Fuerza y dinámica traslacional

AP Física C: Mecánica · Tema 2

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2.1

Sistemas y centro de masa

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.1.A: Describir las propiedades e interacciones de un sistema.

2.1.A.1 Las propiedades del sistema se determinan por las interacciones entre los objetos dentro del sistema.
2.1.A.2 Si las propiedades o interacciones de los objetos constituyentes dentro de un sistema no son importantes para modelar el comportamiento macroscópico del mismo, el sistema puede tratarse como un único objeto.
2.1.A.3 Los sistemas pueden permitir interacciones entre sus partes constituyentes y el entorno, lo que puede resultar en la transferencia de energía o masa.
2.1.A.4 Los objetos individuales dentro de un sistema elegido pueden comportarse de manera diferente entre sí, así como también respecto al sistema en su conjunto.
2.1.A.5 La estructura interna de un sistema afecta el análisis de dicho sistema.
2.1.A.6 Al cambiar variables externas a un sistema, la subestructura del mismo puede modificarse.

Objetivo de aprendizaje 2.1.B: Describir la ubicación del centro de masa de un sistema con respecto a sus partes constituyentes.

2.1.B.1 Para objetos o sistemas con distribuciones de masa simétricas, el centro de masa se encuentra sobre líneas de simetría.
2.1.B.2 La ubicación del centro de masa de un sistema a lo largo de un eje dado se puede calcular mediante la ecuación:
- Ecuación: $\vec{x}_{\text{cm}} = \dfrac{\sum m_i \vec{x}_i}{\sum m_i}$
2.1.B.3 Para un sólido no uniforme que puede considerarse como una colección de masas diferenciales $dm$, el centro de masa del sólido se puede calcular mediante la ecuación:
- Ecuación: $\vec{r}_{\text{cm}} = \dfrac{\int \vec{r}\, dm}{\int dm}$
- 2.1.B.3.i La densidad lineal de masa de una barra u otro cuerpo rígido lineal es la derivada de la masa de la barra con respecto a la posición del elemento de masa diferencial sobre el cuerpo rígido.
  - Ecuación: $\lambda = \dfrac{d}{d\ell} m(\ell)$
- 2.1.B.3.ii Si se proporciona una función de densidad de masa para un sólido, la masa total se puede determinar integrando la densidad de masa a lo largo de la longitud (una dimensión), área (dos dimensiones) o volumen (tres dimensiones) del sólido. Por ejemplo:
  - Ecuación: $M_{\text{total}} = \int \rho(r)\, dV$
2.1.B.4 Un sistema puede modelarse como un objeto singular ubicado en el centro de masa del sistema.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El 2 de agosto de 1971, el astronauta David Scott estaba en la Luna y dejó caer un martillo y una pluma de halcón en el mismo instante. Sin aire que frenara la pluma, ambos golpearon el suelo polvoriento al mismo tiempo, exactamente como Galileo había predicho casi 400 años antes. Esa prueba resume esta unidad: las mismas leyes de fuerza, aplicadas cuidadosamente mediante las leyes de Newton, explican la caída de las plumas, los automóviles en las curvas, los paracaidistas y las lunas en órbita.

Un sistema es el objeto o conjunto de objetos que analizas, tratado como un punto situado en su centro de masa. Para un conjunto de masas, $x_{\text{cm}}=\dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$; para un cuerpo continuo, $x_{\text{cm}}=\dfrac{1}{M}\int x\,dm$. Solo una fuerza neta externa acelera el centro de masa de un sistema de masa constante.

Elegir el sistema es tu decisión, y esto cambia el análisis. Si los detalles internos de las partes no importan, trata todo el sistema como un solo objeto en su centro de masa. Si importan —dos bloques unidos por una cuerda, una persona en un ascensor— puedes analizarlo internamente, y las partes pueden moverse diferente entre sí y respecto al sistema en su conjunto. Un sistema también puede intercambiar energía o masa con sus alrededores (un cohete perdiendo combustible, un auto disipando calor). Para cualquier cuerpo con una distribución de masa simétrica, el centro de masa se encuentra en toda línea de simetría —el centro de un disco o esfera uniforme, el punto medio de una barra uniforme.

Ejemplo resuelto (una barra no uniforme). Una barra delgada de longitud $L=2.0\ \text{m}$ está alineada a lo largo del eje $x$ desde $x=0$. Su densidad lineal de masa aumenta a lo largo de ella, $\lambda=kx$ con $k=3.0\ \text{kg/m}^2$. Encuentra su masa y su centro de masa.

Una rebanada de ancho $dx$ en la posición $x$ tiene masa $dm=\lambda\,dx=kx\,dx$.
Masa: $M=\displaystyle\int_0^L kx\,dx=\frac{kL^2}{2}=\frac{(3.0)(2.0)^2}{2}=6.0\ \text{kg}$.
Centro de masa: $x_{\text{cm}}=\dfrac{1}{M}\displaystyle\int_0^L x\,(kx\,dx)=\dfrac{1}{M}\cdot\dfrac{kL^3}{3}=\dfrac{(3.0)(2.0)^3/3}{6.0}=1.33\ \text{m}$, que equivale a $\tfrac23L$.

Verifica la respuesta contra la física: una barra uniforme se equilibraría en su punto medio, $1.0\ \text{m}$. Al haber más masa hacia el extremo derecho, el centro de masa debe estar a la derecha del punto medio.

Una barra desde 0 hasta 2.0 m sombreada desde claro a la izquierda hasta denso a la derecha. Una rebanada delgada marca dm = lambda dx = kx dx; una línea discontinua marca el punto medio en 1.0 m y un triángulo marca el centro de masa en 4/3 m — La barra se vuelve más densa hacia la derecha, por lo que su centro de masa se encuentra en 2L/3, más allá del punto medio

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Centro de masa de un sistema

Toca las partes para ver dónde se sitúa el centro de masa de un sistema de dos cuerpos.

2.2

Fuerzas y diagramas de cuerpo libre

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.2.A: Describir una fuerza como una interacción entre dos objetos o sistemas

2.2.A.1 Las fuerzas son cantidades vectoriales que describen las interacciones entre objetos o sistemas.
- 2.2.A.1.i Una fuerza ejercida sobre un objeto o sistema se debe siempre a la interacción de ese objeto o sistema con otro objeto o sistema.
- 2.2.A.1.ii Un objeto o sistema no puede ejercer una fuerza neta sobre sí mismo.
2.2.A.2 Las fuerzas de contacto describen la interacción de un objeto o sistema que toca otro objeto o sistema, y son efectos macroscópicos de las fuerzas eléctricas interatómicas.

Objetivo de aprendizaje 2.2.B: Describir las fuerzas ejercidas sobre un objeto o sistema mediante un diagrama de cuerpo libre.

