Un cohete despegue. Cada segundo, su motor quema más fuerte, así que su aceleración sigue creciendo. Ahora intenta encontrar su velocidad con las ecuaciones de tu primer…
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1.1
Escalares y Vectores
Syllabus
Objetivo de Aprendizaje 1.1.A: Describir una cantidad escalar o vectorial utilizando su magnitud y dirección, según corresponda.
1.1.A.1 Los escalares son cantidades descritas únicamente por su magnitud; los vectores son cantidades descritas tanto por su magnitud como por su dirección.
1.1.A.2 Los vectores pueden modelarse visualmente como flechas con la dirección apropiada y longitudes proporcionales a su magnitud.
1.1.A.3 La distancia y la rapidez son ejemplos de cantidades escalares, mientras que la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son ejemplos de cantidades vectoriales.
1.1.A.4 Los vectores pueden expresarse en notación de vectores unitarios o como una magnitud y una dirección.
1.1.A.4.i La notación de vectores unitarios puede utilizarse para representar vectores como la suma de sus componentes constituyentes en las direcciones $x$, $y$ y $z$, denotadas por $\hat{i}$, $\hat{j}$ y $\hat{k}$, respectivamente.
1.1.A.5 En un sistema de coordenadas unidimensional dado, las direcciones opuestas se denotan con signos opuestos.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
En 1999, la NASA perdió el Mars Climate Orbiter, una nave espacial de 125 millones de dólares, porque un equipo proporcionó datos de los propulsores en libras-segundo y otro los interpretó como newtons-segundo. La trayectoria calculada de la sonda tenía un error de aproximadamente 170 km, y la sonda se desintegró en la atmósfera marciana. La cinemática, la descripción cuidadosa de dónde está algo y cómo cambia su posición, parece sencilla, pero todas las unidades posteriores de este curso se basan en hacerlo correctamente: las magnitudes, las direcciones y las unidades adecuadas.
Cinemática describe el movimiento sin preguntar qué lo causa. Dos tipos de cantidad:
Una escalar tiene solo tamaño (magnitud): distancia, rapidez, masa, tiempo, energía.
Un vector tiene magnitud y dirección: posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza.
Un vector se dibuja como una flecha cuya longitud es proporcional a su magnitud. En una dimensión, la dirección es simplemente un signo: elige una dirección positiva y todo lo que apunte en sentido contrario es negativo. Por tanto, una velocidad de $-3\ \text{m/s}$ significa 3 m/s en la dirección negativa, no "rapidez menor que cero".
En este curso basado en cálculo, resuelves vectores en componentes y los sumas componente por componente. Physics C escribe vectores con vectores unitarios$\hat{i}$, $\hat{j}$ y $\hat{k}$, que tienen longitud uno y apuntan a lo largo de $x$, $y$ y $z$:
Un vector resultante es la suma de los componentes: $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{i}+(A_y+B_y)\hat{j}$. Un vector también puede expresarse mediante su magnitud y dirección; conviértelo usando $A_x=A\cos\theta$, $A_y=A\sin\theta$ y $\tan\theta=A_y/A_x$. El vector de posición de un punto es $\vec{r}$, y $\hat{r}$ es el vector unitario que apunta en la misma dirección.
Resolviendo un vector en sus componentes x e y
Ejemplo resuelto (suma de vectores).$\vec{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$ m y $\vec{B}=6\ \text{m}$ a $30^\circ$ por debajo del eje $+x$. Encuentra $\vec{A}+\vec{B}$.
$\vec{B}=6\cos30^\circ\,\hat{i}-6\sin30^\circ\,\hat{j}=5.2\hat{i}-3.0\hat{j}$ m.
$\vec{C}=(3+5.2)\hat{i}+(4-3.0)\hat{j}=8.2\hat{i}+1.0\hat{j}$ m.
$|\vec{C}|=\sqrt{8.2^2+1.0^2}=8.3$ m a $\tan^{-1}(1.0/8.2)=7^\circ$ por encima de $+x$. Sumar las magnitudes ($5+6=11$ m) sería incorrecto.
