Alcance y requisitos previos
Marco ACT, revisión de febrero 2026. Los casos de aula aquí no constituyen un formulario oficial de ACT.
- Evaluar y convertir entre reglas de función, tablas y gráficos
- Rastrear el orden de entrada y el dominio a través de la composición
- Restringir el dominio de la función hasta que sea uno a uno, luego encontrar su inversa
Prerrequisitos: Notación de funciones; sustitución; resolución de ecuaciones.
Explicar y elegir el método
Una función da una salida para cada entrada permitida. Una gráfica que pasa por dos puntos de salida distintos en una línea vertical no es una función de x. El dominio lista las entradas permitidas; el rango lista las salidas alcanzadas. Convierta una tabla a una regla solo cuando la relación esté respaldada, e interprete el rol de cada variable.
En f(g(x)), la función interna g actúa primero y su resultado debe estar en el dominio de f. Para f(u)=1/(u-1) y g(x)=x²+1, la composición da 1/x² y excluye x=0. La verificación del dominio corresponde a las funciones originales así como al resultado simplificado.
Un cambio de salida f(x)+k desplaza verticalmente en k; f(x-h) desplaza h unidades a la derecha. Un multiplicador exterior cambia la escala de la salida, mientras que un multiplicador interior cambia la rapidez con que la entrada alcanza puntos anteriores. Identifique un punto conocido para verificar la transformación en lugar de adivinar la dirección por el signo.
Una inversa intercambia entrada y salida y requiere una relación uno a uno en el dominio elegido. Resuelva y=f(x) para x, luego intercambie los nombres. Una cuadrática generalmente debe restringirse a un lado de su vértice. La función inversa f⁻¹ no es el recíproco 1/f. Verifique la composición en ambas direcciones sobre el dominio permitido.
La composición aplica primero la regla interna. Si $f(u)=1/(u-2)$ y $g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, con $x\ne0$. Una inversa invierte la entrada y la salida en un dominio uno a uno. Restringir $h(x)=(x-1)^2$ a $x\ge1$ antes de tomar $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
Ejemplo resuelto. f(x)=2x+3 y g(x)=x² dan f(g(x))=2x²+3, pero g(f(x))=(2x+3)². Para h(x)=(x-2)² restringida a x≥2, la inversa es 2+√x con dominio x≥0. Un desplazamiento vertical de h por 4 tiene vértice (2,4); la cuadrática sin restricciones no tendría una inversa de valor único.
Material de práctica
Cada pregunta de práctica a continuación establece todos los datos necesarios.
Práctica de razonamiento
Práctica 1
Deje $f(u)=1/(u-3)$ y $g(x)=x^2+3$. Encuentre $f(g(x))$ con dominio. Encuentre $g(f(4))$ y explique por qué estas composiciones difieren.
Razonamiento. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, excluyendo $x=0$. Para el otro orden, $f(4)=1$ y $g(1)=4$. El orden de la composición cambia tanto la operación como posiblemente el dominio; $f(g(4))=1/16$ es diferente.
Práctica 2
Restringir $h(x)=(x+2)^2$ a $x\le-2$. Encuentre su inversa, incluyendo dominio y rango. Explique por qué la rama de raíz positiva es incorrecta.
Razonamiento. Resolver $y=(x+2)^2$ con $x+2\le0$ para obtener $x=-2-\sqrt y$. Por lo tanto $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, dominio $x\ge0$, rango $y\le-2$. La rama positiva devuelve valores fuera del dominio original elegido.
Práctica 3
La gráfica de $f(x)=x^2$ se transforma en $g(x)=3f(x+4)-2$. Encuentre su vértice y rango, verificando un punto mapeado.
Razonamiento. $g(x)=3(x+4)^2-2$ tiene vértice $(-4,-2)$ y rango $y\ge-2$. El punto antiguo $(1,1)$ mapea a $(-3,1)$ porque $3(1)-2=1$; la sustitución confirma $g(-3)=1$.
Límites y próximo uso
Preserva el orden de composición y la rama inversa restringida. El superíndice -1 en la notación de función no significa un recíproco.
Estas son tareas de práctica originales escritas para este curso, no preguntas de examen oficiales.