Trabajo, energía y potencia

AP Física C: Mecánica · Tema 3

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3.1

Energía Cinética de Traslación

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 3.1.A: Describir la energía cinética traslacional de un objeto en términos de la masa y la velocidad del mismo.

3.1.A.1 La energía cinética traslacional de un objeto viene dada por la ecuación
- Ecuación: $K = \dfrac{1}{2}mv^2$
3.1.A.2 La energía cinética traslacional es una cantidad escalar.
3.1.A.3 Diferentes observadores pueden medir diferentes valores de la energía cinética traslacional de un objeto, dependiendo del sistema de referencia del observador.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La energía cinética 动能 es la energía del movimiento, una magnitud escalar 标量 medida en jules 焦耳 (J):

$$K=\tfrac{1}{2}mv^2.$$

Aumenta con el cuadrado de la velocidad: duplicar la velocidad cuadruplica $K$. Un matiz importante a conocer: la energía cinética depende del sistema de referencia 参考系 del observador. Un pasajero caminando por un tren tiene una pequeña $K$ medida desde dentro del tren y una enorme medida desde el suelo; ambos observadores tienen razón, cada uno en su propio marco de referencia.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/	动能	dòng néng
scalar/ˈskeɪlə/	标量	biāo liàng
joules/dʒuːlz/	焦耳	jiāo ěr
reference frame/ˈrefrəns freɪm/	参考系	cān kǎo xì

3.2

Trabajo

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 3.2.A: Describir el trabajo realizado sobre un objeto o sistema por una fuerza dada o por un conjunto de fuerzas.

3.2.A.1 El trabajo es la cantidad de energía transferida hacia adentro o hacia afuera de un sistema mediante una fuerza ejercida sobre ese sistema a lo largo de una distancia.
- 3.2.A.1.i El trabajo realizado por una fuerza conservativa ejercida sobre un sistema es independiente de la trayectoria y depende únicamente de las configuraciones inicial y final del sistema.
- 3.2.A.1.ii El trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un sistema —o el cambio en la energía potencial del sistema— será cero si el sistema regresa a su configuración inicial.
- 3.2.A.1.iii Las energías potenciales están asociadas únicamente con fuerzas conservativas.
- 3.2.A.1.iv El trabajo realizado por una fuerza no conservativa depende de la trayectoria.
- 3.2.A.1.v Las fuerzas no conservativas más comunes son la fricción y la resistencia del aire.
3.2.A.2 El trabajo es una magnitud escalar que puede ser positiva, negativa o cero.
3.2.A.3 El trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza variable se calcula mediante
- Ecuación: $W = \displaystyle\int_a^b \vec{F}(r) \cdot d\vec{r}$, donde la integral se toma a lo largo de la trayectoria desde el punto $a$ hasta el punto $b$.
- 3.2.A.3.i El producto punto entre dos vectores, $\vec{A}$ y $\vec{B}$, resulta en una magnitud escalar dada por $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$.
- 3.2.A.3.ii Solo el componente de la fuerza ejercida sobre un sistema que es paralelo al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza cambiará la energía total del sistema.
- 3.2.A.3.iii Si el componente de la fuerza ejercida sobre un sistema que es paralelo al desplazamiento es constante, el trabajo realizado sobre el sistema por la fuerza está dado por la ecuación derivada $W = F_{\parallel}d = Fd\cos\theta$.
- 3.2.A.3.iv El componente de la fuerza ejercida sobre un sistema perpendicular a la dirección del desplazamiento del centro de masa del sistema puede cambiar la dirección del movimiento del sistema sin alterar su energía cinética.
3.2.A.4 El teorema del trabajo y la energía establece que el cambio en la energía cinética de un objeto es igual a la suma del trabajo (trabajo neto) realizado por todas las fuerzas exertidas sobre el objeto.
- Ecuación: $\Delta K = \displaystyle\sum W_i = \sum F_{\parallel,i}\, d_i$
- 3.2.A.4.i Una fuerza externa puede cambiar la configuración de un sistema. El componente de la fuerza externa paralelo al desplazamiento multiplicado por el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza da como resultado el cambio en la energía cinética del sistema.
- 3.2.A.4.ii Si el centro de masa del sistema y el punto de aplicación de la fuerza se desplazan la misma distancia cuando se ejerce una fuerza sobre un sistema, entonces el sistema puede modelarse como un objeto, y solo la energía cinética del sistema puede cambiar.
- 3.2.A.4.iii La energía disipada por la fricción suele equipararse a la fuerza de fricción multiplicada por la longitud de la trayectoria sobre la cual se ejerce la fuerza.
  - Ecuación: $\Delta E_{\text{mech}} = F_f d\cos\theta$
- 3.2.A.5 El trabajo es igual al área bajo la curva de un gráfico de $F_{\parallel}$ en función del desplazamiento.