Un velocímetro de automóvil: la rapidez es la magnitud de la velocidad — una tasa escalar de movimiento
Explorar
Explorar el producto escalar
Arrastra las componentes de $\vec{A}$ y $\vec{B}$. El producto escalar$\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y$ alcanza cero exactamente cuando los dos vectores son perpendiculares: la geometría detrás de $\cos\theta$.
Objetivo de Aprendizaje 1.2.A: Describir un cambio en la posición de un objeto.
1.2.A.1 Al utilizar el modelo de partícula, se ignoran el tamaño, la forma y la configuración interna del objeto. El objeto puede tratarse como un único punto con propiedades extensivas, como la masa y la carga.
1.2.A.2 El desplazamiento es el cambio en la posición de un objeto.
Ecuación:$\Delta x = x - x_0$
Objetivo de Aprendizaje 1.2.B: Describir la velocidad y aceleración promedio de un objeto.
1.2.B.1 Los promedios de velocidad y aceleración se calculan considerando los estados inicial y final de un objeto durante un intervalo de tiempo.
1.2.B.2 La velocidad promedio es el desplazamiento de un objeto dividido por el intervalo de tiempo durante el cual ocurre dicho desplazamiento.
1.2.B.4 Un objeto está acelerando si cambia tanto la magnitud como/o la dirección de su velocidad.
1.2.B.5 Calcular la velocidad o aceleración promedio sobre un intervalo de tiempo muy pequeño produce un valor muy cercano a la velocidad instantánea o la aceleración instantánea.
Objetivo de Aprendizaje 1.2.C: Describir la posición, velocidad y aceleración instantáneas de un objeto en función del tiempo.
1.2.C.1 A medida que el intervalo de tiempo utilizado para calcular el valor promedio de una cantidad se aproxima a cero, el valor promedio de dicha cantidad se aproxima al valor de la cantidad en ese instante, denominado valor instantáneo.
1.2.C.1.i La velocidad instantánea es la tasa de cambio de la posición del objeto, lo cual es igual a la derivada de la posición con respecto al tiempo.
Ecuación:$\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt}$
Ecuación:$v_x = \dfrac{dx}{dt}$
1.2.C.1.ii La aceleración instantánea es la tasa de cambio de la velocidad del objeto, lo cual es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
Ecuación:$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$
Ecuación:$a_x = \dfrac{dv_x}{dt}$
1.2.C.2 Las funciones dependientes del tiempo y los valores instantáneos de posición, velocidad y aceleración pueden determinarse mediante diferenciación e integración.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El movimiento de proyectiles son dos movimientos independientes
En el modelo de partícula, ignoramos el tamaño, forma y partes internas de un objeto y lo tratamos como un único punto que posee su masa (y carga). Un automóvil, un planeta o una pelota pueden considerarse objetos cuando solo importa su movimiento general.
Desplazamiento es el cambio de posición, $\Delta x=x-x_0$. Depende únicamente de los puntos inicial y final: recorres una pista de 400 m y tu distancia es 400 m, pero tu desplazamiento es cero.
Valores promedio usan solo el inicio y fin de un intervalo de tiempo:
Un objeto está acelerando siempre que su velocidad cambie en magnitud, dirección o ambas; un auto que toma una curva a una velocidad constante de 50 km/h está acelerando.
A medida que el intervalo de tiempo se acerca a cero, el valor promedio se aproxima al valor en un instante. Por lo tanto, la velocidad instantánea y la aceleración instantánea son derivadas:
Así, la velocidad promedio es $\Delta x/\Delta t$ sobre un intervalo, mientras que la velocidad instantánea es la derivada en un momento específico —la pendiente de la recta tangente en una gráfica de $x$–$t$, y lo que muestra un velocímetro (como magnitud).
Ejemplo resuelto (diferenciación). Una partícula se mueve según $x(t)=2t^3-3t^2$ (metros). Diferencia para obtener velocidad y aceleración:
En $t=2\ \text{s}$, $v=24-12=12\ \text{m/s}$ y $a=24-6=18\ \text{m/s}^2$. La partícula se detiene momentáneamente cuando $v=0$: $6t(t-1)=0$, por lo tanto en $t=0$ y $t=1$ s. Entre estos instantes $v<0$, así que se mueve hacia atrás. Su velocidad promedio desde $t=0$ hasta $t=2$ s es $\dfrac{x(2)-x(0)}{2}=\dfrac{4-0}{2}=2\ \text{m/s}$ —muy diferente de la velocidad instantánea de 12 m/s al final. Este vínculo con el cálculo, más allá de las fórmulas de $a$ constante, es lo que distingue a Physics C.
