معادلات الدائرة، الأقواس ومثلثيات الدائرة الوحدة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | راديان |
| tangent/ˈtændʒənt/ | المماس |
قرار قبل الإجابة
- نصف قطر تربيعه 25 يعني نصف قطر 5. الإشارات في (x-2)²+(y+3)² تحدد المركز عند (2,-3).
- هدفك: استعادة مركز الدائرة ونصف قطرها بإكمال المربع.
اقرأ العلاقة
- دائرة مركزها (h,k) ونصف قطرها r تحقق المعادلة (x-h)²+(y-k)²=r². بالنسبة لمعادلة موسعة، أكمل المربع في x و y وأضف ثوابت الموازنة إلى الطرف الآخر. يجب أن يكون الطرف الأيمن الناتج موجبًا لدائرة حقيقية غير متدهورة. احتفظ بنصف القطر منفصلًا عن مربعه.
- حول الزوايا المركزية واحسب طول القوس ومساحة القطاع.
Centre and radius of (x+1)²+(y-4)²=9:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The centre signs follow x-h,y-k and radius is √9.
استخدم القاعدة المحددة
- الزاوية المركزية θ بالراديان تعطي طول القوس rθ ومساحة القطاع r²θ/2. بالدرجات، استخدم الكسر θ/360 من المحيط الكامل أو المساحة. الدورة الكاملة تساوي 2π راديان=360°. تتطلب الصيغ rθ و r²θ/2 الراديان؛ إدخال الدرجات دون تحويل يعطي مقياسًا خاطئًا.
- استخدم علاقات المماس والزاوية المسماة ودائرة الوحدة.
Radius 4 with central angle π/2 gives arc length:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
rθ=4·π/2=2π.
تحقق من الشروط
- المماس عند نقطة على الدائرة يكون عموديًا على نصف القطر هناك. الزاوية المسماة تساوي نصف الزاوية المركزية التي تقابل نفس القوس؛ الزاوية التي تقابل قطرًا هي زاوية قائمة. حدد القوس المشترك الفعلي والمركز قبل تطبيق هذه العبارات. الوتر ليس مماسًا ولا يشترط أن يكون عموديًا على نصف القطر إلا إذا أثبتت شروط إضافية ذلك.
- استخدم علاقات المماس والزاوية المسماة ودائرة الوحدة.
x²+y²-4x+6y-12=0 تصبح (x-2)²+(y+3)²=25، مما يعطي مركز (2,-3)، ونصف قطر 5. لنصف قطر 6 وزاوية مركزية π/3، طول القوس هو 2π ومساحة القطاع 6π. الزاوية المسماة على نفس القوس 60° هي 30°. عند 150°، جيب التمام هو -√3/2 وجيب 1/2 لأن النقطة تقع في الربع الثاني.
180 degrees equals ____ radians.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A half-turn is π radians.
طبق صيغة المهمة
- على الدائرة الوحدة، النقطة عند الزاوية θ إحداثياتها (cos θ, sin θ)، لذا cos²θ+sin²θ=1. تعتمد الإشارات على الربع. بالنسبة للزوايا الحادة المكملة، sin θ=cos(90°-θ). استخدم المثلثات الخاصة للقيم الدقيقة: عند 30° الجيب هو 1/2 وجيب التمام √3/2؛ عند 45° كلاهما √2/2.
- استخدم علاقات المماس والزاوية المسماة ودائرة الوحدة.
تحقق من وحدات الدرجات/الراديان وإشارات المركز وما إذا كانت الزاوية مركزية أم مسماة قبل تطبيق الصيغة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
استعادة مركز الدائرة ونصف القطر بإكمال المربع
The angle between a tangent and its radius at contact is 90 degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The tangent-radius perpendicular theorem applies at the contact point.
احتفظ بالتميّزات
- الراديان — قياس الزاوية يساوي طول القوس مقسومًا على نصف القطر.
- المماس — خط يقطع الدائرة عند نقطة واحدة ويكون عمودياً على نصف قطرها عند تلك النقطة.
- استرجع مركز الدائرة ونصف قطرها بإكمال المربع.
- حول الزوايا المركزية واحسب طول القوس ومساحة القطاع.
- استخدم علاقات المماس والزاوية المسماة ودائرة الوحدة.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.