Enunciado de límite: AP Physics C: Mechanics solo espera que los estudiantes analicen la transferencia de energía mecánica, aunque deben estar conscientes de que la energía mecánica puede disiparse en forma de energía térmica o sonido.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El trabajo 功 es la energía transferida hacia o fuera de un sistema mediante una fuerza que actúa sobre una distancia. Para una fuerza variable, es una integral 积分 a lo largo de la trayectoria:

$$W=\int_a^b \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int F\cos\theta\,dr.$$

Para una fuerza constante, esto se reduce a $W=Fd\cos\theta$; en una gráfica de fuerza contra posición, el trabajo es el área bajo la curva. El trabajo es un escalar con signo, y ese signo es física, no contabilidad:

Positivo – la fuerza tiene una componente a lo largo del movimiento (acelera al objeto).
Negativo – la fuerza se opone al movimiento (fricción 摩擦力 y la resistencia del aire realizan trabajo negativo).
Cero – la fuerza es perpendicular al movimiento (la fuerza normal 法向力 sobre un bloque deslizante, la gravedad en un movimiento horizontal, la tensión en un balanceo circular).

Solo la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento realiza trabajo

El teorema del trabajo y la energía 动能定理 recopila la contribución de todas las fuerzas: el trabajo neto es igual al cambio en la energía cinética,

$$W_{\text{net}}=\sum W_i=\Delta K.$$

Ejemplo resuelto. Una fuerza variable $F(x)=3x^2\ \text{N}$ (a lo largo del movimiento) actúa desde $x=0$ hasta $x=2\ \text{m}$: $W=\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx=\big[x^3\big]_0^2=8\ \text{J}$. Actuando sola sobre un cuerpo que parte del reposo, elevaría la energía cinética exactamente a $8\ \text{J}$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Work/wɜːk/	功	gōng
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn
friction/ˈfrɪkʃn/	摩擦力	mó cā lì
normal force/ˈnɔːml fɔːs/	法向力	fǎ xiàng lì
work–energy theorem/wɜːk ˈenədʒi ˈθɪərəm/	动能定理	dòng néng dìng lǐ

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3.3

Energía Potencial

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 3.3.A: Describir la energía potencial de un sistema.

