Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero 2026. Los casos de aula aquí no constituyen un formulario oficial de ACT.
- Identificar e interpretar formas estándar de círculo, elipse, parábola e hipérbola
- Usar relaciones de ángulo, tangente y secante del círculo bajo sus condiciones
- Calcular área, área superficial o volumen con la dimensión y unidades correctas
Prerrequisitos: Completar cuadrados; semiejes al cuadrado; geometría del círculo; unidades de volumen.
Explicar y elegir el método
Un círculo tiene la forma (x-h)²+(y-k)²=r². Una elipse usa dos términos positivos al cuadrado divididos por semiejes al cuadrado; una hipérbola tiene una diferencia de tales términos. Una parábola tiene una coordenada al cuadrado en su forma estándar alineada. En y²=4px, el vértice es el origen y el foco es (p,0); lea el signo y el eje antes de interpretar la dirección.
Para (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, el centro es (1,-2), semieje horizontal 3 y semieje vertical 2. Complete el cuadrado cuando el centro esté oculto en un círculo expandido. Los coeficientes y signos de una ecuación distinguen los tipos cónicos; un bosquejo aproximado no proporciona información algebraica faltante.
Una tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. Un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco. Para dos secantes desde un mismo punto exterior, el segmento externo multiplicado por la secante completa es igual para ambas; el cuadrado de la longitud de la tangente es igual a ese producto. La longitud total incluye la parte externa, así que no multiplique solo la parte externa e interna.
Separe medidas de frontera de medidas de espacio. La circunferencia del círculo es 2πr y el área πr²; el volumen del cilindro es πr²h; el volumen del cono es πr²h/3; el volumen de la esfera es 4πr³/3. El área superficial suma las caras expuestas. Si todas las longitudes correspondientes se escalan por k, el área se escala por k² y el volumen por k³; cambiar solo una dimensión requiere la fórmula original.
Una elipse $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ tiene centro $(h,k)$. Los semiejes son raíces cuadradas de los denominadores positivos. Una parábola $y^2=4px$ tiene foco $(p,0)$ y directriz $x=-p$. Distinga estas ecuaciones de una hipérbola con una diferencia de cuadrados.
Worked example. The ellipse (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 has horizontal endpoints (-2,-2) and (4,-2). y²=8x has p=2 and focus (2,0). Secants with outside/whole lengths 3/12 and 4/9 both have product 36, so a tangent from the same point has length 6. A cone radius 3, height 8 has volume 24π.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Para $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$, indique centro, semiejes horizontal y vertical, y cuatro extremos del eje. Para $y^2=-12x$, indique vértice y foco.
Razonamiento. Centro es $(-2,1)$, semiejes 5 y 3, extremos $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. En la parábola, $4p=-12$, entonces $p=-3$; vértice $(0,0)$, foco $(-3,0)$.
Práctica 2
Desde un punto exterior, una tangente tiene longitud 6 cm. Una secante tiene segmento externo 4 cm. Encuentre sus longitudes total e interna.
Razonamiento. Use la relación tangente-secante $t^2=ew$. Reorganice $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. La longitud interna es $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. El producto usa la longitud total, no solo la interna.
Práctica 3
Un contenedor cilíndrico tiene radio 3 cm y altura 8 cm. Calcule su volumen y área superficial total cerrada. ¿Qué sucede a cada uno si cada longitud se duplica?
Razonamiento. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Duplicar todas las longitudes multiplica el volumen por 8 y el área por 4.
Práctica 4
Clasificar $x^2/16-y^2/9=1$ y $x^2+y^2=16$. Hallar la circunferencia y el área del círculo. Para dos secantes desde un mismo punto exterior, una tiene longitudes externa/total de 3/12 cm y la otra longitud externa de 4 cm: hallar sus longitudes total e interna.
Razonamiento. La diferencia de términos al cuadrado define una hipérbola centrada en el origen. La suma con coeficientes iguales define un círculo de radio 4. Su circunferencia es $C=2\pi r=8\pi$ y su área $A=\pi r^2=16\pi$ en unidades de longitud y área coordenadas respectivamente. Los productos de secantes coinciden: $e_1w_1=e_2w_2$. Por lo tanto $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; la longitud interna es $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Externo por interno aplicaría la relación incorrecta.
Límites y próximo uso
Tome raíces cuadradas para radios y semiejes; use longitudes totales de secantes y unidades cúbicas para volúmenes.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.