbf i$ este y $\mathbf j$ norte, un rumbo se mide en sentido horario desde el norte: el vector $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ apunta al suroeste, a $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ al oeste del sur exacto, por lo que su rumbo es $180 + 23 = 203°$.

Ejemplo resuelto — vectores de posición y rumbos (WME01 junio 2025 Q2). La partícula A tiene $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ y $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. Velocidad $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, por lo tanto $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

Aceleración constante significa que las fórmulas suvat aplican una vez por fase; la disciplina son los signos. Elige positivo, escribe $s, u, v, a, t$ con signos para cada fase, y selecciona la fórmula que evite la incógnita que no deseas. Gráficas: en una gráfica de velocidad-tiempo, la pendiente es la aceleración y el área es el desplazamiento (el área bajo el eje cuenta como negativa); una gráfica de rapidez-tiempo no puede ser negativa, por lo que el movimiento ascendente seguido del descendente aparece como una V.

Ejemplo resuelto — arriba y abajo (WME01 junio 2025 Q3). Una pelota se proyecta verticalmente hacia arriba desde A, 12 m sobre el suelo en B, y tarda 4 s en llegar a B. Tomando hacia arriba como positivo con $A$ como origen, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, por lo que $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 cifras significativas 17). Rapidez en el suelo: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, por lo que $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. La gráfica de rapidez-tiempo es una V: cayendo de 16.6 a cero en la cima (después de $16.6/9.8 = 1.7$ s), luego subiendo a 22.6 en $t = 4$ —la parte descendente es más larga y alcanza mayor velocidad; ambas partes tienen pendiente de magnitud $g$.

Segunda ley de Newton aplicada en una dirección sobre una línea recta: $F_{\text{net}} = ma$ para cada fuerza resuelta y con signo asignado. Para dos partículas conectadas en una cuerda ligera e inextensible, escriba una ecuación de movimiento para CADA cuerpo (misma tensión, misma magnitud de velocidad), luego elimine $T$. En un plano inclinado, resuelva paralelamente y perpendicularmente a la pendiente; $\tan\theta = 3/4$ significa $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

Ejemplo resuelto — dos cuerdas en un bote de remolque (WME01 Junio 2025 P4). Fuerzas de 800 N a $25°$ por encima de la línea de movimiento y 500 N a $\alpha$ por debajo tiran de un bote recto a lo largo del canal. Perpendicular al movimiento no hay aceleración: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, por lo tanto $\sin\alpha = 0.676$ y $\alpha = 43°$. A lo largo del movimiento, con masa 15000 kg y resistencia 750 N: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, dando como resultado $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — se esperan respuestas de tres decimales cuando los números son tan pequeños.

Ejemplo resuelto — polea, desde el inicio hasta el final (WME01 Junio 2025 P8). Bolas P (masa $kM$) y Q (masa $3M$, $k < 3$) cuelgan sobre una polea fija ligera y lisa, acelerando a $\tfrac g5$. Ecuaciones de movimiento: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P hacia arriba) y $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q hacia abajo). Eliminando $T$: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, así que $5(3-k) = 3+k$ y $k = 2$. La cuerda tira de la polea hacia abajo con $2T$: con $M = 0.5$ kg, $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ N, por lo que la fuerza es $23.5$ N. Cuando Q toca el suelo después de caer 2.5 m su velocidad es $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$; si rebotes en $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, el impulso sobre Q es $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s. P luego sube a contracción de la gravedad sola durante $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ s después de una $5/\sqrt g = 1.60$ s fase de descenso: tiempo total hasta detenerse $\approx 1.9$ s.

El momento $mv$ y el impulso $I = mv - mu$ son escalares con signo a lo largo de la línea. La tercera ley de Newton hace que el impulse ejercido sobre cada uno de dos cuerpos colisionantes sea igual en magnitud y opuesto en dirección — use uno de ellos, no ambos. Para una colisión directa, la conservación del momento $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ necesita signos consistentes; la restitución NO está en M1.

Ejemplo resuelto — impulso sobre ambos cuerpos (WME01 Junio 2025 P1). P (masa $km$, velocidad $5u$) atrapa a Q (masa $3m$, velocidad $2u$); después P sigue moviéndose hacia adelante a $2u$ y Q a $v$. El impulso sobre Q es $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, por lo tanto $v = 3.5u$. El impulso sobre P es igual y opuesto: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, por lo tanto $k = 1.5$.

