Energía y momento de sistemas rotantes

Objetivo de Aprendizaje 6.1.A: Describir la energía cinética de rotación de un sistema rígido en términos de su inercia rotacional y velocidad angular.

• 6.1.A.1 La energía cinética de rotación de un objeto o sistema rígido está relacionada con la inercia rotacional y la velocidad angular de dicho sistema, y se expresa mediante la ecuación $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$.
  • Ecuación: $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$
  • 6.1.A.1.i La inercia rotacional de un objeto respecto a un eje fijo puede utilizarse para demostrar que la energía cinética de rotación de ese objeto es equivalente a su energía cinética traslacional, que constituye su energía cinética total.
  • 6.1.A.1.ii La energía cinética total de un sistema rígido es la suma de su energía cinética de rotación debida a su rotación alrededor de su centro de masa y su energía cinética traslacional debida al movimiento lineal de su centro de masa.
• 6.1.A.2 Un sistema rígido puede poseer energía cinética de rotación mientras su centro de masa permanece en reposo, debido a que los puntos individuales dentro del sistema rígido tienen velocidad lineal y, por lo tanto, energía cinética.
• 6.1.A.3 La energía cinética de rotación es una cantidad escalar.

Objetivo de aprendizaje 6.2.A: Describir el trabajo realizado sobre un sistema rígido por un torque dado o una colección de torques.

• 6.2.A.1 Un torque puede transferir energía hacia adentro o hacia afuera de un objeto o sistema rígido si el torque se ejerce a lo largo de un desplazamiento angular.
• 6.2.A.2 La cantidad de trabajo realizado sobre un sistema rígido por un torque está relacionada con la magnitud de dicho torque y el desplazamiento angular mediante el cual rota el sistema rígido durante el intervalo en que se ejerce ese torque.
  • Ecuación: $W = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$
• 6.2.A.3 El trabajo realizado sobre un sistema rígido por un torque dado puede determinarse a partir del área bajo la curva de un gráfico del torque en función de la posición angular.

Objetivo de aprendizaje 6.3.A: Describir el momento angular de un objeto o sistema rígido.

• 6.3.A.1 La magnitud del momento angular de un sistema rígido respecto a un eje específico puede describirse mediante la ecuación $L = I\omega$.
  • Ecuación: $L = I\omega$
• 6.3.A.2 El momento angular de un objeto respecto a un punto dado es $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
  • Ecuación: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
  • 6.3.A.2.i La selección del eje alrededor del cual se considera que rota un objeto influye en la determinación del momento angular de dicho objeto.
  • 6.3.A.2.ii El momento angular medido de un objeto que viaja en línea recta depende de la distancia entre el punto de referencia y el objeto, la masa del objeto, la velocidad del objeto y el ángulo entre la distancia radial y la velocidad del objeto.

Objetivo de aprendizaje 6.3.B: Describir el impulso angular entregado a un objeto o sistema rígido por un par de fuerzas (torque).

• 6.3.B.1 El impulso angular se define como el producto del par de fuerzas ejercido sobre un objeto o sistema rígido y el intervalo de tiempo durante el cual se ejerce dicho par.
  • Ecuación: $\text{angular impulse} = \displaystyle\int \tau \, dt$
• 6.3.B.2 El impulso angular tiene la misma dirección que el par de fuerzas que lo impartió.
• 6.3.B.3 El impulso angular entregado a un objeto o sistema rígido por un par de fuerzas puede determinarse a partir del área bajo la curva de un gráfico del par de fuerzas en función del tiempo.

Objetivo de aprendizaje 6.3.C: Relacionar el cambio en el momento angular de un objeto o sistema rígido con el impulso angular proporcionado a ese objeto o sistema rígido.

• 6.3.C.1 La magnitud del cambio en el momento angular puede describirse comparando las magnitudes de los momentos finales e iniciales del objeto o sistema rígido.
  • Ecuación: $\Delta L = L - L_0$
• 6.3.C.2 Una forma rotacional del teorema impulso–momento relaciona el impulso angular entregado a un objeto o sistema rígido y el cambio en el momento angular de ese objeto o sistema rígido.
  • 6.3.C.2.i El impulso angular ejercido sobre un objeto o sistema rígido es igual al cambio en el momento angular de dicho objeto o sistema rígido.
    • Ecuación: $\Delta L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \tau \, dt$
  • 6.3.C.2.ii La forma rotacional del teorema impulso–momento es una consecuencia directa de la segunda ley de Newton del movimiento para casos en los que la inercia rotacional es constante.
    • Ecuación: $\tau_{\text{net}} = \dfrac{dL}{dt} = I\dfrac{d\omega}{dt} = I\alpha$
• 6.3.C.3 El par de fuerzas neto ejercido sobre un objeto o sistema rígido es igual a la pendiente del gráfico del momento angular de un objeto en función del tiempo.
• 6.3.C.4 El impulso angular entregado a un objeto o sistema rígido es igual al área bajo la curva de un gráfico del par de fuerzas externas netas ejercidas sobre un objeto en función del tiempo.

Objetivo de Aprendizaje 6.4.A: Describir el comportamiento de un sistema mediante la conservación del momento angular.