Ejemplo resuelto (integración). Una partícula parte del reposo en el origen con $a(t)=6t$. Integra: $v=\int_0^t 6t\,dt=3t^2$ y $x=\int_0^t 3t^2\,dt=t^3$. En $t=2\ \text{s}$, obtienes $v=12\ \text{m/s}$ y $x=8\ \text{m}$. Si en cambio hubiera comenzado en $x_0=5$ m con $v_0=-4$ m/s, entonces tendrías $v=3t^2-4$ y $x=5-4t+t^3$: las condiciones iniciales son las constantes de integración.
En una gráfica de velocidad-tiempo, la pendiente es la aceleración y el área es el desplazamientoUn tren de alta velocidad: la cinemática describe el desplazamiento, la velocidad y la aceleración a lo largo del tiempo
Explorar
Gráficas de movimiento
Establecer una velocidad inicial y una aceleración, luego leer el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en las gráficas.
Objetivo de aprendizaje 1.3.A: Describir la posición, la velocidad y la aceleración de un objeto mediante representaciones del movimiento de dicho objeto.
1.3.A.1 El movimiento puede representarse mediante diagramas de movimiento, figuras, gráficos, ecuaciones y descripciones narrativas.
1.3.A.2 Para una aceleración constante, se pueden utilizar tres ecuaciones cinemáticas para describir el movimiento lineal instantáneo en una dimensión:
Ecuación:$v_x = v_{x0} + a_x t$
Ecuación:$x = x_0 + v_{x0} t + \dfrac{1}{2} a_x t^2$
Ecuación:$v_x^2 = v_{x0}^2 + 2a_x \left( x - x_0 \right)$
Nota: Las ecuaciones anteriores están escritas para indicar el movimiento en la dirección $x$, pero estas ecuaciones pueden utilizarse en cualquier dimensión única según corresponda.
1.3.A.3 Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración vertical causada por la fuerza de gravedad es hacia abajo, constante y tiene un valor medido aproximadamente igual a
Ecuación:$a_g = g \approx 10 \ \text{m/s}^2$.
1.3.A.4 Los gráficos de posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo pueden utilizarse para encontrar las relaciones entre esas cantidades.
1.3.A.4.i La velocidad instantánea de un objeto es la tasa de cambio de la posición del objeto, lo cual es igual a la pendiente de una línea tangente a un punto en un gráfico de la posición del objeto en función del tiempo.
Ecuación:$v_x = \dfrac{dx}{dt}$
1.3.A.4.ii La aceleración instantánea de un objeto es la tasa de cambio de la velocidad del objeto, lo cual es igual a la pendiente de una línea tangente a un punto en un gráfico de la velocidad del objeto en función del tiempo.
Ecuación:$a_x = \dfrac{dv_x}{dt}$
1.3.A.4.iii El desplazamiento de un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al área bajo la curva de un gráfico de la velocidad del objeto en función del tiempo (es decir, el área delimitada por la función y el eje horizontal para el intervalo apropiado).
Ecuación:$\Delta x = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v_x(t) \ dt$
1.3.A.4.iv El cambio en la velocidad de un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al área bajo la curva de un gráfico de la aceleración del objeto en función del tiempo.
Declaración de límites: AP Physics C: Mechanics y AP Physics C: Electricity and Magnetism esperan que, para todas las situaciones en las que se requiera una cantidad numérica para g, se utilice el valor $g \approx 10 \ \text{m/s}^2$. Sin embargo, no se penalizará a los estudiantes por utilizar correctamente los valores más precisos comúnmente aceptados de $g = 9.81 \ \text{m/s}^2$ o $g = 9.8 \ \text{m/s}^2$.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El movimiento puede representarse con diagramas, gráficas, ecuaciones, tablas y palabras; las preguntas de respuesta abierta te piden transitar entre ellas.
Una gráfica de posición-tiempo: la pendiente en cualquier instante es la velocidad
En una gráfica de posición–tiempo, la pendiente de la tangente ($dx/dt$) es la velocidad instantánea.
