Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero 2026. Los casos de aula aquí no constituyen un formulario oficial de ACT.
- Transforme coordenadas distinguiendo movimientos rígidos de dilataciones
- Use distancia, punto medio y pendiente como evidencia geométrica
- Utilice congruencias válidas y relaciones angulares en lugar de la apariencia del diagrama
Prerrequisitos: Diferencias de coordenadas; congruencia de triángulos; ángulos sobre líneas paralelas.
Explicar y elegir el método
Una traslación añade un desplazamiento a cada punto; una reflexión sobre el eje x envía (x,y) a (x,-y). Una rotación 90° antihoraria alrededor del origen envía (x,y) a (-y,x). Estos movimientos rígidos preservan longitudes y ángulos. La dilatación por factor k respecto al origen escala las coordenadas y longitudes por k cuando k es positivo, preservando la forma pero generalmente cambiando el tamaño.
La distancia entre dos puntos sigue el teorema de Pitágoras: eleve al cuadrado las diferencias de coordenadas, súmelas y saque la raíz. El punto medio promedia cada coordenada. La pendiente compara el cambio vertical y horizontal; las pendientes perpendiculares no verticales tienen producto -1. Las líneas verticales y horizontales requieren tratamiento separado en lugar de división por cero.
Un argumento geométrico parte de condiciones enunciadas o marcadas. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales; las líneas paralelas dan relaciones de ángulos correspondientes y alternos. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. SSS, SAS y ASA/AAS pueden establecer congruencia con correspondencia adecuada, mientras que dos ángulos iguales establecen semejanza pero no igualdad de tamaño.
El razonamiento de construcción usa un compás para transferir longitudes y dibujar arcos de igual radio. La intersección de arcos a igual distancia puede localizar una mediatriz; no es un punto medio adivinado desde un boceto. La evidencia coordenada puede respaldar una demostración, pero una imagen especialmente elegida no establece una afirmación general para todo triángulo.
Las movimientos rígidos preservan longitudes y ángulos. Una rotación de 90 grados antihoraria envía $(x,y)$ a $(-y,x)$ alrededor del origen. La distancia es $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Los ángulos iguales establecen similitud, pero la congruencia también fija el tamaño.
Ejemplo resuelto. El punto (2,-1) trasladado por (3,4) se convierte en (5,3); rotado 90° antihorario alrededor del origen se convierte en (1,2). Entre (1,2) y (7,10), la distancia es √(6²+8²)=10 y el punto medio (4,6). Dos triángulos con longitudes de lados correspondientes 3,4,5 son congruentes por LLL; los triángulos con ángulos iguales pueden diferir por escala.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Gire A = $(2,-3)$ por 90° antihorario alrededor del origen, luego traslade por $(4,1)$. Invierta el orden y compare los puntos finales.
Razonamiento. Gire primero a $(3,2)$, luego traslade a $(7,3)$. Trasladar primero a $(6,-2)$, luego girar a $(2,6)$. Los puntos finales difieren, por lo que el orden de la transformación importa.
Práctica 2
A = $(-1,2)$ y B = $(5,10)$ son extremos de un segmento. Encuentre su longitud, punto medio y ecuación de la mediatriz.
Razonamiento. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. Punto medio $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. La pendiente del segmento es $8/6=4/3$, por lo que la pendiente perpendicular es $-3/4$. La bisectriz es $y-6=-(3/4)(x-2)$.
Práctica 3
Dos triángulos tienen ángulos 40°,60°,80°. Uno tiene lado más largo de 9 cm; el otro de 15 cm. Indique qué se demuestra y la razón de sus áreas.
Razonamiento. Los triángulos son similares por ángulos iguales, no congruentes porque los lados más largos correspondientes difieren. La razón de longitud es $15/9=5/3$ y la razón de áreas de mayor a menor es $25/9$.
Práctica 4
Describa una construcción con compás y regla de la mediatriz del segmento AB. Proporcione una razón válida para cada punto construido, y distínguela de medir un diagrama. Luego explique qué demuestra SSS para triángulos con longitudes de lados correspondientes de 3,4,5 cm.
Razonamiento. Use el mismo radio de compás, mayor que la mitad de AB, para trazar arcos con centro en A y B que se crucen en P y Q a lados opuestos. Trace PQ. PA=PB y QA=QB por igual radio. Así, tanto P como Q pertenecen al lugar geométrico equidistante de A y B; PQ es la mediatriz. Alternativamente, use triángulos congruentes y la cuerda común para establecer perpendicularidad y bisección. Una lectura de regla en una imagen no prueba el lugar geométrico general. SSS demuestra la congruencia de los dos triángulos mencionados, fijando tamaño y forma; Pitágoras también muestra que estos triángulos particulares son rectángulos.
Práctica 5
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Un ángulo correspondiente mide 68°. Encuentre su ángulo correspondiente igual y el ángulo adyacente en la segunda línea. Explique qué condición dada justifica cada paso.
Razonamiento. El paralelismo proporciona el ángulo correspondiente igual 68°. El par adyacente forma un ángulo llano, por lo que el otro es 180°−68°=112°. Los ángulos correspondentes iguales requieren las líneas paralelas indicadas; la suma del ángulo llano usa la adyacencia sobre una línea. Un boceto similar sin paralelismo no justificaría la primera igualdad.
Límites y próximo uso
Siga el centro y orden especificados de las transformaciones. No utilice un par visualmente paralelo o perpendicular como condición establecida.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.