Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero 2026. Los casos de aula aquí no constituyen un formulario oficial de ACT.
- Interpretar amplitud, periodo y desplazamiento vertical en una regla sinusoidal
- Usa signos del círculo unitario e identidades básicas
- Elija una relación de seno, coseno o área para un triángulo general
Prerrequisitos: Radianes; razones de triángulos rectángulos; coordenadas del círculo unitario.
Explicar y elegir el método
Para un triángulo rectángulo, el seno es opuesto/hipotenusa, el coseno adyacente/hipotenusa y la tangente opuesto/adyacente respecto a un ángulo elegido. Los triángulos semejantes explican por qué estas razones dependen del ángulo y no del tamaño. En el círculo unitario, las coordenadas son (cos θ, sen θ), extendiendo las razones a otros cuadrantes con los signos correspondientes.
sin²θ+cos²θ=1 y tan θ=sin θ/cos θ cuando cos θ≠0. Para y=A sin(Bx)+D con x en radianes, la amplitud es |A|, el período es 2π/|B| y la línea media es D. Un A negativo refleja la onda; D la desplaza verticalmente. Verifique si la entrada está en radianes o grados antes de usar un intervalo de gráfica.
Para un triángulo general, la ley de cosenos c²²=a²²+b²²-2ab cos C utiliza el ángulo incluido C entre a y b. La ley de senos compara cada lado con el seno de su ángulo opuesto. El área es ab sin C/2 cuando se conocen dos lados y su ángulo incluido. Elija la relación que coincida con la información proporcionada.
No infiera un ángulo recto a partir del croquis. Una ecuación basada en el seno puede permitir más de un ángulo en un intervalo permitido; conserve la información del cuadrante y cualquier condición de suma del triángulo. Mantenga la amplitud distinta de la distancia total pico a valle, que es el doble de la amplitud.
La amplitud es la mitad de la distancia pico a valle. En $y=A\sin(Bx)+D$, es $|A|$; el período en radianes es $2\pi/|B|$. Para un triángulo no rectángulo, empareje los lados conocidos y el ángulo incluido antes de seleccionar la ley de cosenos. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Ejemplo resuelto. y=3 sin(2x)+1 tiene amplitud 3, periodo π y valores entre -2 y 4. Un triángulo con lados 5 y 7 alrededor de un ángulo de 60° tiene un tercer lado de $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ y un área de 35√3/4. A 150°, el seno es 1/2 y el coseno -√3/2.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Para entrada en radianes $y=-4\sin(2x)+3$, proporcione la amplitud, el periodo, el rango y el valor en $x=\pi/4$.
Razonamiento. La amplitud es 4, el período $2\pi/2=\pi$, el rango $-1\le y\le7$. En $x=\pi/4$, $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$. El coeficiente negativo refleja la onda; no hace que la amplitud sea negativa.
Práctica 2
Un triángulo tiene lados de 6 cm y 10 cm encerrando un ángulo de 60°. Encuentre su tercer lado y área sin asumir que es rectángulo.
Razonamiento. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, por lo tanto $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
Práctica 3
Encuentre todos los ángulos en $0^\circ\le\theta<360^\circ$ con $\sin\theta=1/2$. Para cada uno, dé el coseno y la tangente.
Razonamiento. Los ángulos miden 30 y 150 grados. Los cosenos son $\sqrt3/2$ y $-\sqrt3/2$; las tangentes son $1/\sqrt3$ y $-1/\sqrt3$. El seno es positivo en los cuadrantes I y II, por lo que una única respuesta aguda sería incompleta.
Práctica 4
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 y 12 cm. Encuentre la hipotenusa y el seno/coseno del ángulo opuesto al lado de 9 cm. Un triángulo diferente tiene ángulos de 30° y 45° y un lado de 8 cm opuesto al ángulo de 30°. Encuentre el lado opuesto al ángulo de 45°, explicando por qué la ley de senos aplica.
Razonamiento. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. Por lo tanto $\sin\theta=9/15=3/5$ y $\cos\theta=12/15=4/5$; sus cuadrados suman 1. En el segundo triángulo, un par conocido de lado-opuesto y ángulo permite $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. Por consiguiente, $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. Este triángulo no se asume rectángulo; su tercer ángulo es 105°.
Límites y próximo uso
Indique las unidades angulares e identifique el ángulo incluido. El valor más alto es la línea media más la amplitud, no solo la amplitud.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.