2.2.B.1 Los diagramas de cuerpo libre son herramientas útiles para visualizar las fuerzas que actúan sobre un solo objeto o sistema y para determinar las ecuaciones que representan una situación física.
2.2.B.2 El diagrama de cuerpo libre de un objeto o sistema muestra cada una de las fuerzas que el entorno ejerce sobre el objeto o sistema.
2.2.B.3 Las fuerzas ejercidas sobre un objeto o sistema se representan como vectores que parten de la representación del centro de masa, como un punto. Un sistema se trata como si toda su masa estuviera ubicada en su centro de masa.
2.2.B.4 Un sistema de coordenadas con un eje paralelo a la dirección de aceleración del objeto o sistema simplifica la transición del diagrama de cuerpo libre a la representación algebraica. Por ejemplo, en un diagrama de cuerpo libre de un objeto sobre un plano inclinado, es útil establecer un eje paralelo a la superficie del plano.

Declaración de límites: AP Physics C: Mechanics y AP Physics C: Electricity and Magnetism solo esperan que los estudiantes representen las fuerzas ejercidas sobre los objetos, no las componentes de fuerza en los diagramas de cuerpo libre. En los exámenes de AP Physics, las fuerzas individuales representadas en un diagrama de cuerpo libre deben dibujarse como flechas rectas individuales, originándose en el punto y apuntando en la dirección de la fuerza. Las fuerzas individuales que están en la misma dirección deben dibujarse una al lado de la otra, sin superponerse.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una fuerza es un empuje o jalón (vector, en newtons). Un diagrama de cuerpo libre dibuja un objeto con una flecha para cada fuerza sobre él – peso, normal, tensión, fricción, aplicada, resistencia. Dibújelo primero; establece todas las ecuaciones de dinámica.

Dibuja el objeto como un punto que representa su centro de masa, con todas las flechas de fuerza partiendo desde ese punto.
Muestra solo las fuerzas ejercidas sobre el objeto por su entorno; nunca las fuerzas que el objeto ejerce sobre otras cosas, y nunca «$ma$» ni «fuerza centrípeta».
Las fuerzas de contacto (fuerza normal, fricción, tensión) son el resultado macroscópico de las fuerzas eléctricas entre átomos en las superficies en contacto.
Elige un eje paralelo a la aceleración (a lo largo de una inclinación o hacia el centro de un círculo). Solo una ecuación contiene $a$.

Un diagrama de cuerpo libre muestra cada fuerza que actúa sobre un solo objeto — Un diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas actuando sobre un solo objeto

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Equilibrar las fuerzas en un diagrama de cuerpo libre

Un diagrama de cuerpo libre muestra cada fuerza sobre un objeto como una flecha. El objeto acelera solo si las fuerzas no se cancelan; la fuerza neta establece $a=F/m$.

Vocabulario Entrenar

English	Español
free-body diagram/friː ˈbɒdi ˈdaɪəɡræm/	diagrama de cuerpo libre
Newton's third law/ˈnjuːtnz θɜːd lɔː/	tercera ley de Newton
inertia/ɪˈnɜːʃə/	inercia
net force/net fɔːs/	fuerza neta
translational equilibrium/trænˈsleɪʃənl ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	equilibrio traslacional
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	ecuación diferencial
incline/ɪnˈklaɪn/	plano inclinado

2.3

Tercera ley de Newton

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.3.A: Describir la interacción entre dos objetos o sistemas mediante la tercera ley de Newton y una representación de las fuerzas aparejadas que cada objeto o sistema ejerce sobre el otro.

2.3.A.1 La tercera ley de Newton describe la interacción entre dos objetos o sistemas en términos de las fuerzas aparejadas que cada uno ejerce sobre el otro.
- Ecuación: $\vec{F}_{\text{A on B}} = -\vec{F}_{\text{B on A}}$
2.3.A.2 Las interacciones entre objetos dentro de un sistema (fuerzas internas) no influyen en el movimiento del centro de masa de un sistema.
2.3.A.3 La tensión es el resultado neto macroscópico de las fuerzas que los segmentos infinitesimales de una cuerda, cable, cadena o sistema similar ejercen entre sí en respuesta a una fuerza externa.
- 2.3.A.3.i Una cuerda ideal tiene masa despreciable y no se estira cuando está sometida a tensión.
- 2.3.A.3.ii La tensión en una cuerda ideal es la misma en todos los puntos de la cuerda.
- 2.3.A.3.iii En una cuerda con masa no despreciable, la tensión puede no ser la misma en todos los puntos de la cuerda.
- 2.3.A.3.iv Una polea ideal es una polea que tiene masa despreciable y gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa con fricción despreciable.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Tercera ley de Newton: A empuja a B, y B empuja de vuelta con igual magnitud y dirección opuesta. El par actúa sobre objetos diferentes, por lo que nunca se cancela dentro de un solo diagrama de cuerpo libre:

$$\vec{F}_{\text{A on B}}=-\vec{F}_{\text{B on A}}.$$

Las dos fuerzas son siempre del mismo tipo (ambas gravitacionales, ambas de contacto) y actúan simultáneamente. Cuando un camión choca contra una mosca, la fuerza sobre la mosca es exactamente igual en magnitud a la fuerza sobre el camión; la mosca sufre más porque su masa es pequeña. Dentro de un sistema, los pares de la tercera ley son fuerzas internas: se cancelan entre sí, por lo que no pueden cambiar el movimiento del centro de masa del sistema.

Tensión en una cuerda o cable es el resultado neto de cada pequeño segmento de la cuerda jalando a sus vecinos. Para una cuerda ideal (sin masa) sobre una polea sin fricción, la tensión es la misma a lo largo de toda su extensión.

Un par de la tercera ley de Newton: fuerzas iguales y opuestas sobre dos objetos diferentes

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Pares de tercera ley

Los pares de la tercera ley de Newton actúan sobre objetos diferentes. Clasifique cada afirmación.

2.4

Primera ley de Newton

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.4.A: Describir las condiciones bajo las cuales la velocidad de un sistema permanece constante.

2.4.A.1 La fuerza neta sobre un sistema es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema.
2.4.A.2 El equilibrio traslacional es la configuración de fuerzas tal que la fuerza neta ejercida sobre un sistema es cero.
- Ecuación derivada: $\sum \vec{F}_i = 0$
2.4.A.3 La primera ley de Newton establece que si la fuerza neta ejercida sobre un sistema es cero, la velocidad de dicho sistema permanecerá constante.
2.4.A.4 Las fuerzas pueden estar equilibradas en una dimensión pero desequilibradas en otra. La velocidad del sistema cambiará únicamente en la dirección de la fuerza no equilibrada.
2.4.A.5 Un marco de referencia inercial es aquel desde el cual un observador podría verificar la primera ley del movimiento de Newton.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Primera ley de Newton (inercia): con fuerza neta cero, la velocidad permanece constante; el objeto está en equilibrio traslacional. La fuerza neta es la suma vectorial de todas las fuerzas sobre el sistema, por lo que el equilibrio significa $\sum F_x=0$ y $\sum F_y=0$ por separado.