En una gráfica de velocidad–tiempo, la pendiente es la aceleración y el área bajo la curva es el desplazamiento: $\Delta x=\int_{t_1}^{t_2}v\,dt$. El área bajo el eje temporal cuenta como desplazamiento negativo.
En una gráfica de aceleración–tiempo, el área es el cambio en la velocidad: $\Delta v=\int_{t_1}^{t_2}a\,dt$.
Las pendientes son derivadas; las áreas son integrales: en este contexto, son operaciones inversas.
Posición, velocidad y aceleración están vinculadas mediante diferenciación
Para una aceleración constante$a$, la integración dos veces produce las tres ecuaciones cinemáticas, que son válidas en cualquier dirección única:
Elige la ecuación que excluya la magnitud que no conoces ni necesitas. Úsalas solo cuando la aceleración $a$ sea constante; si la aceleración $a$ depende del tiempo, integra.
El caso más importante de aceleración constante $a$ es la caída libre: cerca de la superficie terrestre, todos los objetos, pesados o ligeros, aceleran hacia abajo a $g$ una vez que la resistencia del aire es despreciable. En el examen AP usa $g\approx10\ \text{m/s}^2$ siempre que se requiera un valor numérico (9.8 también es aceptable).
Ejemplo resuelto (área bajo una gráfica). Un carrito parte del reposo. Su aceleración es $a=2.0\ \text{m/s}^2$ durante 4.0 s, luego cambia a $a=-1.0\ \text{m/s}^2$ durante 6.0 s.
Área bajo la gráfica de aceleración $a$–velocidad $t$: $\Delta v=2.0(4.0)+(-1.0)(6.0)=8.0-6.0=2.0$ m/s, por lo tanto la velocidad final es 2.0 m/s.
Para el desplazamiento, usa la gráfica de velocidad $v$–tiempo $t$: la velocidad $v$ aumenta de 0 a 8.0 m/s y luego disminuye hasta 2.0 m/s.
Área igual a $=\tfrac12(4.0)(8.0)+\tfrac12(8.0+2.0)(6.0)=16+30=46$ m.
Ejemplo resuelto (caída libre). Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba a 15 m/s desde el borde de un acantilado de 20 m de altura y cae hasta la base. Considera hacia arriba como positivo, con aceleración $a=-10\ \text{m/s}^2$ y altura inicial $\Delta y=-20$ m.
Por lo tanto, el tiempo de vuelo es $t=4.0$ s (la raíz negativa no tiene sentido físico). Velocidad al impactar: calculada como $v^2=15^2+2(-10)(-20)=625$, resultando en $v=-25$ m/s – 25 m/s hacia abajo.
Ejemplo resuelto (cuando $a$ no es constante). Los estudiantes dejan caer un filtro de café y ajustan su velocidad a $v=A\left(1-e^{-Bt}\right)$, con una velocidad de $A=2.0$ m/s y un coeficiente de $B=5.0\ \text{s}^{-1}$.
Aceleración: $a=\dfrac{dv}{dt}=ABe^{-Bt}$. En $t=0$, $a=AB=10\ \text{m/s}^2$: al inicio está en caída libre. En $t=0.20$ s, $a=10e^{-1}\approx3.7\ \text{m/s}^2$.
A medida que $t\to\infty$, $e^{-Bt}\to0$, por lo que $v\to A=2.0$ m/s: $A$ es la velocidad terminal, y la aceleración disminuye hasta cero.
Posición (comenzando en $x=0$): $x=\displaystyle\int_0^t A\left(1-e^{-Bt'}\right)dt'=At-\dfrac{A}{B}\left(1-e^{-Bt}\right)$.
Las ecuaciones de la cinemática darían respuestas incorrectas aquí porque $a$ cambia. Si solo tienes una gráfica de $v$–$t$, encuentra $a$ en un instante trazando la tangente en ese punto y calculando su pendiente con dos puntos muy separados de la recta tangente.
Medir $g$ con una gráfica de línea recta. Se deja caer una bola desde el reposo desde varias alturas $h$, y se mide el tiempo de caída $t$. Dado que $h=\tfrac12gt^2$, una gráfica de $h$ frente a $t^2$ es una línea recta que pasa por el origen con una pendiente de $\tfrac12g$.
