P1 · Pure Mathematics 1

Matemáticas Puras 1: la herramienta que usa cada unidad posterior

Matemáticas Puras 1 (P1) es la primera unidad obligatoria tanto del International AS como del International A Level Mathematics, y del International A Level Pure Mathematics. Esta referencia cubre todos los temas P1 en la especificación IAL de Edexcel (Edición 3, abril 2019): álgebra y funciones, geometría coordenada, trigonometría, diferenciación e integración.

• El examen P1 (WMA11/01) dura 1 hora 30 minutos con 75 puntos, y debe contestar todas las preguntas. Exámenes recientes tienen diez preguntas de 5 a 11 puntos cada una.
• Se puede usar una calculadora, pero no una con álgebra simbólica, diferenciación simbólica ni integración, ni fórmulas almacenables recuperables.
• Se proporciona el folleto amarillo Fórmulas Matemáticas y Tablas Estadísticas. Las fórmulas en la tabla "que debe saber" abajo no aparecen en ese folleto, así que memorícelas.
• Debe dar respuestas aproximadas a 3 cifras significativas a menos que se indique lo contrario. Cuando una pregunta diga "debe mostrar todas las etapas de su procedimiento", una respuesta de calculadora sola no obtiene puntos.

Fórmulas que debes conocer para P1 (según la información de evaluación del programa):

Fórmula	Uso
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$	raíces de $ax^2 + bx + c = 0$
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$	regla del seno
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	regla del coseno
área $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$	área de un triángulo
longitud de arco $s = r\theta$, área de sector $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$	$\theta$ en radianes
$\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$	regla de la potencia para derivación
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$	regla de la potencia para integración

Álgebra y funciones

Índices y radicales

Las leyes de los índices se aplican a todos los exponentes racionales:

Los potencias fraccionales son raíces: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, por lo tanto $a^{1/2} = \sqrt{a}$ y $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Un exponente negativo significa recíproco: $a^{-1} = 1/a$. Las preguntas suelen pedirte que escribas una respuesta en la forma $kx^n$ con $k$ y $n$ como constantes completamente simplificadas.

Ejemplo resuelto — tres manipulaciones de índices (adaptado de Edexcel IAL WMA11 junio 2025 Q1). Dado $p = \dfrac{x^4}{16}$ y $q = \dfrac{40}{3x}$, escribe cada expresión en la forma $kx^n$.

(a) $p^{\frac{1}{2}}$.

• Conocido: $p = x^4/16$, y un exponente $\tfrac12$ significa raíz cuadrada.
  $$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
• Verificación: al elevar al cuadrado la respuesta, $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.

(b) $(pq)^{-1}$.

• Conocido: multiplica antes de invertir, usando $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
  $$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$
  $$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
• Verificar: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.

(c) $(pq)^2$.

• Verificar: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$ y las constantes ya están completamente simplificadas.

Una raíz exacta es una raíz precisa como $\sqrt{2}$. Mantenga las respuestas exactas a menos que se soliciten decimales; los examinadores penalizan los decimales redondeados cuando se espera una raíz exacta. Para racionalizar el denominador , multiplique el numerador y el denominador por un término que elimine la raíz:

Ejemplo resuelto — racionalización. Escriba $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ con un denominador racional.

• Conocido: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$, así que multiplique por $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
  $$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
• Verificar con calculadora: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ y $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓

Ecuaciones cuadráticas: discriminante y completar el cuadrado

Una función cuadrática tiene la forma $y = ax^2 + bx + c$; su gráfica es una parábola abierta hacia arriba ($a>0$) o hacia abajo ($a<0$). El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina el número de raíces:

• $\Delta > 0$: dos raíces reales distintas — la curva corta el eje $x$ dos veces;
• $\Delta = 0$: una raíz repetida — la curva toca el eje $x$;
• $\Delta < 0$: sin raíces reales — la curva nunca intersecta el eje $x$.

Completar el cuadrado reescribe $ax^2+bx+c$ como $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, lo que proporciona el punto de giro $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ directamente. Resuelva ecuaciones cuadráticas mediante factorización, la fórmula, completar el cuadrado o una calculadora — pero "muestre todo" Las preguntas de "etapas" rechazan el uso exclusivo de calculadora.

Ejemplo resuelto — una ecuación cuadrática oculta (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 Pregunta10). La ecuación $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, donde $k$ es una constante.

(a) Para $k = 4.5$, encuentre las soluciones exactas.