Las fuerzas pueden estar equilibradas en una dirección pero no en otra: un disco de hockey deslizándose sobre hielo sin fricción tiene fuerzas verticales equilibradas (peso y fuerza normal), por lo que su velocidad vertical permanece cero, mientras que cualquier fuerza horizontal desequilibrada cambia solo su velocidad horizontal. Un sistema de referencia inercial es exactamente aquel en el que se observa que se cumple la primera ley de Newton: uno que no está acelerando.

Ejemplo resuelto (equilibrio). Una lámpara de 4.0 kg cuelga de dos cuerdas, cada una a un ángulo de $30^\circ$ sobre la horizontal. Verticalmente: $2T\sin30^\circ=mg=40$ N, por lo tanto $T=40$ N. Cada cuerda soporta una tensión igual al peso total de la lámpara; las cuerdas muy horizontales requieren grandes tensiones.

Explorar

¿Equilibradas o desequilibradas?

Por la primera ley de Newton, determina si las fuerzas sobre cada objeto están equilibradas.

Vocabulario Entrenar

English	Español
tension/ˈtenʃn/	tensión
Newton's law of gravitation/ˈnjuːtnz lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/	Ley de gravitación universal de Newton

2.5

Segunda ley de Newton

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.5.A: Describir las condiciones bajo las cuales cambia la velocidad de un sistema.

2.5.A.1 Las fuerzas no equilibradas son una configuración de fuerzas tal que la fuerza neta ejercida sobre un sistema no es igual a cero.
2.5.A.2 La segunda ley del movimiento de Newton establece que la aceleración del centro de masa de un sistema tiene una magnitud proporcional a la magnitud de la fuerza neta ejercida sobre el sistema y se encuentra en la misma dirección que dicha fuerza neta.
- Ecuación: $\vec{a}_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \vec{F}}{m_{\text{sys}}} = \dfrac{\vec{F}_{\text{net}}}{m_{\text{sys}}}$
2.5.A.3 La velocidad del centro de masa de un sistema solo cambiará si se ejerce sobre ese sistema una fuerza externa neta distinta de cero.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La forma general utiliza el momento lineal:

$$\sum\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=m\vec{a}\ \ (\text{for constant mass}).$$

Aplicarla eje por eje. Cuando las fuerzas dependen de la velocidad o posición, esto se convierte en una ecuación diferencial para resolver.

Ejemplo resuelto. Un bloque de masa $2.0\ \text{kg}$ desliza por un plano inclinado sin fricción a un ángulo $30^{\circ}$. Solo la componente paralela al plano de la gravedad lo impulsa, así $a=g\sin30^{\circ}=9.8(0.5)=4.9\ \text{m/s}^2$, independiente de la masa.

Ejemplo resuelto (dos cuerpos). Un carro de masa $6.0\ \text{kg}$ sobre una mesa sin fricción es jalado por una cuerda sobre una polea ligera hasta una masa colgante de $2.0\ \text{kg}$. Tratar el par como un sistema: solo el peso colgante lo impulsa, así $a=\dfrac{2.0(9.8)}{8.0}=2.45\ \text{m/s}^2$. Luego aislar el carro para hallar la tensión de la cuerda: $T=6.0(2.45)\approx15\ \text{N}$. Sistema primero para $a$, cuerpo único para fuerzas internas; ese patrón de dos pasos es el estándar.

Un lanzamiento de cohete: la fuerza neta cambia el momento — F_neta = ma para la dinámica traslacional — Un lanzamiento de cohete: la fuerza neta cambia el momento — F_net = ma para la dinámica traslacional

Ejemplo resuelto (ascensor y peso aparente). Un estudiante de 60 kg está parado sobre una báscula en un ascensor que acelera hacia arriba a $2.0\ \text{m/s}^2$. Tomando hacia arriba como positivo, $N-mg=ma$, por lo tanto $N=60(10+2.0)=720$ N. La báscula mide la fuerza normal, así que el peso aparente del estudiante es 720 N, aunque la fuerza gravitatoria sigue siendo 600 N. Al acelerar hacia abajo a $2.0\ \text{m/s}^2$, la lectura es $N=480$ N; en caída libre, es $N=0$.

Explorar

Diagrama de cuerpo libre: F = ma

La resultante de las fuerzas, dividida por la masa, da la aceleración. Cambia una fuerza y observa cómo responde la aceleración.

Vocabulario Entrenar

English	Español
system/ˈsɪstəm/	sistema
center of mass/ˈsentə ɒv mæs/	centro de masa
force/fɔːs/	fuerza

2.6

Fuerza gravitacional

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.6.A: Describir la interacción gravitatoria entre dos objetos o sistemas con masa.

2.6.A.1 La ley de gravitación universal de Newton describe la fuerza gravitatoria entre dos objetos o sistemas como directamente proporcional a cada una de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los centros de masa de los sistemas.
- Ecuación: $\left| \vec{F}_g \right| = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
- 2.6.A.1.i La fuerza gravitatoria es atractiva.
- 2.6.A.1.ii La fuerza gravitatoria siempre se ejerce a lo largo de la línea que conecta el centro de masa de los dos sistemas interactuantes.
- 2.6.A.1.iii La fuerza gravitatoria sobre un sistema puede considerarse ejercida sobre el centro de masa del sistema.
2.6.A.2 Un campo modela los efectos de una fuerza no contactante ejercida sobre un objeto en varias posiciones en el espacio.
- 2.6.A.2.i La magnitud del campo gravitatorio creado por un sistema de masa $M$ en un punto del espacio es igual a la razón entre la fuerza gravitatoria ejercida por el sistema sobre un objeto de prueba de masa $m$ y la masa del objeto de prueba.
  - Ecuación derivada: $\left| \vec{g} \right| = \dfrac{\left| \vec{F}_g \right|}{m} = G \dfrac{M}{r^2}$
- 2.6.A.2.ii Si la fuerza gravitatoria es la única fuerza ejercida sobre un objeto, la aceleración observada del objeto (en $\text{m/s}^2$) es numéricamente igual a la magnitud de la intensidad del campo gravitatorio (en $\text{N/kg}$) en esa ubicación.
2.6.A.3 La fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo astronómico sobre un objeto cercano relativamente pequeño se denomina peso.
- Ecuación derivada: $\text{Weight} = F_g = mg$

Objetivo de aprendizaje 2.6.B: Describir situaciones en las que la fuerza gravitatoria puede considerarse constante.

