Torque y dinámica rotacional

Objetivo de aprendizaje 5.1.A: Describir la rotación de un sistema con respecto al tiempo utilizando el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular.

• 5.1.A.1 El desplazamiento angular es la medida del ángulo, en radianes, a través del cual rota un punto de un sistema rígido alrededor de un eje especificado.
  • Ecuación: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
  • 5.1.A.1.i Un sistema rígido es aquel que mantiene su forma, pero en el cual diferentes puntos del sistema se mueven en direcciones distintas durante la rotación. Un sistema rígido no puede modelarse como un objeto.
  • 5.1.A.1.ii Una dirección del desplazamiento angular respecto a un eje de rotación —horaria o antihoraria— se indica típicamente como matemáticamente positiva, mientras que la otra dirección se considera matemáticamente negativa.
  • 5.1.A.1.iii Si la rotación de un sistema alrededor de un eje puede describirse adecuadamente mediante el movimiento de su centro de masa, el sistema puede tratarse como un solo objeto. Por ejemplo, la rotación de la Tierra sobre su propio eje puede considerarse despreciable al analizar la órbita de la Tierra alrededor del centro de masa del sistema Tierra-Sol.
• 5.1.A.2 La velocidad angular es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo.
  • Ecuación: $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
• 5.1.A.3 La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo.
  • Ecuación: $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
• 5.1.A.4 El desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular alrededor de un eje son análogos al desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleración en una dimensión, y demuestran las mismas relaciones matemáticas.
  • 5.1.A.4.i Para una aceleración angular constante, las relaciones matemáticas entre el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular pueden describirse con las siguientes ecuaciones:
    • $\omega = \omega_0 + \alpha t$
    • $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
    • $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
  • 5.1.A.4.ii Las gráficas del desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular como funciones del tiempo pueden utilizarse para encontrar las relaciones entre estas cantidades.

Enunciado de límite: AP Physics C: Mecánica espera que los estudiantes puedan manipular matemáticamente las magnitudes del desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular utilizando convenciones vectoriales. Sin embargo, las direcciones de dichos vectores no serán evaluadas en el examen.

Las descripciones de las direcciones de las cantidades de la cinemática rotacional para un punto o cuerpo rígido se limitan a horaria y antihoraria con respecto a un eje de rotación dado.

Objetivo de aprendizaje 5.2.A: Describir el movimiento lineal de un punto en un sistema rígido en rotación que corresponda al movimiento rotacional de ese punto, y viceversa.

• 5.2.A.1 Para un punto a una distancia $r$ de un eje de rotación fijo, la distancia lineal $s$ recorrida por el punto mientras el sistema rota mediante un ángulo $\Delta\theta$ está dada por la ecuación $\Delta s = r\Delta\theta$.
• 5.2.A.2 Las relaciones derivadas de la velocidad lineal y del componente tangencial de la aceleración con sus respectivas cantidades angulares están dadas por las siguientes ecuaciones:
  • $s = r\theta$
  • $v = r\omega$
  • $a_T = r\alpha$
• 5.2.A.3 Para un sistema rígido, todos los puntos dentro de ese sistema tienen la misma velocidad angular y aceleración angular.

Enunciado de límite: AP Physics C: Mecánica espera que los estudiantes puedan manipular matemáticamente las magnitudes del desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular utilizando convenciones vectoriales. Sin embargo, las direcciones de los vectores no serán evaluadas en el examen.

Las descripciones de las direcciones de las cantidades cinemáticas rotacionales para un punto o cuerpo rígido se limitan a horario y antihorario con respecto a un eje de rotación dado.

Objetivo de aprendizaje 5.3.A: Identificar los torques ejercidos sobre un sistema rígido.

• 5.3.A.1 El torque resulta únicamente de la componente de la fuerza perpendicular al vector de posición que va desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza.
• 5.3.A.2 El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta la línea de acción de la fuerza ejercida.

Objetivo de aprendizaje 5.3.B: Describir los torques ejercidos sobre un sistema rígido.

• 5.3.B.1 Los torques pueden describirse mediante diagramas de fuerzas.
  • 5.3.B.1.i Los diagramas de fuerzas son similares a los diagramas de cuerpo libre y se utilizan para analizar los torques ejercidos sobre un sistema rígido.
  • 5.3.B.1.ii Al igual que los diagramas de cuerpo libre, los diagramas de fuerzas representan la magnitud relativa y la dirección de las fuerzas ejercidas sobre un sistema rígido. Además, los diagramas de fuerzas muestran la ubicación en la que se aplican dichas fuerzas en relación con el eje de rotación.
• 5.3.B.2 El torque ejercido sobre un sistema rígido respecto a un punto de pivote elegido por una fuerza dada se describe mediante $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
  • 5.3.B.2.i El producto cruz entre dos vectores, $\vec{A}$ y $\vec{B}$, da como resultado una cantidad vectorial de magnitud $\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta$.
  • 5.3.B.2.ii La dirección del vector resultante del producto cruz de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es perpendicular a ambos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$, por lo tanto, es normal al plano definido por los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$.
  • 5.3.B.2.iii La dirección del vector resultante del producto cruz de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ puede determinarse cualitativamente aplicando la regla de la mano derecha correspondiente.