• 6.4.A.1 El momento angular total de un sistema respecto a un eje de rotación es la suma de los momentos angulares de las partes constituyentes del sistema respecto a ese eje de rotación.
• 6.4.A.2 Cualquier cambio en el momento angular de un sistema debe deberse a una interacción entre el sistema y su entorno.
  • 6.4.A.2.i El impulso angular ejercido por un objeto o sistema sobre un segundo objeto o sistema es igual y opuesto al impulso angular ejercido por el segundo objeto o sistema sobre el primero. Este es un resultado directo de la tercera ley de Newton.
  • 6.4.A.2.ii Se puede seleccionar un sistema de tal manera que el momento angular total de dicho sistema sea constante.
  • 6.4.A.2.iii La velocidad angular de un sistema no rígido puede cambiar sin que el momento angular del sistema se modifique, si el sistema cambia de forma moviendo masa más cerca o más lejos del eje de rotación.
  • 6.4.A.2.iv Si el momento angular total de un sistema cambia, dicho cambio será equivalente al impulso angular ejercido sobre el sistema.

Objetivo de Aprendizaje 6.4.B: Describir cómo la selección de un sistema determina si el momento angular de dicho sistema cambia.

• 6.4.B.1 El momento angular se conserva en todas las interacciones.
• 6.4.B.2 Si el par de fuerzas externo neto ejercido sobre un objeto o sistema rígido seleccionado es cero, el momento angular total de ese sistema es constante.
• 6.4.B.3 Si el par de fuerzas externo neto ejercido sobre un objeto o sistema rígido seleccionado es distinto de cero, se transfiere momento angular entre el sistema y el entorno.

Objetivo de Aprendizaje 6.5.A: Describir la energía cinética de un sistema que tiene movimiento de traslación y rotación.

• 6.5.A.1 La energía cinética total de un sistema es la suma de las energías cinéticas de traslación y rotación del sistema.
  • Ecuación: $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

Objetivo de Aprendizaje 6.5.B: Describir el movimiento de un sistema que rueda sin resbalar.

• 6.5.B.1 Al rodar sin resbalar, el movimiento de traslación del centro de masa del sistema está relacionado con el movimiento de rotación del propio sistema mediante las siguientes ecuaciones:
  • Ecuación: $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
  • Ecuación: $v_{\text{cm}} = r\omega$
  • Ecuación: $a_{\text{cm}} = r\alpha$
• 6.5.B.2 Para casos ideales, rodar sin resbalar implica que la fuerza de fricción no disipa ninguna energía del sistema en rodadura.

Objetivo de Aprendizaje 6.5.C: Describir el movimiento de un sistema que rueda mientras resbala.

• 6.5.C.1 Cuando hay resbalamiento, el movimiento de traslación del centro de masa del sistema y el movimiento de rotación del mismo no pueden relacionarse directamente.
• 6.5.C.2 Cuando un sistema en rotación resbala respecto a otra superficie, el punto de aplicación de la fuerza de fricción cinética ejercida sobre el sistema se mueve respecto a dicha superficie, por lo que la fuerza de fricción cinética disipará energía del sistema.

Declaración de límite: La fricción de rodadura está fuera del alcance de AP Physics C: Mecánica.

Objetivo de Aprendizaje 6.6.A: Describir el movimiento de un sistema formado por dos objetos o sistemas que interactúan únicamente mediante fuerzas gravitacionales.

• 6.6.A.1 En un sistema compuesto únicamente por un objeto central masivo y un satélite orbitante cuya masa es despreciable en comparación con la masa del objeto central, el movimiento propio del objeto central es despreciable.
• 6.6.A.2 El movimiento de los satélites en órbitas está restringido por las leyes de conservación.
  • 6.6.A.2.i En órbitas circulares, la energía mecánica total del sistema, la energía potencial gravitacional del sistema, y el momento angular y la energía cinética del satélite son constantes.
  • 6.6.A.2.ii En órbitas elípticas, la energía mecánica total del sistema y el momento angular del satélite son constantes, pero la energía potencial gravitacional del sistema y la energía cinética del satélite pueden variar individualmente.
  • 6.6.A.2.iii La energía potencial gravitacional de un sistema formado por un satélite y un objeto central masivo se define como cero cuando el satélite se encuentra a una distancia infinita del objeto central.
    • Ecuación: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
• 6.6.A.3 La energía total de un sistema formado por un satélite que orbita un objeto central en una trayectoria circular puede expresarse en términos de la energía potencial gravitacional de ese sistema o de la energía cinética del satélite.
  • Ecuación: $K = -\dfrac{1}{2}U$
  • Ecuación: $E_{total} = \dfrac{1}{2}U = -\dfrac{GMm}{2r}$
• 6.6.A.4 La velocidad de escape de un satélite es la velocidad tal que la energía mecánica del sistema satélite–objeto central es igual a cero.
  • 6.6.A.4.i Cuando la única fuerza que actúa sobre un satélite es la gravedad de un objeto central, un satélite que alcanza la velocidad de escape se alejará del cuerpo central hasta que su velocidad llegue a cero a una distancia infinita del mismo.
  • 6.6.A.4.ii La velocidad de escape de un satélite desde un cuerpo central de masa $M$ puede derivarse utilizando las leyes de conservación de la energía.
    • Ecuación: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$