• Conocido: con $k = 4.5$ la ecuación es $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$; multiplique por 2 para eliminar decimales:
  $$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
• Por qué sustituir: $x^6 = (x^3)^2$, por lo tanto esto es una ecuación cuadrática en $x^3$. Sustituya $z = x^3$:
  $$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
• Vuelva a $x$: $x^3 = -\tfrac17$ o $x^3 = -1$, por lo tanto
  $$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
• Verificación: $z=-1$ da $7-8+1 = 0$ ✓; $z=-\tfrac17$ da $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓

(b) Encuentre el conjunto de valores de $k$ para los cuales la ecuación no tiene raíces reales.

• Conocido: trate la ecuación como una cuadrática en $x^3$ con $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$. No tener raíces reales requiere un discriminante negativo:
  $$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$
  $$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
• Verificación: en $k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓; en $k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓; en $k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (dos raíces reales ahí).

Ecuaciones e inecuaciones simultáneas

Resuelva ecuaciones simultáneas analíticamente mediante sustitución: reorganice la ecuación lineal, sustituya en la otra, resuelva y luego vuelva a sustituir. Una línea que intersecta una curva proporciona una ecuación cuadrática cuyas raíces son las coordenadas-x de intersección $x$ — este es el "geométrico interpretación geométrica de las soluciones algebraicas" que exige el programa.

Ejemplo resuelto — recta que intersecta una curva cúbica al cuadrado (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 Pregunta7). $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ y $C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ se cruzan cuando

• Expandir ambos lados: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
• Agrupar términos: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$, luego dividir por $0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
• Factorizar: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, por lo tanto $x = 0, -8, 6$.
• Sustituir de vuelta en $C_2$: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$.
• Verificar con $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ y $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓

Desigualdades siguen la misma álgebra, pero la respuesta es un rango:

• Resolver $ax + b > cx + d$ agrupando $x$ (el signo de desigualdad permanece al sumar/restar, y se mantiene al dividir por un número positivo; dividir por un negativo invierte el signo).
• Resolver $px^2 + qx + r \le 0$ mediante esbozo: la solución es donde la parábola está sobre o bajo la línea, entre las raíces.
• Las desigualdades "curva debajo de la recta" como $px^2+qx+r < ax+b$ significan: ¿dónde la altura de la curva es menor que la altura de la recta? Encontrar intersecciones primero.
• Al hacer un esbozo de la región solución, usar una línea punteada para límites estrictos $<$ o $>$ y una línea sólida para $\le$ o $\ge$.

Ejemplo resuelto. Resuelva $x^2 < 3x + 10$.

• Reorganizar: $x^2 - 3x - 10 < 0$, y factorizar: $(x-5)(x+2) < 0$.
• La parábola $y = (x-5)(x+2)$ se abre hacia arriba, por lo que está por debajo de cero entre sus raíces:
  $$-2 < x < 5$$
• Verificar: $x = 0$ da $0 < 10$ ✓; $x = 6$ da $36 < 28$ ✗ (correctamente excluido).

Polinomios: expansión y factorización

Expandir paréntesis y agrupar términos semejantes; factorizar extrayendo factores comunes y por agrupación. Los cúbicos se factorizan completamente una vez que se identifica una raíz: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. La notación $f(x)$ nombra la función, por lo que $f(2)$ significa "sustituir $x = 2$".

Dibujar gráficas y transformaciones

Dibuja (sin trazar puntos) estas familias: cuadráticas y cúbicas simples como $y = x^3 - 4x$; funciones recíprocas $y = \dfrac{k}{x}$ y $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), que tienen una asíntota —una línea a la que la curva se acerca pero nunca toca—; y las gráficas trigonométricas de abajo. Marca los puntos de corte con los ejes y los puntos de inflexión o máximos/mínimos.

Las intersecciones resuelven ecuaciones: las curvas $y = f(x)$ y $y = g(x)$ se encuentran donde $f(x) = g(x)$.

Una transformación a la vez, aplicada a $y = f(x)$:

Nueva ecuación	Lo que hace a la gráfica
$y = a f(x)$	estiramiento paralelo al eje $y$, factor de escala $a$
$y = f(x) + a$	traslación por $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (mueve hacia arriba en $a$)
$y = f(x + a)$	traslación por $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (mueve a la izquierda en $a$)
$y = f(ax)$	estiramiento paralelo al eje $x$, factor de escala $\dfrac{1}{a}$

Ejemplo resuelto — describir dos transformaciones (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 Pregunta9).

