P4 · Pure Mathematics 4

Matemáticas Puras 4 (P4) es la unidad final obligatoria de Matemáticas Nivel A Internacional y Matemáticas Puras Nivel A Internacional. Se asume P1–P3 y pueden evaluarse en el papel WMA14/01 (duración de 1 hora(s) 30 minuto(s), 75 puntos; mismas reglas para calculadora y folleto de fórmulas). Esta referencia cubre la demostración por reducción al absurdo, fracciones parciales, ecuaciones paramétricas y el binomio general series, derivación implícita y paramétrica, ecuaciones diferenciales, los métodos extendidos de integración, volúmenes de revolución y vectores.

Conocimiento esencial para P4 (no incluido en el cuaderno):

Demostración por reducción al absurdo asume lo contrario de la afirmación, deriva una imposibilidad, y concluye la afirmación original. Dos clásicos deben conocerse:

Ejemplo resuelto — $\sqrt2$ es irracional. (Un número es irracional cuando ninguna fracción $\tfrac pq$ lo iguala.) Suponga en cambio que $\sqrt2 = \tfrac pq$ en su mínima expresión ($p, q$ enteros coprimos, $q \ne 0$).

• Elevando al cuadrado: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, luego $p^2$ es par, luego $p$ es par: escriba $p = 2r$.
• Entonces $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, luego $q$ también es par.
• Que ambos $p$ y $q$ sean pares contradice que $\tfrac pq$ esté en su mínima expresión. $\blacksquare$

Ejemplo resuelto — hay infinitos primos. Supongamos que hay finitos: p₁, p₂, ..., pₙ. $p_1, \ldots, p_k$.

• Considere $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. Al dividir $N$ por cualquier $p_i$ queda un residuo 1.
• Por lo tanto, $N$ es primo él mismo o tiene un factor primo no en la lista — en cualquier caso, un primo fuera de $\{p_1, \ldots, p_k\}$, contradiciendo la suposición. $\blacksquare$

Ejemplo resuelto — contradicción trigonométrica (adaptado de Edexcel IAL WMA14 junio 2025 Q10). Demuestre que $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ para todo $90° < x < 180°$.

• Supongamos lo contrario: algún $x$ en el rango tiene $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Elevando al cuadrado (ambos lados no negativos):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• Pero $90° < x < 180°$ implica $180° < 2x < 360°$, donde $\sin 2x < 0$ — una contradicción.
• Por tanto, no existe tal $x$ y $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ se cumple en todo el rango. $\blacksquare$
• Verifique en $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; en $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

Descomponga funciones racionales en fracciones parciales. Los denominadores permanecen con complejidad lineal repetida: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ o $(ax+b)(cx+d)^2$ con el factor repetido $(cx+d)$ distribuido entre potencias; los factores cuadráticos no son necesarios. Fracciones impropias (grado del numerador $\ge$ grado del denominador) divida primero.

Ejemplo resuelto — factores distintos. Descomponga $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (de la hoja P2 familia):

• Verifique en $x = 0$: LHS $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; RHS $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

Ejemplo resuelto — factor repetido. Descomponga $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• Establezca con el factor repetido distribuido en ambas potencias:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• Multiplique a través: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• En $x = 0$: $6 = A$. En $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• Compare $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• Verifique en $x = 1$: LHS $= \tfrac{16}{4} = 4$; RHS $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

Las ecuaciones paramétricas proporcionan ambas coordenadas a través de un parámetro $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. Convierta a forma cartesiana despejando $t$ de una ecuación y sustituyéndola en la otra (o mediante una identidad). Nunca olvide los valores excluidos de $x$ donde el mapeo del parámetro falla.

Ejemplo resuelto. Una curva tiene $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Encuentre la ecuación cartesiana.

• De $x = 2t$: $t = \dfrac x2$, por lo tanto
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Verifique en $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; cartesiana: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

Ejemplo resuelto — punto y normal paramétricos (hechos verificados de Edexcel IAL WMA14 Junio 2025 Q5). Una curva paramétrica pasa por $P(-7, -3)$ en $t = 2$ con $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ allí (de $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• Pendiente de la normal: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• Verifique: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

Para cualquier racional $n$ y $\lvert x \rvert < 1$:

Factorice primero: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, válido para $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. Descomponga funciones racionales en fracciones parciales, luego expanda cada parte. Los potencias no terminan a menos que $n$ sea un entero positivo.

Ejemplo resuelto (adaptado de Edexcel IAL WMA14 Junio 2025 Q8). Expanda $\sqrt{4 + x}$ hasta tres términos no nulos.

• Factorice: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, válido $\lvert x\rvert < 4$, con $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• Verifique en $x = 1$: la serie da $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; verdadero $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (el tercer término reduce el valor de dos términos 2.25 dentro de 0.002).

Diferenciación implícita: se derivan ambos lados con respecto a $x$, tratando $y$ como función de $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, y productos como $xy$ requieren la regla del producto: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. Luego resuelve para $\dfrac{dy}{dx}$.

Diferenciación paramétrica: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ cuando $dx/dt\ne0$; de lo contrario verifica la tangente directamente.

