النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- استخرج مركز الدائرة ونصف قطرها بإكمال المربع
- حول الزوايا المركزية واحسب طول القوس ومساحة القطاع
- استخدم علاقات المماس والزاوية المحاطة والدائرة الوحدة
المستلزمات: إكمال المربع؛ نصف القطر؛ الراديان؛ نسب المثلث القائم.
شرح واختيار الطريقة
الدائرة التي مركزها (h,k) ونصف قطرها r تحقق المعادلة (x-h)²+(y-k)²=r². للمعادلة الموسعة، أكمل المربع بالنسبة لـ x و y وأضف الثوابت المتوازنة إلى الطرف الآخر. يجب أن يكون الطرف الأيمن الناتج موجباً للحصول على دائرة حقيقية غير متدهورة. حافظ على تمييز نصف القطر عن مربعه.
الزاوية المركزية θ بالراديان تعطي طول القوس rθ ومساحة القطاع r²θ/2. بالدرجات، استخدم الكسر θ/360 من محيط كامل أو مساحة كاملة. الدوران الكامل هو 2π راديان=360°. تتطلب الصيغ rθ و r²θ/2 استخدام الراديان؛ وإدراج الدرجات دون تحويل يعطي مقياساً خاطئاً.
المماس عند نقطة في الدائرة عمودي على نصف القطر هناك. الزاوية المحاطة تساوي نصف الزاوية المركزية التي تقابل نفس القوس؛ والزاوية التي تقابل القطر هي زاوية قائمة. حدد القوس المشترك الفعلي والمركز قبل تطبيق هذه العبارات. الوتر ليس مماساً ولا يجب أن يكون عمودياً على نصف القطر إلا إذا أثبتت شروط إضافية ذلك.
على الدائرة الوحدة، النقطة عند الزاوية θ لها الإحداثيات (cos θ,sin θ)، لذا cos²θ+sin²θ=1. تعتمد الإشارات على الربع. بالنسبة للزوايا الحادة المتكاملة، sin θ=cos(90°-θ). استخدم المثلثات الخاصة للحصول على القيم الدقيقة: عند 30°، الجيب هو 1/2 وجيب التمام √3/2؛ عند 45° كلاهما يساوي √2/2.
أكمل مربعين في معادلة الدائرة . $x^2+y^2+6x-8y=0$ تصبح $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. المركز هو $(-3,4)$ ونصف القطر هو 5. طول القوس هو $s=r\theta$ فقط للزاوية بالراديان $\theta$.
مثال محلول. x²+y²-4x+6y-12=0 تصبح (x-2)²+(y+3)²=25، مما يعطي المركز (2,-3) ونصف القطر 5. لنصف قطر 6 وزاوية مركزية π/3، طول القوس هو 2π ومساحة القطاع 6π. زاوية محاطة على نفس القوس 60° هي 30°. عند 150°، جيب التمام هو -√3/2 وجيب 1/2 لأن النقطة تقع في الربع الثاني.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
أوجد مركز ونصف قطر $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. هل النقطة $(7,-1)$ تقع عليها؟
استنتاج. أكمل المربعات للحصول على $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. المركز $(4,-1)$، نصف القطر 3. تعويض $(7,-1)$ يعطي $3^2+0^2=9$، لذا فهي على الدائرة.
تدريب 2
قطاع له نصف قطر 8 سم وزاوية 135°. أوجد زاويته بالراديان وطول قوسه ومساحته. الزاوية المحاطة في مكان آخر على الدائرة تتقاطع مع نفس هذا القوس؛ أوجدها.
استنتاج. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ راديان. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. الزاوية المحاطة تساوي نصف الزاوية المركزية: 67.5 درجة.
تدريب 3
نقطة على الدائرة الوحدة تقع في الربع الثالث ولديها $y=-1/2$. أوجد إحداثي $x$ الخاص بها وزاوية واحدة بين 0° و 360°.
استنتاج. $x^2+y^2=1$ يعطي $x^2=3/4$. الربع الثالث يتطلب $x<0$، لذا $x=-\sqrt3/2$. النقطة تقع عند 210 درجة، مع زاوية مرجعية 30 درجة.
الحدود والاستخدام التالي
تحقق من وحدات الدرجات/الراديان وإشارات المركز وما إذا كانت الزاوية مركزية أم مسماة قبل تطبيق الصيغة.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.