M2 · Mechanics 2

Estadística 1 (S1, examen WST01/01, 1 hora 30 minutos, 75 puntos, primera evaluación junio 2019) es el módulo de estadística de M1 en Matemáticas AS Internacional; se asume P1 y P2. El folleto de fórmulas incluye las tablas estadísticas; las fórmulas a continuación son suyas para memorizar. Esta guía cubre la representación y resumen de datos, probabilidad, correlación y regresión, variables aleatorias discretas y la distribución Normal.

Conceptos obligatorios para S1 (no incluidos en el folleto):

Un modelo estadístico es una descripción simplificada de una situación real utilizada para representar, analizar y predecir. Razones para utilizarlo: es más rápido y económico que el experimento real, puede ser repetido y refinado, y expone relaciones. Conozca las razones estándar — "hacer predicciones" por sí solo no es suficiente para obtener el punto.

En un histograma, el ÁREA representa la frecuencia: la altura de la barra es la densidad de frecuencia $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, por lo tanto, las clases desiguales tienen anchos desiguales, y comparar barras es comparar densidades. Un gráfico de tallos y hojas conserva los valores originales (comparar lado a lado dos grupos). Un gráfico de caja muestra el mínimo, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y máximo, con los valores atípicos marcados como cruces separadas según cualquier regla que establezca la pregunta.

Ejemplo resuelto — alturas de histogramas por razón (WST01 junio 2025 P5a). Velocidades de 225 automóviles en clases de anchos 5, 5, 10, 15, 15 con frecuencias 54, 90, 60, 15, 6; las densidades son 10.8, 18, 6, 1, 0.4. La barra más alta (25–30, densidad 18) se dibuja con altura de 10 cm, por lo tanto la segunda más alta (20–25, densidad 10.8) mide $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ cm. Cuidado: la barra (30–40) TAMBIÉN tiene densidad 6 — solo el argumento de proporción obtiene los puntos, no "60 ÷ 10".

Para datos agrupados, estime la mediana o los cuartiles mediante interpolación lineal dentro de la clase contenedora: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. El rango intercuartílico es $Q_3 - Q_1$; la varianza es $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (o $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). Combinar grupos: el total de $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, el total de $\sum x^2$ se suma directamente, luego reaplique las fórmulas. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La codificación invierte: si $w = 11.5d$, entonces $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ y $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

Ejemplo resuelto — combinación de dos clases (WST01 junio 2025 P2). Clase A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; clase B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; los 54 estudiantes combinados tienen una media de 45. Luego $\sum x = 54(45) = 2430$, por lo tanto $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ y $b = 43.4$. La desviación estándar combinada: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. Si cada calificación B aumenta en 2: la varianza de B permanece igual (un desplazamiento no altera la dispersión), la media combinada aumenta, y la desviación estándar combinada disminuye — B se acerca a A, por lo que todo el grupo tiene menor dispersión.

Ejemplo resuelto — interpolación de cuartiles (WST01 Junio 2025 Pregunta5c–d). Con frecuencias acumuladas frecuencias 54, 144, 204, 219, 225: la mediana es el valor 112.5, dentro de 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ es el valor 168.75, dentro de 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, por lo que con $Q_1 = 25.14$ dado, $IQR = 8.985$.

Comparar distancias: $(Q_3 - Q_2)$ frente a $(Q_2 - Q_1)$, o media frente a mediana. Arriba, $5.875 > 3.11$ (y media $30.6 >$ > mediana $28.25$), por lo que las velocidades están asimétricas positivamente Partir del espacio muestral: enumerar resultados supera la búsqueda de fórmulas. Para cualquier par de eventos,

Trabajar desde el espacio muestral: listar resultados supera buscar fórmulas. Para cualquier par de eventos, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ y $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; independencia invierte el árbol: $P(B\mid A) = P(B)$. Sin reposición, las invierte el árbol: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Sin reposición, las fracciones de la segunda capa disminuyen en uno tanto en el numerador como en el denominador.

Ejemplo resuelto — de Venn a condicional (WST01 Junio 2025 Pregunta4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. Entonces $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ y $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — completa el diagrama de Venn y ambas respuestas se obtienen directamente.