3.3.A.1 Un sistema compuesto por dos o más objetos tiene energía potencial si los objetos dentro de ese sistema solo interactúan entre sí a través de fuerzas conservativas.
3.3.A.2 La energía potencial es una cantidad escalar asociada con la posición de los objetos dentro de un sistema.
3.3.A.3 La definición de energía potencial cero para un sistema dado es una decisión tomada por el observador considerando la situación para simplificar o de otra manera facilitar el análisis.
3.3.A.4 La relación entre las fuerzas conservativas que actúan sobre un sistema y su energía potencial es
- Ecuación: $\Delta U = -\displaystyle\int_a^b \vec{F}_{cf}(r) \cdot d\vec{r}$
3.3.A.5 Las fuerzas conservativas que actúan sobre un sistema en una sola dimensión pueden determinarse utilizando la pendiente de la energía potencial del sistema con respecto a la posición en esa dimensión; estas fuerzas apuntan en la dirección de disminución de la energía potencial.
- Ecuación: $F_x = -\dfrac{dU(x)}{dx}$
3.3.A.6 Los gráficos de la energía potencial de un sistema en función de su posición pueden ser útiles para determinar propiedades físicas de dicho sistema.
- 3.3.A.6.i El equilibrio estable es una ubicación en la cual un pequeño desplazamiento en la posición de un objeto resulta en una fuerza ejercida sobre el objeto opuesta a la dirección del pequeño desplazamiento, acelerando al objeto de vuelta hacia la posición de equilibrio.
- 3.3.A.6.ii El equilibrio inestable es una ubicación en la cual un pequeño desplazamiento en la posición de un objeto resulta en una fuerza ejercida sobre el objeto en la misma dirección que el pequeño desplazamiento, acelerando al objeto alejándose de la posición de equilibrio.
- 3.3.A.6.iii En una dimensión dada, las posiciones de equilibrio estable existen en lugares donde la energía potencial como función de la posición en esa dimensión tiene un mínimo local.
- 3.3.A.6.iv En una dimensión dada, las posiciones de equilibrio inestable ocurren en lugares donde la energía potencial como función de la posición en esa dimensión tiene un máximo local.
3.3.A.7 La energía potencial de sistemas físicos comunes puede describirse utilizando las propiedades físicas de dicho sistema.
- 3.3.A.7.i La energía potencial elástica de un resorte ideal está dada por la siguiente ecuación, donde $\Delta x$ es la distancia que el resorte se ha estirado o comprimido desde su longitud de equilibrio.
  - Ecuación: $U_s = \dfrac{1}{2}k(\Delta x)^2$
- 3.3.A.7.ii La forma general para la energía potencial gravitatoria de un sistema que consiste en dos distribuciones de masa aproximadamente esféricas (p. ej., lunas, planetas o estrellas) está dada por la ecuación
  - Ecuación: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
- 3.3.A.7.iii Debido a que el campo gravitatorio cerca de la superficie de un planeta es casi constante, el cambio en la energía potencial gravitatoria en un sistema que consiste en un objeto de masa $m$ y un planeta con un campo gravitatorio de magnitud $g$ cuando el objeto está cerca de la superficie del planeta puede aproximarse mediante la ecuación
  - Ecuación: $\Delta U_g = mg\Delta y$
3.3.A.8 La energía potencial total de un sistema que contiene más de dos objetos es la suma de la energía potencial de cada par de objetos dentro del sistema.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La energía potencial 势能 es la energía que almacena un sistema debido a la posición de sus partes; existe solo para fuerzas conservativas 保守力, cuyo trabajo es independiente de la trayectoria. Se define mediante el trabajo:

$$\Delta U=-\int_a^b\vec{F}\cdot d\vec{r},$$

y tienes libertad para elegir dónde $U=0$; solo importan los cambios en $U$, así que elige el cero que haga el problema más simple. Los resultados estándar son:

Gravedad cerca de una superficie: $\Delta U_g=mg\,\Delta y$.
Gravedad en general: $U_g=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}$ (cero a separación infinita).
Resorte: $U_s=\tfrac12k(\Delta x)^2$, con $\Delta x$ medido desde la longitud natural.

Para sistemas de varios objetos, suma la energía potencial de cada par. Invertiendo la definición, una fuerza conservativa es menos la derivada 导数 de su energía potencial:

$$F_x=-\frac{dU}{dx}.$$

La fuerza apunta "cuesta abajo" en la curva de $U(x)$. El equilibrio se encuentra donde la pendiente es cero: un mínimo es un equilibrio estable 稳定平衡 (si se desplaza, la fuerza empuja de vuelta), un máximo es un equilibrio inestable 不稳定平衡 (si se desplaza, la fuerza empuja lejos).

En una curva de energía potencial, la fuerza apunta hacia abajo y E = U marca los puntos de giro — En una curva de energía potencial, la fuerza apunta cuesta abajo y E = U marca los puntos de retorno

Ejemplo resuelto. Dado $U(x)=2x^3-6x$ (jules), la fuerza es $F=-\dfrac{dU}{dx}=6-6x^2$. Los equilibrios están en $F=0$: $x=\pm1$. Dado que $\dfrac{d^2U}{dx^2}=12x$ es positivo en $x=+1$ (un mínimo – estable) y negativo en $x=-1$ (un máximo – inestable), los dos puntos se comportan de manera opuesta.