$h$ (m)
0.40
0.80
1.20
1.60
$t$ (s)
0.286
0.404
0.495
0.571
$t^2$ (s²)
0.082
0.163
0.245
0.326
Grafique $h$ (vertical) frente a $t^2$ (horizontal) y trace la línea de mejor ajuste. No una los puntos entre sí.
Pendiente tomada de dos puntos sobre la línea, alejados entre sí: $\dfrac{1.60-0.40}{0.326-0.082}\approx4.92\ \text{m/s}^2$.
Elija los ejes para que la relación esperada se convierta en $y=mx$ (o $y=mx+c$); luego indique qué magnitud física representa la pendiente. Para reducir la incertidumbre, tome varias lecturas a cada altura y prométielas, y utilice un amplio rango de alturas.
Explorar
Explora el gráfico velocidad-tiempo
Cambia la velocidad inicial y la aceleración. La pendiente de una línea $v$–$t$ es la aceleración $a=\tfrac{dv}{dt}$, y el área debajo es el desplazamiento $\Delta x=\int v\,dt$: la pendiente y el área son las caras gráficas de la derivada y la integral.
Objetivo de aprendizaje 1.4.A: Describir el marco de referencia de un observador dado.
1.4.A.1 La elección del marco de referencia determinará la dirección y la magnitud de las cantidades medidas por un observador en ese marco de referencia.
Objetivo de aprendizaje 1.4.B: Describir el movimiento de los objetos tal como es medido por observadores en diferentes marcos de referencia inerciales.
1.4.B.1 Las mediciones de un marco de referencia dado pueden convertirse en mediciones de otro marco de referencia.
1.4.B.2 La velocidad observada de un objeto resulta de la combinación de la velocidad del objeto y la velocidad del marco de referencia del observador.
1.4.B.2.i Combinar el movimiento de un objeto y el movimiento de un observador en un marco de referencia dado implica la suma o resta de vectores.
1.4.B.2.ii La aceleración de cualquier objeto es la misma cuando se mide desde todos los marcos de referencia inerciales.
Declaración de límite: A menos que se indique lo contrario, se puede asumir que el marco de referencia de cualquier problema es inercial.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Todo movimiento se mide respecto a un sistema de referencia —un punto de vista con su propio origen y ejes. El sistema que elijas determina la dirección y magnitud de las velocidades que mides: un pasajero caminando hacia adelante a 1 m/s dentro de un tren que se mueve a 30 m/s se desplaza a 31 m/s respecto al suelo.
Las mediciones en un sistema se convierten a otro mediante suma vectorial o resta:
$$\vec{v}_{A/C}=\vec{v}_{A/B}+\vec{v}_{B/C}.$$
Lee los subíndices como una cadena: "A relativo a B" más "B relativo a C" da como resultado "A relativo a C". También aplica para $\vec{v}_{B/A}=-\vec{v}_{A/B}$. Esto se utiliza en problemas de movimiento relativo como barcos cruzando ríos, aviones en viento y pasajeros en vehículos en movimiento.
Un sistema de referencia inercial es aquel que no está acelerando. Los observadores en diferentes sistemas inerciales miden diferentes velocidades pero la misma aceleración para un objeto, ya que la velocidad constante del sistema se cancela al derivar. A menos que se indique lo contrario, asume que tu sistema es inercial.
Ejemplo resuelto (cruzando directamente). Un bote se mueve a $5.0\ \text{m/s}$ respecto al agua. El río fluye a $3.0\ \text{m/s}$ y tiene 80 m de ancho. El piloto desea llegar directamente al otro lado.
El bote debe apuntar parcialmente aguas arriba para que la componente aguas arriba de su velocidad cancele la corriente: esto ocurre cuando $5.0\sin\theta=3.0$, resultando en un ángulo de $\theta=37^\circ$ aguas arriba del cruce directo.
Su velocidad transversal es de $5.0\cos37^\circ=4.0$ m/s, y el cruce tarda $\dfrac{80}{4.0}=20$ s.