2.6.B.1 Si la fuerza gravitatoria entre los centros de masa de dos sistemas tiene un cambio despreciable a medida que cambia la posición relativa de los dos sistemas, la fuerza gravitatoria puede considerarse constante en todos los puntos entre las posiciones inicial y final de los sistemas.
2.6.B.2 Cerca de la superficie de la Tierra, la intensidad del campo gravitatorio es
- Ecuación: $g \approx 10\ \text{N/kg}$

Objetivo de aprendizaje 2.6.C: Describir las condiciones bajo las cuales la magnitud del peso aparente de un sistema es diferente de la magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida sobre ese sistema.

2.6.C.1 La magnitud del peso aparente de un sistema es la magnitud de la fuerza normal ejercida sobre el sistema.
2.6.C.2 Si el sistema está acelerando, el peso aparente del sistema no es igual a la magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida sobre el sistema.
2.6.C.3 Un sistema aparece sin peso cuando no hay fuerzas ejercidas sobre el sistema o cuando la fuerza de gravedad es la única fuerza ejercida sobre el sistema.
2.6.C.4 El principio de equivalencia establece que un observador en un marco de referencia no inercial no puede distinguir entre el peso aparente de un objeto y la fuerza gravitatoria ejercida sobre el objeto por un campo gravitatorio.

Objetivo de aprendizaje 2.6.D: Describir la masa inercial y la masa gravitatoria.

2.6.D.1 Los objetos tienen masa inercial, o inercia, una propiedad que determina cuánto resiste el movimiento de un objeto los cambios al interactuar con otro objeto.
2.6.D.2 La masa gravitatoria está relacionada con la fuerza de atracción entre dos sistemas con masa.
2.6.D.3 Se ha verificado experimentalmente que la masa inercial y la masa gravitatoria son equivalentes.

Objetivo de aprendizaje 2.6.E: Describir la fuerza gravitatoria ejercida sobre un objeto por una distribución esférica uniforme de masa.

2.6.E.1 La fuerza gravitatoria neta ejercida sobre un objeto por una distribución esférica uniforme de masa es la suma de las fuerzas individuales de las pequeñas masas diferenciales que componen la distribución.
2.6.E.2 El teorema de la cáscara de Newton describe la fuerza gravitatoria neta ejercida sobre un objeto por una cáscara esférica uniforme de masa.
- 2.6.E.2.i La fuerza gravitatoria neta ejercida sobre un objeto dentro de una cáscara esférica delgada es cero.
- 2.6.E.2.ii La fuerza gravitatoria neta ejercida sobre un objeto fuera de una cáscara esférica delgada puede determinarse tratando la cáscara como un único objeto masivo ubicado en el centro de la cáscara.
- 2.6.E.2.iii Un objeto dentro de una esfera de densidad uniforme experimenta una fuerza gravitatoria neta solo de una masa parcial de la esfera.
- 2.6.E.2.iv La masa parcial de una esfera que contribuye a la fuerza gravitatoria neta ejercida sobre un objeto dentro de esa esfera es la porción de la masa de la esfera ubicada a una distancia menor o igual a la distancia del objeto desde el centro de la esfera y puede calcularse utilizando la densidad de la esfera.
  - Ecuación derivada: $m_{\text{partial}} = \rho \dfrac{4}{3} \pi \left( r_{\text{partial}} \right)^3$
2.6.E.3 Se puede demostrar que la fuerza gravitatoria ejercida sobre un objeto dentro de una esfera uniforme es proporcional a la distancia del objeto desde el centro de la esfera.
- Ecuación derivada: $F_{g,\text{partial}} = -k r_{\text{partial}}$

Declaración de límites: AP Physics C: Mechanics no espera que los estudiantes demuestren matemáticamente o deduzcan el teorema de la cáscara de Newton.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Movimiento orbital (Ley 2ª de Kepler)

Una fotografía de la NASA de Saturno contra el espacio negro: el planeta redondo con bandas de nubes pálidas, rodeado por su amplio sistema de anillos planos, con unas pocas lunas pequeñas visibles como puntos brillantes — Saturno, sus anillos y sus lunas: cada partícula se mantiene en órbita por la misma fuerza gravitatoria que sigue la ley del inverso del cuadrado

Cerca de una superficie, el peso es ≈$F_g=mg$. En general, la ley de gravitación de Newton:

$$F_g=\frac{Gm_1m_2}{r^2},$$

atractiva y proporcional al inverso del cuadrado, para masas puntuales o cuerpos esféricamente simétricos que no se superponen, donde $r$ es la distancia entre sus centros. El campo gravitatorio es $g=\dfrac{GM}{r^2}$: un campo describe la fuerza por kilogramo que sentiría una masa en cada punto del espacio. La fuerza gravitatoria que ejerce un planeta sobre un objeto pequeño cercano es su peso. Cerca de la superficie terrestre, el campo apenas cambia con la altura, por lo que se considera constante: $g\approx10\ \text{N/kg}$ (igual que $10\ \text{m/s}^2$).

Peso aparente es la magnitud de la fuerza normal sobre un sistema (lo que mide una báscula de baño). Cuando el sistema acelera, el peso aparente difiere del $mg$ (ver el ejemplo del ascensor). Un objeto parece tener peso nulo cuando la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él, como ocurre con los astronautas en una estación espacial orbitando; están en caída libre alrededor de la Tierra, no fuera de su gravedad. El principio de equivalencia establece que un observador dentro de una habitación cerrada acelerada no puede distinguir entre esa aceleración y un campo gravitatorio.

La masa aparece en dos roles. La masa inercial mide qué tan fuertemente un objeto resiste cambios en su movimiento ($m$ en $F=ma$); la masa gravitatoria mide qué tan fuertemente atrae y es atraída por otras masas ($m$ en $Gm_1m_2/r^2$). Los experimentos muestran que las dos son iguales con una precisión mejor que una parte en $10^{14}$; por eso todos los objetos caen con la misma aceleración, como demostró el martillo y la pluma.

Esferas y el teorema de la capa esférica. La fuerza de un cuerpo grande es la suma de las fuerzas de todas sus pequeñas partes $dm$. Para una capa esférica uniforme, Newton demostró que:

fuera de la cáscara, atrae como si toda su masa estuviera en su centro;
dentro de la cáscara, las fuerzas de todas sus partes se cancelan; la fuerza neta es cero.

Por lo tanto, fuera de una esfera sólida uniforme, $g=GM/r^2$. Dentro de ella, a un radio $r$, solo la masa más cercana al centro ejerce atracción; esa masa es $M\dfrac{r^3}{R^3}$, por lo que $g=\dfrac{GMr}{R^3}$ – proporcional a $r$, y cero en el centro.

Intensidad del campo de una esfera uniforme: dentro crece proporcionalmente a r; fuera decrece como 1/r^2, como una masa puntual; es máxima en la superficie

Ejemplo resuelto (campo a cierta altura). ¿A qué altura sobre la superficie terrestre ($R=6.4\times10^6$ m) es $g$ igual a una cuarta parte de su valor en la superficie? $g\propto1/r^2$, por lo que $r=2R$ y la altura es $R=6.4\times10^6$ m. En cambio, a mitad de camino hacia el centro de una esfera de densidad uniforme, $g$ es igual a la mitad de su valor en la superficie.