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Almacenar energía potencial elástica en un resorte

Estirar un resorte almacena energía potencial elástica $\tfrac12 kx^2$ — el área bajo la línea de fuerza-extensión. Libéralo y esa energía se convierte en cinética.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Potential energy/pəˈtenʃl ˈenədʒi/	势能	shì néng
conservative forces/kənˈsɜːvətɪv ˈfɔːsɪz/	保守力	bǎo shǒu lì
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	导数	dǎo shù
stable equilibrium/ˈsteɪbl ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	稳定平衡	wěn dìng píng héng
unstable equilibrium/ʌnˈsteɪbl ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	不稳定平衡	bù wěn dìng píng héng
Mechanical energy/mɪˈkænɪkl ˈenədʒi/	机械能	jī xiè néng
nonconservative forces/ˌnɒŋkənˈsɜːvətɪv ˈfɔːsɪz/	非保守力	fēi bǎo shǒu lì
thermal energy/ˈθɜːml ˈenədʒi/	热能	rè néng
turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/	转折点	zhuǎn zhé diǎn

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3.4

Conservación de la Energía

Syllabus

Objetivo de Aprendizaje 3.4.A: Describir las energías presentes en un sistema.

3.4.A.1 Un sistema compuesto únicamente por un solo objeto solo puede tener energía cinética.
3.4.A.2 Un sistema que contiene objetos que interactúan mediante fuerzas conservativas o que puede cambiar su forma de manera reversible puede tener tanto energía cinética como potencial.

Objetivo de Aprendizaje 3.4.B: Describir el comportamiento de un sistema utilizando los principios de conservación de la energía mecánica.

3.4.B.1 La energía mecánica es la suma de las energías cinéticas y potenciales de un sistema.
3.4.B.2 Cualquier cambio en un tipo de energía dentro de un sistema debe estar equilibrado por un cambio equivalente de otros tipos de energías dentro del sistema o por una transferencia de energía entre el sistema y sus alrededores.
3.4.B.3 Se puede seleccionar un sistema tal que la energía total de ese sistema sea constante.
3.4.B.4 Si la energía total de un sistema cambia, ese cambio será equivalente a la energía transferida hacia o fuera del sistema.

Objetivo de Aprendizaje 3.4.C: Describir cómo la selección de un sistema determina si la energía de ese sistema cambia.

3.4.C.1 La energía se conserva en todas las interacciones.
3.4.C.2 Si el trabajo realizado sobre un sistema seleccionado es cero y no hay interacciones no conservativas dentro del sistema, la energía mecánica total del sistema es constante.
3.4.C.3 Si el trabajo realizado sobre un sistema seleccionado es distinto de cero, hay transferencia de energía entre el sistema y el entorno.

Declaración de límite: AP Physics C: Mecánica espera que los estudiantes sepan que la energía mecánica puede disiparse como energía térmica o sonido debido a fuerzas no conservativas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Conservación de energía: KE ⇄ PE

La energía se conserva en todas las interacciones; la pregunta es solo adónde va. La energía mecánica 机械能 es la suma $E=K+U$. Si el trabajo externo sobre un sistema es cero y nada en su interior actúa a través de fuerzas no conservativas 非保守力, entonces

$$K_1+U_1=K_2+U_2.$$

Cuando actúan fricción o resistencia, convierten la energía mecánica en energía térmica 热能 ($\Delta E_{\text{mech}}=-F_fd$), y el balance debe incluir ese término. Si se realiza trabajo externo, la energía total del sistema cambia exactamente en la cantidad transferida: $W_{\text{ext}}=\Delta E_{\text{sys}}$. Elegir el sistema es elegir la contabilidad; un solo objeto solo puede tener energía cinética; incluye la Tierra o el resorte y el sistema también puede almacenar energía potencial.

Un péndulo intercambia energía potencial gravitatoria por energía cinética y viceversa

Una gráfica de energía potencial es un mapa completo del movimiento: la línea horizontal a altura $E$ es la energía total, la diferencia $E-U(x)$ es la energía cinética en cada $x$, y los cruces $E=U$ son los puntos de retorno 转折点 donde el objeto se detiene momentáneamente e invierte su dirección.

Ejemplo resuelto. Un bloque $2.0\ \text{kg}$ se desliza por una rampa partiendo del reposo desde una altura $1.5\ \text{m}$, llegando a la base con una velocidad de $4.0\ \text{m/s}$. Contabilidad energética: $mgh=29.4\ \text{J}$ disponible inicialmente; $\tfrac12mv^2=16\ \text{J}$ llega como energía cinética; por lo tanto, la fricción convirtió $29.4-16=13\ \text{J}$ en energía térmica durante el trayecto.

