النطاق والشروط المسبقة
بناءً على إطار Digital SAT. هذه المهام الورقية ليست تكيفية ولا تتنبأ بدرجة مقيسة.
- تطبيق مقياس الطول والمساحة والحجم على الأشكال المتشابهة
- استخدام زوايا الخطوط المتوازية ومجموعات المثلث لإيجاد المجهولات
- التمييز بين التشابه والتطابق والمعلومات الكافية
المقدمات: مجموع زوايا المثلث؛ فيثاغورس؛ وحدات الطول/المساحة/الحجم.
شرح واختيار الطريقة
بالنسبة للأشكال المتشابهة بمقياس طول k، تتغير الأطوال المتناظرة بمقدار k، والمساحات بمقدار k²، والأحجام بمقدار k³. تنطبق هذه القواعد عندما تتغير جميع الأبعاد المتناظرة معًا. الأسطوانة التي ضاعف نصف قطرها فقط وطولها ثابت له volume أربعة أمثال الحجم الأصلي، وليس ثمانية أمثال. حدد أي الأبعاد هي التي تم تغيير مقياسها قبل اختيار الأس power.
استخدم المقياس الهندسي الصحيح: مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع العمودي؛ وحجم الأسطوانة يساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع. المساحة السطحية تجمع الأوجه المكشوفة، بينما يقاس الحجم الفضاء المحصور. الطول المائل ليس تلقائيًا الارتفاع العمودي المطلوب في قانون المساحة. ألصق وحدات المربع أو المكعب في النتيجة.
زوايا الرأس المتقابل متساوية. بالنسبة للخطوط المتوازية المقطوعة بقاطع، تكون الزوايا المتناظرة والزوايا الداخلية البديلة متساوية، وتجمع الزوايا الداخلية في نفس الجانب يساوي 180°. مجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي 180°؛ وزاويته الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين. تعتمد هذه القواعد على التوازي المعلن أو المحدد، وليس على مظهر الرسم.
تشترك المثلثات المتشابهة في زوايا متناظرة وأضلاع متناظرة متناسبة؛ المثلثات المتطابقة لها أيضًا أطوال متناظرة متساوية. زاويتان تثبان التشابه لكنهما لا تثبان مساواة الحجم. حافظ على التناظر عند كتابة نسبة. ترتيب الضلع-الضلع-الزاوية لا يضمن التطابق عالميًا، بينما يتضمن الضلع-الزاوية-الضلع الزاوية بين الضلعين.
عامل مقياس $k$ يُغيّر كل طول نظير. $A_2=k^2A_1$ و$V_2=k^3V_1$ للأشكال المتشابهة. إذا كان $k=3/2$ و$A_1=24\,\mathrm{cm^2}$، فإن $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. تغيير بُعد واحد فقط لا يبرر قواعد التشابه هذه.
مثال محلول. مجسمان متشابهان لهما نسبة حواف 2:3، لذا تكون نسبة مساحات الأسطح 4:9 ونسبة الأحجام 8:27. حديقة مثلثة قاعدتها 12 م وطولها العمودي 5 م مساحتها 30 م². إذا كان لمثلث زوايا داخلية 48° و67°، فإن الزاوية الثالثة هي 65° والزاوية الخارجية المجاورة هي 115°=48°+67°.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
الأوعية المتشابهة لها مساحات 96 و216 سنتيمتر مربع. الحجم الأصغر هو 160 سنتيمتر مكعب. أوجد الحجم الأكبر.
التعليل. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. الحجم يستخدم التكعب: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. استخدام نسبة المساحة مباشرة سيعطي حجماً خاطئاً.
تدريب 2
مثلث قائم زواياه 13 سم ووتر 5 سم. أوجد الوتر الآخر، ومساحته، وجيب الزاوية المقابلة للوتر 5 سم.
الحجج. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
تدريب 3
زاويتان داخليتان في مثلث هما 42° و73°. أوجد الزاوية الثالثة وزاويته الخارجية المجاورة. هل تحدد تلك الزوايا وحدها جميع أطوال الأضلاع؟
الحجج. الزاوية الثالثة هي $180-42-73=65$ درجات. زاويته الخارجية المجاورة هي $180-65=115$ درجات، وهي أيضاً $42+73$. الزوايا تحدد الشكل، لا المقياس؛ يمكن للمثلثات المشابهة أن تكون أطوال أضلاعها مختلفة.
تمرين 4
قطرا مستقيم متوازيان مقطوعان بقاطع. أحد الزاويتين المتناظرتين يساوي 68°. أوجد الزاوية المتناظرة المقابلة لها والزاوية المجاورة على الخط الثاني. اشرح أي شرط معطى يبرر كل خطوة.
استنتاج. التوازي يعطي زاوية مقابلة متساوية 68°. الزاويتان المجاورتان تشكلان زاوية مستقيمة، لذا فإن الأخرى هي 180°−68°=112°. تتطلب الزوايا المقابلة المتساوية التوازي المذكور؛ بينما يعتمد مجموع الزاوية المستقيمة على الجوار على خط واحد. رسم تخطيطي مشابه الشكل بدون توازي لن يبرر المساواة الأولى.
الحدود والاستخدام التالي
استخدم k² أو k³ فقط عندما يتم تكبير الشكل بأكمله؛ لا تستنتج خطوطًا متوازية أو ارتفاعًا عموديًا من رسم غير موضح عليه علامات.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.