Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero de 2026. Los casos de aula originales no son una forma oficial; conserve los límites puntuados o probados en campo de cada formulario de origen.
- Distinguir diferencia aritmética de razón geométrica
- Encontrar un término o suma finita manteniendo la indexación consistente
- Convertir ecuaciones logarítmicas a forma exponencial en el dominio válido
Prerrequisitos: Notación de índice; reglas de exponentes; secuencias finitas.
Explicar y elegir el método
Una secuencia aritmética tiene diferencia constante d: aₙ=a₁+(n-1)d. Su suma finita es n(a₁+aₙ)/2. Una secuencia geométrica tiene razón constante r: aₙ=a₁r^(n-1). Para r≠1, la suma finita es a₁(1-rⁿ)/(1-r); cuando r=1 es simplemente n a₁. Empareja el término o total solicitado.
Un modelo exponencial A b^t representa multiplicar por b por cada unidad de tiempo indicada. Un crecimiento porcentual r usa el factor 1+r; los cambios repetidos multiplican factores en lugar de sumar porcentajes. Si la duplicación requiere varias unidades de tiempo, divide t por ese intervalo en el exponente.
Para base b>0 con b≠1, log_b(a)=c significa b^c=a y requiere a>0. Resuelve una ecuación logarítmica traduciéndola a una relación exponencial, luego verifica el argumento. Los logaritmos de productos se suman bajo argumentos positivos válidos; los logaritmos no se distribuyen sobre la suma.
Usa potencias exactas cuando estén disponibles. ACT puede probar una relación logarítmica simple sin requerir tablas numéricas de logaritmos. Una aproximación calculada debe respetar aún así la representación y el dominio de la pregunta. Mantén separados conceptualmente el índice de una secuencia, el tiempo de un modelo exponencial y el argumento de un logaritmo.
Secuencia aritmética : $a_n=a_1+(n-1)d$. Su suma es $S_n=n(a_1+a_n)/2$. Secuencia geométrica : $a_n=a_1r^{n-1}$ y $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ para $r\ne1$. Un logaritmo invierte la exponenciación: $\log_b a=c$ significa $b^c=a$, con $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
Ejemplo resuelto existente: Aritmético 4,7,10,… tiene a₅=16 y suma de los primeros cinco=5(4+16)/2=50. Geométrico 3,6,12,24 tiene suma de cuatro términos 45. log₂(x-1)=4 da x-1=16, entonces x=17, lo cual satisface x>1. Una población 50·2^(t/3) alcanza 200 después de seis unidades de tiempo.
Contexto original completo
Cada pregunta de transferencia establece todos los datos necesarios.
Práctica independiente y razonamiento verificado
Transferencia 1
Los asientos en filas sucesivas son 12,16,20,… . Encuentra la octava fila y el total en las primeras ocho filas. Establece la suposición del modelo.
Razonamiento: La diferencia constante es 4 asientos por fila. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ asientos. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ asientos. Esto asume el mismo incremento de cuatro asientos a través de las ocho filas.
Transferencia 2
Una secuencia geométrica comienza 5,15,45,… . Encuentra su quinto término y la suma de los primeros cinco términos. Explica qué cambia si la razón es 1.
Razonamiento: $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. Cuando $r=1$, la fracción tiene denominador cero y la suma correcta es $na_1$, aquí 25 para cinco términos idénticos.
Transferencia 3
Resuelve $\log_2(x-3)=5$ y explica por qué $\log_2(x+3)$ no puede dividirse generalmente en $\log_2x+\log_23$.
Razonamiento: El dominio requiere $x>3$. La forma exponencial da $x-3=32$, entonces $x=35$ y el argumento es positivo. La suma de logaritmos corresponde al producto $3x$, no $x+3$; en $x=1$, la igualdad propuesta igualaría 2 con $\log_23$.
Transferencia 4
Un modelo de cultura comienza con 120 células y crece por un factor de 1.5 cada dos horas. Escribe $N(t)$ para horas $t$, encuentra $N(4)$, y distingue el factor del crecimiento porcentual.
Razonamiento: $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ células. $N(4)=120(1.5)^2=270$ células. El crecimiento es 50% cada dos horas, no 150%; el factor de cuatro horas es 2.25. El factor horario sería $\sqrt{1.5}$.
Límites y próximo uso
No usar n en lugar de n-1 para el término n-ésimo, confundir una suma finita con su último término, ni expandir log(a+b) como log a + log b.
Todas las tareas aquí son prácticas originales públicas con orientación redactada. No son preguntas oficiales ni diagnósticos nuevos. Las pruebas y simulacros existentes protegidos permanecen separados.