Objetivo de Aprendizaje 5.4.A: Describir la inercia rotacional de un sistema rígido en relación con un eje de rotación dado.

• 5.4.A.1 La inercia rotacional mide la resistencia de un sistema rígido a cambios en su rotación y está relacionada con la masa del sistema y la distribución de dicha masa en relación con el eje de rotación.
• 5.4.A.2 La inercia rotacional de un objeto que gira a una distancia perpendicular $r$ de un eje se describe mediante la ecuación $I = mr^2$.
• 5.4.A.3 La inercia rotacional total de un conjunto de objetos respecto a un eje es la suma de las inercias rotacionales de cada objeto respecto a ese eje.
  • Ecuación: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$
• 5.4.A.4 Para un sólido que puede considerarse como una colección de masas diferenciales, $dm$, la inercia rotacional del sólido puede calcularse utilizando la ecuación $I = \int r^2\, dm$, donde $r$ es la distancia perpendicular desde $dm$ hasta el eje de rotación.

Objetivo de Aprendizaje 5.4.B: Describir la inercia rotacional de un sistema rígido que rota alrededor de un eje que no pasa por el centro de masa del sistema.

• 5.4.B.1 La inercia rotacional de un sistema rígido en un plano dado es mínima cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa del sistema.
• 5.4.B.2 El teorema de los ejes paralelos utiliza la siguiente ecuación para relacionar la inercia rotacional de un sistema rígido respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por su centro de masa:
  • Ecuación: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Enunciado de límites: AP Physics C: Mechanics solo espera que los estudiantes utilicen cálculo en las derivaciones de la inercia rotacional de barras delgadas de densidad uniforme o no uniforme respecto a un eje arbitrario perpendicular a la barra, así como en las derivaciones de la inercia rotacional de cascarones cilíndricos delgados, discos o cuerpos rígidos que pueden considerarse compuestos por anillos o cascarones coaxiales respecto a un eje que pasa por sus centros (p. ej., anillos huecos).

Los estudiantes deben tener una comprensión cualitativa de los factores que afectan la inercia rotacional; por ejemplo, cómo la inercia rotacional es mayor cuando la masa se encuentra más lejos del eje de rotación, lo cual explica por qué un aro tiene más inercia rotacional que un disco sólido de la misma masa y radio.

Objetivo de Aprendizaje 5.5.A: Describir las condiciones bajo las cuales la velocidad angular de un sistema permanece constante.

• 5.5.A.1 Un sistema puede presentar equilibrio rotacional (velocidad angular constante) sin estar en equilibrio traslacional, y viceversa.
  • 5.5.A.1.i Los diagramas de cuerpo libre y los diagramas de fuerzas describen la naturaleza de las fuerzas y los torques que actúan sobre un objeto o sistema rígido.
  • 5.5.A.1.ii El equilibrio rotacional es una configuración de torques tal que el torque neto ejercido sobre el sistema es cero.
    • Ecuación: $\sum \tau_i = 0$
  • 5.5.A.1.iii El análogo rotacional de la primera ley de Newton establece que un sistema tendrá una velocidad angular constante solo si el torque neto ejercido sobre el sistema es cero.
• 5.5.A.2 Un corolario rotacional de la segunda ley de Newton establece que si los torques ejercidos sobre un sistema rígido no están equilibrados, la velocidad angular del sistema debe estar cambiando.

Enunciado de límite: AP Physics C: Mechanics no espera que los estudiantes analicen simultáneamente la rotación en múltiples planos.

Objetivo de aprendizaje 5.6.A: Describir las condiciones bajo las cuales cambia la velocidad angular de un sistema.

• 5.6.A.1 La velocidad angular cambia cuando el torque neto ejercido sobre el objeto o sistema no es igual a cero.
• 5.6.A.2 La tasa a la que cambia la velocidad angular de un sistema rígido es directamente proporcional al torque neto ejercido sobre dicho sistema y tiene la misma dirección. La aceleración angular del sistema rígido es inversamente proporcional a su inercia rotacional.
  • Ecuación: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\Sigma\tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
• 5.6.A.3 Para describir completamente un sistema rígido en rotación, pueden ser necesarias análisis lineales y rotacionales por separado.