Sobre una superficie rugosa, la fuerza de contacto se divide en la reacción normal $R$ (perpendicular) y fricción $F$ (paralela, oponiéndose al movimiento o su tendencia). En movimiento: $F = \mu R$ con $\mu$ el coeficiente de fricción. En equilibrio $F \le \mu R$, con igualdad en equilibrio límite — la frase "a punto de moverse" justifica $F = \mu R$.

Ejemplo resuelto — un paquete en una rampa rugosa (WME01 Junio 2025 P6). Con $\tan\theta = \tfrac34$ y $\mu = \tfrac14$: perpendiculares, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; a lo largo (hacia arriba positivo, desacelerando): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, por lo tanto $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — la desaceleración es $\tfrac45g$, y la respuesta debe mantenerse como una fracción exacta de $g$. Sostenido en reposo sobre el plano inclinado por una fuerza $X$ hacia arriba del plano (masa 2 kg): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, por lo que $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

Una partícula está en equilibrio cuando la fuerza resultante es cero: resuelve en dos direcciones perpendiculares e iguala ambos totales a cero, o dibuja un triángulo vectorial cerrado. Peso $mg$ hacia abajo, reacción normal perpendicular a la superficie, tensión a lo largo de una cuerda alejándose del cuerpo (la compresión a lo largo de una barra empuja), fricción a lo largo de la superficie oponiéndose al deslizamiento. Sobre terreno rugoso en reposo, $F$ es lo que cierra el polígono, limitado a $\mu R$.

Ejemplo resuelto — fuerzas en equilibrio (original). Una partícula de peso 50 N cuelga de dos cuerdas ligeras a $40°$ y $60°$ respecto a la vertical. Resolviendo horizontalmente: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; verticalmente: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. De la primera, $T_2 = 0.742T_1$; luego $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, por lo que $T_1 = 44$ N y $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

El momento de una fuerza respecto a un punto es fuerza × distancia perpendicular, con signo según sentido. Un cuerpo rígido en equilibrio tiene momento resultante cero sobre CUALQUIER punto — así que elige el pivote que elimine la mayor cantidad de incógnitas. "A punto de volcar alrededor de X" significa que la reacción el otro lado se reduce a cero y los momentos se calculan respecto a X.

Ejemplo resuelto — una barra sobre un alféizar (WME01 junio 2025 Q5). Una barra no uniforme AB de longitud $3a$ descansa sobre un alféizar horizontal con el borde en C, $AC = 2a$ desde A; centro de masas $d$ desde A. Una fuerza hacia arriba fuerza $P$ en B la inclina respecto a A: momentos sobre A dan $3aP = Wd$. Una fuerza descendente $1.25P$ en B la inclina alrededor de C: $1.25Pa = W(2a - d)$. Sustituyendo $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (en unidades de $a$): $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, por lo tanto $1.25d = 6a - 3d$, lo que da como resultado $4.25d = 6a$ y $d = \tfrac{24a}{17}$. La lección: cada caso de inclinación tiene su propio punto de pivote, y solo el momento del peso permanece inalterado entre ambos.

• Enumere las suposiciones del modelo aplicadas (partícula, barra ligera, cuerda inextensible, liso/áspero) y explique qué ventaja ofrece cada una.
• Trabaje con vectores de posición y velocidad componente a componente; convierta direcciones a rumbos; encuentre posiciones relativas en un tiempo común.
• Resuelva problemas suvat de una y múltiples fases con signos fijos por fase; lea pendientes y áreas en gráficos de movimiento; dibuje la velocidad-tiempo V para movimiento ascendente-ascendente.
• Aplique $F = ma$ por cuerpo a lo largo de la línea de movimiento; maneje partículas conectadas mediante poleas con ecuaciones emparejadas; determine la fuerza sobre una polea como $2T$.
• Utilice impulso-momento en UNO solo cuerpo de un par de colisión; conserve el momento con signos consistentes.
• Descomponga las fuerzas de contacto en $R$ y $F$; aplique $F = \mu R$ cuando se mueve o está límite; resuelva en planos inclinados usando $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ para $\tan\theta = 3/4$.
• Cierre polígonos de fuerzas para equilibrio en dos direcciones; limite la fricción estática a $\mu R$.
• Tome momentos respecto al pivote que elimine incógnitas; cambie de pivotes cuando el punto de inclinación varía.