Ejemplo resuelto — árbol con reversión (WST01 junio 2025 Q7). Bolsa: 3 blancas, 6 amarillas; dos extraídas sin reposición. Árbol: $\tfrac69, \tfrac39$, luego $\tfrac58, \tfrac38$ tras amarillo y $\tfrac68, \tfrac28$ tras blanco. Exactamente una amarilla: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. Al menos una blanca: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. Dado al menos una blanca, ambas blancas: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

El coeficiente de correlación de producto momento $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ mide la asociación LINEAL ($-1 \le r \le 1$); interpreta en contexto. La recta de mínimos cuadrados de regresión de $y$ sobre $x$ es $y = a + bx$ con $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ y $a = \bar y - b\bar x$ — solo utilizable para predecir $y$ A PARTIR DE $x$, y solo dentro del rango de datos (la extrapolación es el peligro señalizado). Invierte $x$ y $y$ y la recta será diferente.

Ejemplo resuelto — regresión codificada (WST01 junio 2025 Q3). Con $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ sobre 12 días: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; el cpmm $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — días más cálidos, menos gas. La regresión de $w$ sobre $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, por lo tanto $w = -3.46t + 30.9$; divide through by 11.5 for $d$ on $t$: $d = -0.301t + 2.69$. At $t = 2$: $d = 2.09$ m³, and each extra degree means about $0.3$ m³ less gas.

Una variable aleatoria discreta toma valores aislados con probabilidades $p(x) = P(X = x)$ que suman 1; su tabla de función de probabilidad es el objeto. Esperanza $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, varianza $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. La función acumulativa $F(x_0) = P(X \le x_0)$ suma las probabilidades hasta $x_0$. La distribución DISCRETA UNIFORME sobre $1, \dots, n$ tiene $E(X) = \tfrac{n+1}2$ y $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

Ejemplo resuelto — procedimiento completo (WST01 Junio 2025 P1). X con probabilidades 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 en 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. La desigualdad $3X - 3 < X + 2$ se resuelve para $X < 2.5$, por lo tanto $P = 0.5$ — despeje primero para $X$, luego sume. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; y $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ mediante la regla de codificación.

Para la distribución Normal $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, estandarice: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ luego lea la tabla. La simetría hace la mitad del trabajo: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ y $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Los problemas inversos dan $z$ a partir de la tabla, luego $x = \mu + z\sigma$; dos condiciones sobre la misma $k$ dan ecuaciones simultáneas.

Ejemplo resuelto — sacos de harina (WST01 Junio 2025 P6). Sacos pequeños $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. De 4 sacos, exactamente 2 superan 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Bolsas grandes $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ con el percentil 85 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, por lo tanto $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. Si $P(X > k) = P(Y < 2k)$, entonces $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, por lo tanto $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, y $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• Dar varias razones por las que se utilizan los modelos estadísticos; mantener "barato y rápido" más uno adicional.
• Calcular densidades de frecuencia para clases desiguales; comparar barras del histograma mediante proporciones; interpolar cuartiles dentro de la clase correspondiente; marcar valores atípicos según la regla establecida.
• Combinar conjuntos de datos a través de $\sum x$ y $\sum x^2$; invertir codificación en estadísticas de $S$; predecir el efecto de desplazar o escalar sobre la media, varianza y desviación estándar.
• Resolver problemas de probabilidad a partir de diagramas de Venn y árboles, con y sin reemplazo; invertir condicionales con $P(A\cap B)/P(A)$.
• Calcular $r$ a partir de estadísticas de $S$ e interpretarlo; ajustar $y = a + bx$; predecir solo dentro del rango; devolver los datos codificados a la variable original.
• Ejecutar la rutina discreta DRV: las probabilidades suman 1, resolver desigualdades para $X$ primero, $E(X)$, $E(X^2)$, varianza, codificación lineal; citar los resultados uniformes.
• Estandarizar en ambas direcciones para problemas normales; usar simetría; finalizar problemas de dos condiciones con ecuaciones simultáneas.