Dos masas se atraen mutuamente con fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, iguales y opuestas, a lo largo de la línea que las une — Dos masas se atraen mutuamente con fuerzas iguales, opuestas y de inverso cuadrado a lo largo de la línea que las une

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La gravedad disminuye con la distancia

La fuerza gravitacional entre dos masas se debilita a medida que se separan (una ley de inverso al cuadrado).

2.7

Fricción cinética y estática

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.7.A: Describir la fricción cinética entre dos superficies.

2.7.A.1 La fricción cinética ocurre cuando dos superficies en contacto se mueven relativamente una respecto a la otra.
- 2.7.A.1.i La fuerza de fricción cinética se ejerce en dirección opuesta al movimiento de cada superficie relativa a la otra.
- 2.7.A.1.ii La fuerza de fricción entre dos superficies no depende del tamaño del área de contacto.
2.7.A.2 La magnitud de la fuerza de fricción cinética ejercida sobre un objeto es el producto de la fuerza normal que la superficie ejerce sobre el objeto y el coeficiente de fricción cinética.
- Ecuación: $\left| \vec{F}_{f,k} \right| = \left| \mu_k \vec{F}_N \right|$
- 2.7.A.2.i El coeficiente de fricción cinética depende de las propiedades del material de las superficies que están en contacto.
- 2.7.A.2.ii La fuerza normal es la componente perpendicular de la fuerza que ejerce una superficie sobre un objeto con el que está en contacto; se dirige alejándose de la superficie.

Objetivo de aprendizaje 2.7.B: Describir la fricción estática entre dos superficies.

2.7.B.1 La fricción estática puede ocurrir entre las superficies de contacto de dos objetos que no se mueven relativamente una respecto a la otra.
2.7.B.2 La fricción estática adopta el valor y la dirección necesarios para evitar que un objeto resbale o deslice sobre una superficie.
- Ecuación: $\left| \vec{F}_{f,s} \right| \leq \left| \mu_s \vec{F}_n \right|$
- 2.7.B.2.i Resbalar y deslizar se refieren a situaciones en las que dos superficies se mueven relativamente una respecto a la otra.
- 2.7.B.2.ii Existe un valor máximo para el cual la fricción estática evitará que un objeto resbale sobre una superficie dada.
  - Ecuación derivada: $F_{f,s,\text{max}} = \mu_s F_N$
2.7.B.3 El coeficiente de fricción estática suele ser mayor que el coeficiente de fricción cinética para un par dado de superficies.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La fricción se opone al deslizamiento a lo largo de una superficie: cinética $f_k=\mu_k N$ durante el deslizamiento y estática $f_s\le\mu_s N$ hasta un máximo antes del deslizamiento. $N$ es la fuerza normal. Observa la desigualdad: la fricción estática toma el valor y la dirección necesarios para impedir que las superficies se deslicen, y $\mu_s N$ es su límite máximo, no su valor. Para un par dado de superficies, $\mu_s$ suele ser mayor que $\mu_k$, por lo que es más difícil poner en movimiento una caja pesada que mantenerla en movimiento.

Ejemplo resuelto (fricción estática). Una caja de 20 kg descansa sobre un piso con coeficientes $\mu_s=0.50$ y $\mu_k=0.40$. Un trabajador empuja horizontalmente con 60 N. La fricción estática máxima es $0.50(200)=100$ N, mayor que 60 N, por lo que la caja permanece quieta y la fricción estática es exactamente 60 N, no 100 N. La caja comienza a moverse solo al superar 100 N; una vez que se desliza, la fricción disminuye a $0.40(200)=80$ N.

Fricción frente al empuje horizontal para la caja de 20 kg: la fricción estática aumenta igualando al empuje, 60 N para un empuje de 60 N, hasta el máximo de 100 N; una vez que la caja se desliza, la fricción cinética permanece en 80 N — La fricción estática iguala al empuje hasta alcanzar su límite máximo de 100 N; después, la caja se desliza y la fricción baja a 80 N

Ejemplo resuelto. El mismo bloque en el mismo plano inclinado de $30^{\circ}$, ahora con $\mu_k=0.20$. Perpendicular al plano: $N=mg\cos30^{\circ}$. A lo largo del plano: $ma=mg\sin30^{\circ}-\mu_k mg\cos30^{\circ}$, así que $a=g(\sin30^{\circ}-0.20\cos30^{\circ})=9.8(0.500-0.173)=3.2\ \text{m/s}^2$ – la masa se cancela nuevamente.

Ejemplo resuelto (dos bloques en reposo). El bloque 1 (masa $M=2.0$ kg) descansa sobre una mesa, conectado por una cuerda que pasa por una polea ligera y sin fricción al bloque 2 (masa $m=0.60$ kg) colgante del borde. ¿Cuál es el valor mínimo de $\mu_s$ que los mantiene en reposo?

En reposo, la tensión iguala al peso colgante: $T=mg$.
El bloque 1 permanece inmóvil si la fricción estática puede alcanzar $T$: $\mu_s Mg\ge mg$.
Por lo tanto, $\mu_s\ge\dfrac{m}{M}=\dfrac{0.60}{2.0}=0.30$. La respuesta no depende de $g$.

Determinación de $\mu_k$ a partir de una gráfica. En el mismo montaje, los estudiantes mantienen fija la masa total $M_{\text{tot}}$ pero trasladan pequeñas masas desde el bloque 1 hacia el soporte colgante, de modo que la masa colgante $m$ varía. Ley de Newton para todo el sistema:

$$M_{\text{tot}}\,a=mg-\mu_k\left(M_{\text{tot}}-m\right)g\ \Rightarrow\ a=\frac{(1+\mu_k)g}{M_{\text{tot}}}\,m-\mu_k g.$$

Una gráfica de $a$ frente a $m$ es una línea recta. Su intersección vertical es $-\mu_k g$, por lo tanto $\mu_k=-\dfrac{\text{intercept}}{g}$. Si se lee una intersección de $-2.0\ \text{m/s}^2$, entonces $\mu_k\approx0.20$. Si la polea tiene fricción real, los valores medidos de $a$ son demasiado pequeños, por lo que este método produce un $\mu_k$ que es demasiado grande.

Explorar

Deslizar un bloque por una pendiente con fricción

La fricción se opone al movimiento hasta un máximo $\mu N$. Inclina la pendiente hasta que la atracción de la gravedad a lo largo de ella supere la fricción estática y el bloque comience a deslizarse.

Vocabulario Entrenar

English	Español
Friction/ˈfrɪkʃn/	Fricción
kinetic/kɪˈnetɪk/	cinético
static/ˈstætɪk/	estático
normal force/ˈnɔːml fɔːs/	fuerza normal

2.8

Fuerzas de resortes

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 2.8.A: Describir la fuerza que ejerce un resorte ideal sobre un objeto.