• $y = \sqrt{2x}$ a partir de $y = \sqrt{x}\,$: escribe $\sqrt{2x} = f(2x)$, por lo tanto es un estiramiento paralelo al eje $x$ con factor de escala $\tfrac12$.
• $y = 12 - \sqrt{x}$ a partir de $y = -\sqrt{x}\,$: escribe $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, una traslación por $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (hacia arriba en 12).
• Verifica con un punto: $y=\sqrt x$ pasa por $(4, 2)$; después de la primera transformación, la curva pasa $(2, 2)$ (mitad de $x$), y $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. Después del segundo, $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, por lo tanto $(4, 10)$ se encuentra sobre ella ✓.

Geometría analítica en el plano (x, y)

Una recta que pasa por $(x_1, y_1)$ con pendiente $m$ tiene la ecuación $y - y_1 = m(x - x_1)$; la forma $ax + by + c = 0$ oculta la pendiente en $-\dfrac{a}{b}$. Dos puntos permiten calcular la pendiente: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Las rectas paralelas comparten su pendiente: $m_1 = m_2$.
• Las rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es $-1$: $m_1 m_2 = -1$.

Ejemplo resuelto — perpendicular que pasa por el origen (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 Pregunta5). La recta $l_1$ tiene la ecuación $x - 2y + 25 = 0$; $l_2$ pasa por el origen y es perpendicular a $l_1$.

(a) Ecuación de $l_2$.

• Datos: reorganizar $l_1$: $2y = x + 25$, luego $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ y $m_1 = \tfrac12$.
• Razonamiento: las pendientes perpendiculares multiplicadas dan $-1$, entonces $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
  $$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$

(b) $l_1$ y $l_2$ se intersectan en $P$.

• Sustituir $y = -2x$ en $x - 2y + 25 = 0$:
  $$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
• $P = (-5, 10)$. Verificar en $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓

(c) Distancia más corta desde $l_1$ al origen, expresada como raíz simplificada.

• La distancia mínima es $|OP|$ a lo largo de la perpendicular:
  $$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
• Verificación: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓

Trigonometría

Regla del seno, regla del coseno y área de un triángulo

En el triángulo $ABC$ con lados $a, b, c$ opuestos a los ángulos $A, B, C$:

Usa la ley de senos para pares (lado, ángulo opuesto); la ley de cosenos cuando no hay par opuesto. La ley de senos tiene un caso ambiguo: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, por lo que un ángulo y su suplemento pueden encajar ambos — verifica cuál permite el diagrama.

Medida en radianes, longitud de arco y área de sector

Un radian es el ángulo subtendido por un arco cuya longitud es igual al radio; $180° = \pi$ radianes. Con $\theta$ en radianes:

La longitud del arco es $s = r\theta$ y el área del sector es $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.

Un sector mayor es la parte más grande del círculo: ángulo $2\pi - \theta$ cuando el ángulo menor es $\theta$.

Ejemplo resuelto — una plataforma de helicópteros desde un sector mayor y un triángulo (adaptado de Edexcel IAL WMA11 junio 2025 P6). Una plataforma de aterrizaje es el sector mayor $AOB$ de un círculo de centro $O$ unido a triángulo $AOC$: $AO = OB = 15$ m, $BC = 2$ m, $CBO$ es una línea recta, y el ángulo $ACO = 0.6$ radianes.

(a) Muestre el ángulo $COA = 1.847$ radianes a 3 decimales.

• Datos: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ m; en el triángulo $AOC$, el lado $AO = 15$ es opuesto al ángulo dado ángulo $0.6$, y el lado $OC = 17$ es opuesto al ángulo $CAO$.
• Ley de senos (cítala primero):
  $$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$
  $$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
• Verificación: los ángulos suman $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓

(b) Área total del cojín.

• Ángulo del sector mayor: $2\pi - 1.847 = 4.436$ radianes.
  $$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$
  $$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$
  $$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Verificación: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓

(c) Perímetro del cojín.

• El límite es el arco mayor $AB$ más los lados $AC$ y $BC$.
  $$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
• Regla del coseno para $AC$ (citarla primero):
  $$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$
  $$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
• Verificación: $\cos 1.847 < 0$ (el ángulo es obtuso), por lo que el término $-2bc\cos A$ suma ✓

Gráficas de seno, coseno y tangente

$y = \sin x$ y $y = \cos x$ se repiten cada $2\pi$ ($360°$); $y = \tan x$ se repite cada $\pi$ ($180°$) con asíntotas en $x = 90° + 180°n$. Conocer las simetrías: $\cos$ es par, $\sin(180° - x) = \sin x$, y $\tan x = \sin x / \cos x$. Curvas como $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ y $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ se derivan de las reglas de transformación anteriores. Resolver ecuaciones gráficamente contando intersecciones en un intervalo dado.