Una montaña rusa intercambia energía adelante y atrás: máxima (mayor PE) en la cima, más rápida (mayor KE) en la base — Un carrusel intercambia energía constantemente: mayor (más PE) en la cima, más rápido (más KE) en la base

Explorar

Observar la conversión de energía cuando un objeto cae

Sin fricción, la energía mecánica se conserva: a medida que un objeto cae, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética mientras el total permanece fijo.

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3.5

Potencia

Syllabus

Objetivo de aprendizaje 3.5.A: Describir la transferencia de energía hacia, desde o dentro de un sistema en términos de potencia.

3.5.A.1 La potencia es la tasa a la que cambia la energía con respecto al tiempo, ya sea mediante transferencia hacia o desde un sistema o por conversión de un tipo a otro dentro de un sistema.
3.5.A.2 La potencia promedio es la cantidad de energía que se transfiere o convierte, dividida por el tiempo que tomó ocurrir dicha transferencia o conversión.
- Ecuación: $P_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
3.5.A.3 Debido a que el trabajo es el cambio en la energía de un objeto o sistema debido a una fuerza, la potencia promedio es el trabajo total realizado, dividido por el tiempo durante el cual se realizó ese trabajo.
- Ecuación: $P_{\text{avg}} = \dfrac{W}{\Delta t}$
3.5.A.4 La potencia instantánea entregada a un objeto por una fuerza está dada por la ecuación
- Ecuación: $P_{\text{inst}} = \dfrac{dW}{dt}$
3.5.A.5 La potencia instantánea entregada a un objeto por la componente de una fuerza constante paralela a la velocidad del objeto puede describirse con la ecuación derivada
- Ecuación: $P_{\text{inst}} = F_{\parallel}v = Fv\cos\theta$

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Potencia 功率 es la tasa de transferencia de energía, medida en vatios 瓦特 (W):

$$P_{\text{avg}}=\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{W}{\Delta t},\qquad P_{\text{inst}}=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot\vec{v}.$$

Mide qué tan rápido se realiza un trabajo, no cuánto trabajo se hace. El producto punto es relevante: solo la componente de la fuerza en la dirección de la velocidad aporta potencia.

La potencia es la pendiente de la gráfica de trabajo-tiempo: el mismo trabajo en menos tiempo significa más potencia

Ejemplo resuelto. Un bloque liberado desde el reposo en la parte superior de una rampa sin fricción de altura $3.0\ \text{m}$ alcanza la base con una velocidad de $v=\sqrt{2gh}=7.7\ \text{m/s}$ (calculado a partir de $mgh=\tfrac12mv^2$). Un motor que luego lo impulsa a una velocidad constante de $7.7\ \text{m/s}$ contra una resistencia de $20\ \text{N}$ entrega una potencia de $P=Fv=20(7.7)\approx150\ \text{W}$.

Ejemplo resuelto. Un automóvil de masa $1200\ \text{kg}$ asciende una colina que sube $1.0\ \text{m}$ por cada $20\ \text{m}$ de carretera, manteniendo una velocidad constante de $15\ \text{m/s}$. El motor debe suplir la potencia consumida por la gravedad: $P=mg\,v\sin\theta=1200(9.8)(15)\big(\tfrac{1}{20}\big)\approx8.8\ \text{kW}$ – antes de considerar la resistencia del aire.

Habilidad para exámenes. Las preguntas de respuesta libre (FRQ) sobre energía premian la oración de contabilidad: nombra tu sistema, indica qué fuerzas realizan trabajo sobre él y establece el balance ($W_{\text{ext}}=\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{thermal}}$) antes de sustituir los valores numéricos. La frase "Está presente la fricción, por lo tanto la energía mecánica no se conserva" es una afirmación calificable.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Power/ˈpaʊə/	功率	gōng lǜ
watts/wɒts/	瓦特	wǎ tè

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3.5

Consejos para el examen

Aplica el teorema del trabajo y la energía $W_{net}=\Delta KE$ y calcula el trabajo como $W=\int \vec F\cdot d\vec r$ para una fuerza variable.
Lee el valor del trabajo en una gráfica de fuerza-posición como el área bajo la curva.
Distingue entre potencia $P=\tfrac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v$ instantánea y promedio; presta atención a esta distinción.
Descompón las fuerzas en conservativas (definen una energía potencial) y no conservativas (disipan energía).
Elige métodos energéticos sobre cinemáticos cuando la fuerza varía o la trayectoria es compleja.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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