2.8.A.1 Un resorte ideal tiene masa despreciable y ejerce una fuerza proporcional al cambio en su longitud medida desde su longitud relajada. Un resorte no ideal tiene una masa no despreciable o ejerce una fuerza que no es proporcional al cambio en su longitud medida desde su longitud relajada.
2.8.A.2 La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte ideal sobre un objeto viene dada por la ley de Hooke:
- Ecuación: $\vec{F}_s = -k \Delta \vec{x}$
2.8.A.3 La fuerza ejercida sobre un objeto por un resorte siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio del sistema objeto-resorte.

Objetivo de Aprendizaje 2.8.B: Describir la constante elástica equivalente de una combinación de resortes que ejercen fuerzas sobre un objeto.

2.8.B.1 Un conjunto de resortes que ejercen fuerzas sobre un objeto puede comportarse como si fueran un solo resorte con una constante elástica equivalente $k_{\text{eq}}$.
- 2.8.B.1.i El inverso de la constante elástica equivalente de un conjunto de resortes en serie es igual a la suma de los inversos de las constantes elásticas individuales.
  - Ecuación derivada: $\dfrac{1}{k_{\text{eq, series}}} = \sum_i \dfrac{1}{k_i} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} + \dots$
- 2.8.B.1.ii La constante elástica equivalente de un conjunto de resortes dispuestos en serie es menor que la constante elástica más pequeña de sus componentes.
- 2.8.B.1.iii La constante elástica equivalente de un conjunto de resortes dispuestos en paralelo es la suma de las constantes elásticas individuales.
  - Ecuación derivada: $k_{\text{eq, parallel}} = \sum_i k_i = k_1 + k_2 + \dots$

Declaración de límites: AP Physics C: Mechanics solo espera que los estudiantes encuentren la constante elástica efectiva de sistemas de resortes dispuestos ya sea en serie o en paralelo, y no espera que los estudiantes encuentren la constante elástica efectiva de un sistema en el que los resortes están dispuestos tanto en serie como en paralelo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La ley de Hooke y el límite elástico

Un resorte ideal tiene una masa despreciable y ejerce una fuerza proporcional al cambio de su longitud respecto de su longitud sin deformar. (Un resorte real puede tener una masa considerable o dejar de obedecer la regla de proporcionalidad si se estira demasiado). Obedece la ley de Hooke $\vec F_s=-k\Delta\vec x$, siempre dirigida hacia la longitud del resorte sin deformar: una fuerza restauradora determinada por la constante del resorte $k$. Su energía almacenada es $U=\tfrac12 kx^2$.

La ley de Hooke: la extensión es proporcional a la carga hasta el límite de proporcionalidad — Ley de Hooke: la extensión es proporcional a la carga hasta el límite de proporcionalidad

Los resortes combinados actúan como un único resorte equivalente de constante $k_{\text{eq}}$. En paralelo (uno al lado del otro, compartiendo la carga) las constantes se suman, $k_{\text{eq}}=k_1+k_2$ – más rígido que cualquiera de ellos. En serie (extremo con extremo) se combinan como $\dfrac{1}{k_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$ – más blando que el más blando. Dos resortes jalando una masa desde lados opuestos también actúan en paralelo, dando una constante restauradora $k_1+k_2$. Sea cual sea tu configuración, el periodo de MSJ usa $k_{\text{eq}}$: $T=2\pi\sqrt{m/k_{\text{eq}}}$.

Explorar

Estirar un resorte (Ley de Hooke)

La fuerza de un resorte es proporcional a su extensión, $F=kx$ (Ley de Hooke). Tira con más fuerza y la extensión crece al mismo ritmo — hasta el límite del resorte.

Vocabulario Entrenar

English	Español
Hooke's law/hʊks lɔː/	ley de Hooke
spring constant/sprɪŋ ˈkɒnstənt/	constante del resorte
resistive force/rɪˈzɪstɪv fɔːs/	fuerza de resistencia

2.9

Fuerzas Resistivas

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 2.9.A: Describir el movimiento de un objeto sujeto a una fuerza de resistencia.

2.9.A.1 Una fuerza de resistencia se define como una fuerza dependiente de la velocidad en dirección opuesta a la velocidad del objeto, por ejemplo:
- Ecuación: $\vec{F}_r = -k\vec{v}$
2.9.A.2 La aplicación de la segunda ley de Newton a un objeto sobre el cual actúa una fuerza de resistencia da lugar a una ecuación diferencial para la velocidad.
- 2.9.A.2.i Utilizando el método de separación de variables, la velocidad puede determinarse integrando sobre los límites de integración adecuados.
- 2.9.A.2.ii La aceleración o posición de un objeto en movimiento que está sujeto a una fuerza dependiente de la velocidad pueden determinarse mediante condiciones iniciales del objeto y métodos del cálculo, una vez obtenida una función para la velocidad.
- 2.9.A.2.iii La posición, la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo de un objeto bajo la influencia de una fuerza de resistencia de la forma $\vec{F}_r = -k\vec{v}$ son exponenciales y tienen asíntotas determinadas por las condiciones iniciales del objeto y las fuerzas que actúan sobre él.
2.9.A.3 La velocidad terminal se define como la velocidad máxima alcanzada por un objeto que se mueve bajo la influencia de una fuerza constante y una fuerza de resistencia que actúan sobre el objeto en direcciones opuestas. Se alcanza la condición terminal cuando la fuerza neta ejercida sobre el objeto es cero.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una fuerza resistente (resistencia) se opone al movimiento en un fluido y crece con la velocidad, modelada a menudo como $F=-bv$ o $F=-cv^2$. La segunda ley de Newton da una ecuación diferencial, p. ej., $m\dfrac{dv}{dt}=mg-bv$ para un objeto cayendo. Al aumentar la velocidad, la resistencia crece hasta equilibrar la fuerza motriz; el objeto deja de acelerar y se mueve a una velocidad terminal constante, hallada igualando a cero la fuerza neta (y $dv/dt$).

Ejemplo resuelto. Para un objeto cayendo con $m\dfrac{dv}{dt}=mg-bv$, la velocidad terminal es donde $\dfrac{dv}{dt}=0$: $mg=bv_T$, así que $v_T=\dfrac{mg}{b}$. Con $m=0.10\ \text{kg}$ y $b=0.50\ \text{kg/s}$, $v_T=\dfrac{0.10(9.8)}{0.50}=2.0\ \text{m/s}$.