Ejemplo resuelto — una tangente implícita (adaptado de Edexcel IAL WMA14 Junio 2025 Pregunta1). La curva $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ pasa por el punto $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. Encuentra la tangente en ese punto.

• Deriva término por término:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• En $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, por lo tanto
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• Tangente: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• Verifique: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

Formula una ecuación a partir de una descripción de tasa, luego resuelve ecuaciones separables:

Verifica cualquier valor cancelado al separar variables: las soluciones constantes pueden perderse. Usa una condición de contorno para la solución particular. Las tasas de cambio conectadas usan la regla de la cadena: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

Ejemplo resuelto — una esfera que se derrite (Edexcel IAL WMA14 Junio 2025 Pregunta2). Una esfera de radio $r$ cm tiene volumen $V = \tfrac43\pi r^3$ y se derrite con $\dfrac{dV}{dt} = k$ (constante, en cm³ por segundo). Demuestra $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• Deriva el vínculo del volumen: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• Regla de la cadena: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, por lo tanto
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• La constante $\dfrac{k}{4\pi}$ multiplica a $\dfrac{1}{r^2}$: la tasa de disminución del radio es inversamente proporcional a $r^2$. $\blacksquare$
• Interpretación: las esferas pequeñas desaparecen desproporcionadamente rápido — el último milímetro se funde más rápidamente.

Ejemplo resuelto — una ecuación separable (adaptado de Edexcel IAL WMA14 junio 2025 Q3). Resuelva $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, dado $y = 4$ en $x = \tfrac\pi6$.

• Separe: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (el lado derecho se integra a $\tfrac32\sec 2x$, invirtiendo $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• Sustituya $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, por lo tanto $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• Verifique: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• Sustitución (generalmente dada): reescriba la integral en $u$, ajuste $dx$ mediante $\dfrac{du}{dx}$, integre y vuelva a sustituir. Es la regla de la cadena invertida.
• Integración por partes: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — la regla del producto invertida. Conozca $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ y repita las partes para integrales tipo $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• Las fracciones parciales convierten un integrando racional en sumas de $\dfrac{A}{ax+b}$ (integrándose a logaritmos) y $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (a potencias).

Ejemplo resuelto — integración por partes con repetición prevista. Encuentre $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (necesario para volúmenes de revolución con curvas trigonométricas).

• Partes con $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• Partes nuevamente en la nueva integral ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• La integral original reaparece; agrúpela:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• Verificar derivando: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

Al rotar la región bajo $y = f(x) \ge 0$ alrededor del eje $x$, se genera un sólido cuyo volumen es

el volumen de revolución

Elevar al cuadrado la función antes de integrar, usar identidades para manejar $\sin^2$/$\cos^2$, y descomponer por linealidad. Con ecuaciones paramétricas, sustituir $y^2\,dx$ por $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ entre los valores del parámetro; las áreas bajo curvas paramétricas usan $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

Ejemplo resuelto — volumen con una identidad (estructura adaptada de Edexcel IAL WMA14 Junio 2025 P9). La región bajo $y = 3\cos x$ para $0 \le x \le \tfrac\pi2$ gira alrededor del eje $x$; encontrar el volumen exacto.

• Comprobación: el promedio de $\cos^2x$ sobre media vuelta es $\tfrac12$, luego $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ exactamente.

Un vector tiene magnitud y dirección, escrito $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ o como columna.

La magnitud es $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; para $\mathbf a\ne\mathbf0$, el vector unitario en su dirección es $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. El vector nulo no tiene dirección.

La suma y la multiplicación escalar tienen significados geométricos (traslaciones, escalado, paralelo cuando uno es múltiplo del otro).

El producto escalar $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ proporciona ángulos entre vectores no nulos mediante $\cos\theta$. El vector de posición de $B$ respecto a $A$ es $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

Ejemplo resuelto — triángulo de 45° (Edexcel IAL WMA14 Junio 2025 P6, completamente verificado). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, y ángulo $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, entonces $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• Producto escalar: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• Condición de ángulo con $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• Verificación: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ coincide con el producto escalar.

• Estructura de demostraciones por contradicción (√2, números primos) con la suposición enunciada y la contradicción nombrada.
• Descomponer en fracciones parciales incluyendo factores lineales repetidos; dividir fracciones impropias primero; verificar mediante un valor sustituido.
• Convertir paramétricas ↔ cartesianas con valores excluidos; encontrar tangentes y normales paramétricas mediante dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• Expandir $(a + bx)^n$ para racionales $n$ con la condición de validez; combinar expansiones de fracciones parciales.
• Derivar implícitamente (regla del producto en términos mixtos) y paramétricamente; formar ecuaciones diferenciales a partir de tasas relacionadas conectadas.
• Resolver ecuaciones separables con una condición de contorno; verificar la solución particular.
• Integrar por sustitución, integración por partes (incluyendo repeticiones, $\ln x$) y fracciones parciales.
• Calcular volúmenes de revolución $\pi\int y^2 dx$ y áreas paramétricas mediante $dx/dt$.
• Usar vectores: magnitud, vectores unitarios, vectores de posición; ángulos de producto escalar.