Si en cambio hubiera apuntado directamente, habría tardado $\dfrac{80}{5.0}=16$ s en cruzar pero habría llegado $3.0\times16=48$ m aguas abajo.
Para cruzar directamente, el bote apunta aguas arriba: su velocidad relativa al agua más la velocidad del agua relativa al suelo resulta en un movimiento perpendicular
Explorar
Velocidad relativa
Sumar la velocidad de un bote cruzando un río a la velocidad de la corriente para obtener su velocidad relativa a la orilla.
1.5
Movimiento en Dos o Tres Dimensiones
Syllabus
Objetivo de aprendizaje 1.5.A: Describir el movimiento de un objeto que se mueve en dos o tres dimensiones.
1.5.A.1 El movimiento en dos o tres dimensiones puede analizarse utilizando las relaciones cinemáticas unidimensionales si el movimiento se separa en componentes.
1.5.A.2 La velocidad y la aceleración pueden ser diferentes en cada dimensión y pueden no ser uniformes.
1.5.A.3 El movimiento en una dimensión puede modificarse sin causar un cambio en una dimensión perpendicular.
1.5.A.4 El movimiento de proyectiles es un caso especial del movimiento bidimensional que presenta aceleración nula en una dimensión y aceleración constante y distinta de cero en la segunda dimensión.
Enunciado del límite: AP Physics C: Mechanics solo espera que los estudiantes analicen cuantitativamente el movimiento de un objeto en dos dimensiones. AP Physics C: Electricity and Magnetism espera que los estudiantes también describan cualitativamente el movimiento de una partícula en tres dimensiones.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
En dos o tres dimensiones, la posición es un vector $\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$, y la velocidad y la aceleración son sus derivadas sucesivas. El movimiento se analiza dividiéndolo en componentes y tratando cada uno con cinemática unidimensional de forma independiente:
la velocidad y la aceleración pueden ser diferentes en cada dirección, y no necesitan ser constantes;
un cambio en una dirección no altera el movimiento en una dirección perpendicular: una bala caída y otra disparada horizontalmente desde la misma altura impactan el suelo al mismo tiempo.
Ejemplo resuelto (cálculo en 2D).$\vec{r}(t)=\big(2t^2\big)\hat{i}+\big(4t-t^3\big)\hat{j}$ (metros). Diferenciando cada componente: $\vec{v}=4t\,\hat{i}+(4-3t^2)\,\hat{j}$ y $\vec{a}=4\,\hat{i}-6t\,\hat{j}$. En $t=1\ \text{s}$: $\vec{v}=4\hat{i}+1\hat{j}$, por lo que la rapidez es $\sqrt{17}\approx4.1\ \text{m/s}$ —sin física nueva, solo una derivada por componente.
Para el movimiento de proyectiles ideal bajo gravedad uniforme con resistencia del aire despreciada, la aceleración es cero horizontalmente y constante verticalmente: $a_x=0$ (velocidad horizontal constante) y $a_y=-g$. Los dos movimientos están ligados únicamente por el tiempo $t$, y la trayectoria es una parábola.
Ejemplo resuelto (lanzamiento sobre terreno nivelado). Una pelota se lanza a $20\ \text{m/s}$, $30^{\circ}$ por encima de la horizontal ($g=10\ \text{m/s}^2$). Las componentes son $v_{0x}=20\cos30^{\circ}=17.3\ \text{m/s}$ y $v_{0y}=20\sin30^{\circ}=10\ \text{m/s}$. El movimiento vertical determina el tiempo: vuelo total $=\dfrac{2v_{0y}}{g}=\dfrac{20}{10}=2.0\ \text{s}$, altura máxima $=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=5.0\ \text{m}$, y alcance $=v_{0x}\times2.0=35\ \text{m}$.
Un proyectil lanzado en ángulo: componentes de velocidad, altura máxima y alcance
Ejemplo resuelto (lanzamiento desde una altura). Una pelota rueda fuera de una mesa de 1.25 m de altura a 3.0 m/s. ¿A qué distancia de la mesa aterriza y a qué velocidad se mueve?
Vertical: $1.25=\tfrac12(10)t^2$, por lo tanto $t=0.50$ s.
Horizontal: $x=3.0\times0.50=1.5$ m.