Para obtener el movimiento completo $v(t)$, separar variables e integrar desde el reposo:

$$\int_0^{v}\frac{dv'}{mg-bv'}=\int_0^{t}\frac{dt'}{m}\;\Rightarrow\;-\frac{1}{b}\ln\!\frac{mg-bv}{mg}=\frac{t}{m},$$

que se reorganiza en $v(t)=v_T\left(1-e^{-bt/m}\right)$ – la velocidad sube exponencialmente hacia $v_T$. Mostrar esta integración es la habilidad de cálculo que recompensa la respuesta libre de Física C, no solo citar la fórmula final.

Un objeto que cae a través de un fluido acelera hasta alcanzar una velocidad terminal — Un objeto cayendo a través de un fluido acelera hasta alcanzar una velocidad terminal

Paracaidistas en caída libre: la resistencia aumenta con la velocidad hasta equilibrar el peso en la velocidad terminal — Paracaidistas en caída libre: el arrastre crece con la velocidad hasta equilibrar el peso en la velocidad terminal

Ejemplo resuelto (una pregunta de traducción entre representaciones). La segunda pregunta de respuesta libre, Traducción entre representaciones, pide expresar una situación mediante un diagrama, una ecuación y una gráfica, y luego establecer las relaciones entre ellos. Se empuja un bloque de masa $m$ para que se deslice a una rapidez $v_0$ por una superficie horizontal sin fricción y luego se suelta en $t=0$. La resistencia del aire $F=-bv$ es la única fuerza horizontal.

(a) Dibuja un diagrama de cuerpo libre del bloque después de soltarlo. Tres flechas desde un punto: el peso $mg$ hacia abajo, la fuerza normal $F_N$ hacia arriba (de igual longitud) y la resistencia del aire $bv$ en sentido opuesto a la velocidad. No hay ninguna fuerza hacia adelante: una vez que se suelta, nada empuja el bloque.

(b) Deduce una expresión para $v(t)$. La segunda ley de Newton en la dirección del movimiento:

$$m\frac{dv}{dt}=-bv\;\Rightarrow\;\int_{v_0}^{v}\frac{dv'}{v'}=-\frac{b}{m}\int_0^t dt'\;\Rightarrow\;\ln\frac{v}{v_0}=-\frac{bt}{m}\;\Rightarrow\;v=v_0\,e^{-bt/m}.$$

(c) Traza $v$ frente a $t$. La curva comienza en $v_0$, desciende rápidamente al principio y luego cada vez más lentamente, acercándose a cero sin llegar a alcanzarlo.

Una gráfica de velocidad frente al tiempo para un bloque frenado únicamente por la resistencia del aire: la rapidez disminuye desde v0 siguiendo una curva de decaimiento exponencial que se aproxima a cero; una tangente inicial discontinua corta el eje del tiempo en tau = m/b, cuando la curva ha descendido hasta v0/e — La resistencia del aire por sí sola frena el bloque: la rapidez disminuye exponencialmente, más rápido al principio, y la tangente inicial corta el eje t en la constante de tiempo m/b

(d) Explica cómo se deduce la forma de tu gráfica a partir de tu diagrama de cuerpo libre. La pendiente de la gráfica es la aceleración, $-\dfrac{bv}{m}$. La flecha de la resistencia del aire es más larga al inicio, cuando $v$ es mayor, por lo que la gráfica tiene allí su mayor inclinación, con pendiente $-\dfrac{bv_0}{m}$. A medida que el bloque reduce su rapidez, la flecha de la resistencia se acorta, por lo que la pendiente se hace menos pronunciada: la curva se aplana. Como la resistencia nunca es cero mientras el bloque se mueve, pero se vuelve muy pequeña, la rapidez sigue disminuyendo sin llegar nunca a cero en un tiempo finito.

Al integrar $v(t)$ desde $0$ hasta $\infty$ se obtiene la distancia total: el bloque recorre solo una distancia finita, $\dfrac{mv_0}{b}$, aunque su rapidez nunca llega a ser exactamente cero.

Explorar

Fuerzas resistivas y velocidad terminal

A medida que un cuerpo en caída aumenta su velocidad, la resistencia crece hasta igualar al peso y el objeto deja de acelerar.

Vocabulario Entrenar

English	Español
terminal velocity/ˈtɜːmɪnl vəˈlɒsɪti/	velocidad terminal
separate the variables/ˈseprət ðə ˈveərɪəblz/	separar las variables
centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/	aceleración centrípeta

2.10

Movimiento circular

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 2.10.A: Describir el movimiento de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular.

2.10.A.1 La aceleración centrípeta es la componente de la aceleración de un objeto dirigida hacia el centro de su trayectoria circular.
- 2.10.A.1.i La magnitud de la aceleración centrípeta para un objeto que se mueve en una trayectoria circular es la razón entre el cuadrado de la velocidad tangencial del objeto y el radio de la trayectoria circular.
  - Ecuación: $a_c = \dfrac{v^2}{r}$
- 2.10.A.1.ii La aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro de la trayectoria circular del objeto.
2.10.A.2 La aceleración centrípeta puede ser producida por una sola fuerza, por más de una fuerza o por componentes de fuerzas que actúan sobre un objeto en movimiento circular.
- 2.10.A.2.i En la parte superior de un bucle vertical circular, un objeto requiere una velocidad mínima para mantener el movimiento circular. En este punto y con esta velocidad mínima, la fuerza gravitacional es la única fuerza que produce la aceleración centrípeta.
  - Ecuación derivada: $v = \sqrt{gr}$
- 2.10.A.2.ii Las componentes de la fuerza de fricción estática y la fuerza normal pueden contribuir a la fuerza neta que produce la aceleración centrípeta de un objeto que se desplaza en un círculo sobre una superficie inclinada (bancada).
- 2.10.A.2.iii Una componente de la tensión contribuye a la fuerza neta que produce la aceleración centrípeta experimentada por un péndulo cónico.
2.10.A.3 La aceleración tangencial es la tasa a la cual cambia la rapidez de un objeto y está dirigida tangente a la trayectoria circular del objeto.
2.10.A.4 La aceleración neta de un objeto que se mueve en un círculo es la suma vectorial de la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial.
2.10.A.5 La revolución de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular a velocidad constante (movimiento circular uniforme) puede describirse utilizando el periodo y la frecuencia.
- 2.10.A.5.i El tiempo necesario para completar una trayectoria circular completa, una rotación completa o un ciclo completo de movimiento oscilatorio se define como periodo, $T$.
- 2.10.A.5.ii La tasa a la que un objeto completa revoluciones se define como frecuencia, $f$.
  - Ecuación: $T = \dfrac{1}{f}$
- 2.10.A.5.iii Para un objeto que se desplaza a velocidad constante en una trayectoria circular, el periodo viene dado por la ecuación derivada:
  - Ecuación derivada: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$

Objetivo de aprendizaje 2.10.B: Describir órbitas circulares usando la tercera ley de Kepler.