Ejemplo resuelto — contar soluciones (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 P4). Para $y = 4\cos x$ con $x$ en grados: ¿cuántas soluciones tiene $5 + 4\cos x = 1$ para $-720° < x \le 720°$?

• Reordenar: $4\cos x = -4$, por lo tanto $\cos x = -1$, resultando en $x = 180° + 360°n$.
• En $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 soluciones.
• Verificación: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, y $5 + 4(-1) = 1$ ✓. El intervalo es semiabierto, por lo que $x = -720°$ (donde $\cos = 1$) se excluye correctamente.

Diferenciación

La derivada $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ es la pendiente de la tangente a $y = f(x)$ en un punto — el límite de las pendientes de la cuerda cuando los dos puntos se fusionan. Es la tasa de cambio de $y$ con respecto a $x$. La segunda derivada $f''(x)$ se deriva nuevamente. (No se requiere la regla de la cadena en P1.)

Derive término por término usando la regla de la potencia, expandiendo productos y separando fracciones primero:

Ejemplo resuelto — condición de pendiente en una curva (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 Q2). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$; el punto $P$ sobre $C$ tiene coordenada $x$ igual a $2^k$ y la pendiente en $P$ es 16. Encuentre $k$.

• Derive (los exponentes disminuyen en uno): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
• Iguale la pendiente a 16 en $x = 2^k$:
  $$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
• Verifique: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ y $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓

Ejemplo resuelto — tangente, normal y segunda derivada (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 Pregunta8). Una curva tiene derivada $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ y pasa por $P(4, 12)$; la tangente en $P$ es $y = 10x + c$.

(a) Demuestre que $k = \tfrac14$ y encuentre $c$.

• Conocido: la pendiente de la tangente es igual a $f'(4)$:
  $$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
• La tangente pasa por $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
• Verificar: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ y $10(4) - 28 = 12$ ✓

(b) $f''(x)$ en $P$.

• Verificación: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓

Integración

Integración invierte la diferenciación: si $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$), entonces

Se requiere la constante de integración $c$ — cada traslación vertical comparte el mismo derivado. Aumente cada exponente en uno, divida por el nuevo exponente e integre término a término después de expandir. Dado $f'(x)$ y un punto en la curva, encuentre $c$ y recupere $y = f(x)$ exactamente.

Ejemplo resuelto — expandir antes de integrar (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 P3). Encuentre $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.

• Expandir el numerador: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; el denominador es $3x^{1/2}$.
• Dividir término a término (restar potencias de $x$):
  $$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
• Integrar cada término (aumentar potencia en uno, dividir por la nueva potencia):
  $$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$
  $$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
• Verificar diferenciando: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — el integrando vuelve exactamente.

Ejemplo resuelto — recuperar $f(x)$ de $f'(x)$ y un punto (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junio 2025 P8, continuación). Con $k = \tfrac14$, por lo tanto $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, y $P(4, 12)$ en la curva:

• Sustituir $P$: $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, y $4^{3/2} = 8$:
  $$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
• Verificar: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, y diferenciando la respuesta da $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, por lo que $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (la pendiente de la tangente desde antes).

Lista de verificación antes de considerar completada esta unidad

• Manipular $a^{m/n}$, potencias negativas y radicales con exactitud, y racionalizar denominadores.
• Leer $b^2-4ac$ de tres formas, completar el cuadrado y resolver ecuaciones cuadráticas ocultas mediante sustitución.
• Resolver sistemas lineal-cuadráticos simultáneos por sustitución e interpretarlos como intersecciones.
• Resolver y esbozar desigualdades lineales y cuadráticas con límites punteados/sólidos correctos.
• Esbozar cúbicas, recíprocas (con asíntotas) y curvas transformadas, nombrando dirección, tipo y factor de escala de cada transformación individual.
• Escribir ecuaciones de rectas en ambas formas; usar $m_1m_2 = -1$ para perpendiculares.
• Citar la ley del seno, la ley del coseno y $\tfrac12 ab\sin C$; manejar el caso ambiguo y los sectores mayores en radianes.
• Contar soluciones gráficas trigonométricas sobre un intervalo antes de listarlas.
• Diferenciar e integrar $x^n$ término a término, tras expandir; siempre añadir $+c$.
• Convertir $f'(x)$ más un punto en $f(x)$, y verificar sustituyendo el punto nuevamente.