Al aterrizar $v_x=3.0$ m/s y $v_y=-10\times0.50=-5.0$ m/s, por lo tanto $v=\sqrt{3.0^2+5.0^2}=5.8$ m/s a $\tan^{-1}(5.0/3.0)=59^\circ$ por debajo de la horizontal.
Explorar
Explorar el movimiento de proyectiles
Lanza el proyectil, luego varía el ángulo y la velocidad. El movimiento horizontal es constante mientras la gravedad actúa solo hacia abajo; juntos trazan una parábola. Encuentra el ángulo que da el mayor alcance (alcanza su pico cerca de $45^\circ$), e intenta con la Luna.
1.5
Practice
Responda cada pregunta antes de leer las respuestas siguientes.
Una partícula se mueve con $x(t) = 2t^3 - 6t^2 + 4$ (m, s). Calcula $v(t)$ y $a(t)$, los instantes en que está en reposo y su aceleración en el último de esos instantes.
Una partícula tiene $a(t) = 6t$ m/s², $v(0) = 2$ m/s y $x(0) = 0$. Calcula $v$ y $x$ en $t = 2$ s.
Se lanza una pelota horizontalmente a $15$ m/s desde un acantilado de $20$ m de altura. Calcula el tiempo de vuelo y la distancia horizontal.
Una embarcación se dirige exactamente hacia el norte a $4$ m/s con respecto al agua para cruzar un río de $80$ m de ancho que fluye hacia el este a $3$ m/s. Calcula su rapidez con respecto al suelo, el tiempo de cruce y la distancia río abajo a la que llega.
La velocidad de un carrito aumenta uniformemente de $0$ a $10$ m/s en $5$ s y luego permanece constante durante $5$ s. Calcula su desplazamiento.
1.5
Respuestas
$v = 6t^2 - 12t$, $a = 12t - 12$. En reposo cuando $6t(t - 2) = 0$: $t = 0$ y $t = 2$ s. $a(2) = 12$ m/s².
$v = 3t^2 + 2$, por lo que $v(2) = 14$ m/s. $x = t^3 + 2t$, por lo que $x(2) = 12$ m.
Área bajo la gráfica de $v$-$t$: $\tfrac12(5)(10) + 5(10) = 75$ m.
1.5
Consejos para el examen
Resuelve todo vector en componentes antes de sumarlo – nunca sumes magnitudes directamente en un ángulo.
En Physics C se espera que utilices cálculo: la velocidad es $\vec v=\tfrac{d\vec r}{dt}$ y la aceleración $\vec a=\tfrac{d\vec v}{dt}$; invierte usando integración e incluye las condiciones iniciales.
Usa $g\approx10\ \text{m/s}^2$ a menos que se indique lo contrario.
Verifica y conserva las unidades y trata la dirección con signos (elige un eje positivo y mantente fiel a él).
Lee las gráficas en ambos sentidos: la pendiente da la siguiente derivada y el área da el cambio en la magnitud anterior.
En problemas de movimiento relativo, escribe la cadena de subíndices $\vec v_{A/C}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/C}$ antes de sustituir.
Usa el producto punto para cantidades tipo trabajo y el producto cruz para torque y momento angular (unidades posteriores).
Haz un boceto de los vectores – un diagrama capta errores de signo y dirección que el álgebra oculta.
Errores comunes
Olvidar la constante de integración. $v(t) = v_0 + \int_0^t a(t\prime)\,dt\prime$ y $x(t) = x_0 + \int_0^t v(t\prime)\,dt\prime$: las condiciones iniciales deben estar en la respuesta.
Calcular la velocidad promedio a partir de la distancia total. La velocidad promedio es desplazamiento sobre tiempo; la distancia da la rapidez promedio.
Decir que un proyectil tiene velocidad cero en la parte superior. Solo $v_y$ es cero; $v_x$ permanece invariable durante todo el trayecto.
Usar las ecuaciones de aceleración constante cuando $a$ depende del tiempo. Deriva o integra en su lugar.
Sumar velocidades relativas como números escalares. $\vec v_{A/G} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/G}$ es una suma vectorial; dibuja el triángulo.
Pensar que velocidad cero implica aceleración cero. En la parte superior de un lanzamiento vertical $v=0$ pero $a=-g$.