2.10.B.1 Para un satélite en órbita circular alrededor de un cuerpo central, la aceleración centrípeta del satélite es causada únicamente por la atracción gravitacional. El periodo y el radio de la órbita circular están relacionados con la masa del cuerpo central.
- Ecuación derivada: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} R^3$

Enunciado de límite: AP Physics C: Mechanics no espera que los estudiantes conozcan la primera ni la segunda ley del movimiento planetario de Kepler.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme tiene una aceleración centrípeta $a_c=\dfrac{v^2}{r}$ apuntando hacia el centro, que requiere una fuerza neta hacia adentro $F_c=\dfrac{mv^2}{r}$ proporcionada por una fuerza real (tensión, gravedad, fricción, normal). No existe ninguna fuerza hacia afuera. La aceleración centrípeta puede provenir de una sola fuerza, de varias fuerzas o de componentes de fuerzas. Para círculos verticales y curvas peraltadas, descomponga las fuerzas reales para encontrar cuál satisface el requisito centrípeto.

Ejemplo resuelto. Una pelota de $0.50\ \text{kg}$ se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción, unida a una cuerda de $1.0\ \text{m}$ fijada en el centro del círculo, a $3.0\ \text{m/s}$. La tensión de la cuerda proporciona toda la fuerza centrípeta: $T=\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{0.50(3.0)^2}{1.0}=4.5\ \text{N}$.

Ejemplo resuelto (círculo vertical). En la parte superior de un bucle vertical de radio $r$, tanto la gravedad como la fuerza normal apuntan hacia el centro: $N+mg=\dfrac{mv^2}{r}$. La velocidad más lenta posible en la parte superior es donde la pista ya no empuja ($N=0$): $v_{\min}=\sqrt{gr}$. Para $r=2.5\ \text{m}$: $v_{\min}=\sqrt{9.8(2.5)}=4.9\ \text{m/s}$. Si va más lento, el carrito saldrá de la pista antes de llegar a la cima.

Si la velocidad también cambia, hay una aceleración tangencial $a_t=\dfrac{dv}{dt}$ a lo largo de la trayectoria además. La aceleración total del objeto es la suma vectorial $\vec a=\vec a_c+\vec a_t$, con magnitud $\sqrt{a_c^2+a_t^2}$.

El movimiento circular uniforme se repite, por lo que se describe mediante su período $T$ (tiempo para una vuelta completa) y su frecuencia $f=1/T$; la velocidad es $v=\dfrac{2\pi r}{T}$.

Para un satélite en órbita circular, solo la gravedad proporciona la fuerza centrípeta:

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m(2\pi r/T)^2}{r}\quad\Rightarrow\quad T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3.$$

Esta es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita, y la masa del propio satélite se cancela.

Ejemplo resuelto (órbita geoestacionaria). Un satélite que permanece sobre un mismo punto del ecuador necesita $T=24$ h $=8.64\times10^4$ s. Con $GM=4.0\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$: $r^3=\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}=\dfrac{4.0\times10^{14}(8.64\times10^4)^2}{39.5}=7.6\times10^{22}$, por lo tanto $r=4.2\times10^7$ m – aproximadamente 6.6 radios terrestres desde el centro de la Tierra.

La velocidad apunta a lo largo de la tangente; la fuerza centrípeta apunta hacia el centro

Explorar

¿Qué proporciona la fuerza centrípeta?

El movimiento circular uniforme requiere una fuerza neta hacia el centro. Empareja cada caso con su fuente.

2.10

Practice

Responda cada pregunta antes de leer las respuestas siguientes.

Se tira de un bloque de $2.0$ kg por el suelo mediante una fuerza horizontal de $20$ N; $\mu_k = 0.30$. Calcula su aceleración.
Una máquina de Atwood tiene masas de $3.0$ kg y $5.0$ kg en una polea ligera y sin fricción. Calcula la aceleración y la tensión.
Un objeto de masa $m$ cae desde el reposo con una fuerza de resistencia del aire $-bv$. Calcula la rapidez terminal y deduce $v(t)$.
Calcula la mayor rapidez a la que un automóvil puede tomar una curva plana de radio $50$ m si $\mu_s = 0.80$.
La Tierra atrae un libro hacia abajo con una fuerza de $10$ N. ¿Cuál es la fuerza que forma el par de la tercera ley de Newton con esta fuerza?
Un bloque se desliza por un plano inclinado de $30^\circ$ sin fricción. Calcula su aceleración.

2.10

Respuestas

$f = 0.30(2.0)(9.8) = 5.9$ N; $a = (20 - 5.9) \div 2.0 = 7.1$ m/s².
$a = \dfrac{(5 - 3)(9.8)}{8} = 2.45$ m/s²; $T = 3(9.8 + 2.45) = 36.8$ N.
Rapidez terminal cuando $mg = bv$: $v_T = mg/b$. $m\dfrac{dv}{dt} = mg - bv$; al separar e integrar desde $v = 0$ se obtiene $v(t) = \dfrac{mg}{b}\left(1 - e^{-bt/m}\right)$.
La fricción proporciona la fuerza centrípeta: $\mu_s mg = mv^2/r$, por lo que $v = \sqrt{\mu_s g r} = \sqrt{0.80(9.8)(50)} = 19.8$ m/s.
El libro atrae la Tierra hacia arriba con una fuerza de $10$ N. (La fuerza normal sobre el libro no es la fuerza que forma el par: actúa sobre el mismo objeto y es un tipo diferente de fuerza).
$a = g\sin 30^\circ = 4.9$ m/s².

2.10

Consejos para el examen

Ubica el centro de masa con $x_{cm}=\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ (o $\tfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ para masas puntuales) y usa $\lambda,\sigma,\rho$ para el elemento de masa.
La fuerza externa neta mueve el centro de masa como si toda la masa estuviera allí: $\vec F_{net}=M\vec a_{cm}$.
Define claramente tu sistema – las fuerzas internas se cancelan, así que solo las fuerzas externas cambian su momento.
Explota la simetría para simplificar una integral del centro de masa.
Distingue entre centro de masa y centro de gravedad (idénticos en un campo uniforme).

Errores comunes

Escribir $N = mg$ en toda superficie. En una rampa $N = mg\cos\theta$ (si nada más empuja) y en un ascensor que acelera hacia arriba a $a$, $N = m(g + a)$.
Usar $f_s = \mu_s N$ como fricción estática. $\mu_s N$ es solo el valor máximo; la fricción estática es la necesaria para el equilibrio, hasta ese límite.
Dibujar una «fuerza centrípeta» o una «fuerza centrífuga» en un diagrama de cuerpo libre. Dibuja solo fuerzas reales; su componente neta hacia el centro es igual a $mv^2/r$.
Olvidar que $N$ y $mg$ apuntan ambos al centro en la parte superior de un bucle vertical: $N + mg = mv^2/r$.
Citar $v(t) = v_T(1 - e^{-bt/m})$ sin separar las variables cuando se solicita una deducción.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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