QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

يمكن للوظيفة الموجية المرتبطة أن تمتد خارج حفرة محدودة حتى لو كانت طاقة الجسيم أقل من الجهد الخارجي.

المتطلبات المسبقة: 5، 24، 37.

• مطابقة حالات الحفرة المحدودة المتحللة واستنتاج شروط الكم المعتمدة على التناظر الزوجي/الفردي
• تفسير جذور الحالات المرتبطة اللامعدنية وتمييز الحصر عن التشتت
• استخدام الأعداد الكمية الهيدروجينية والزخم الزاوي ومقاييس الاحتمالية الشعاعية

أعلن عن حفرة متماطرة V=−V₀ من أجل |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 ونفس الكتلة طوال المسار. تقع طاقة ارتباط ما بين −V₀ والصفر. داخل الحفرة، k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ يعطي حلولاً تذبذبية؛ وخارجها، κ=√(−2mE)/$\hbar$ يعطي ذيلاً متحللاً. ارفض الأسيات المتزايدة للحصول على حالة قابلة للتطبيع. يسمح تناظر الانعكاس بحالات جيب التمام cos(kx) الزوجية أو الجيب sin(kx) الفردية داخل الحفرة. عند الحدود المحدودة دون تفاعلات دلتا، يكون ψ وψ′ متصلين. يعطي المطابقة الزوجية k tan(ka)=κ؛ والمطابقة الفردية −k cot(ka)=κ. لا تتطلب الحفرة المحدودة أن ينعدم ψ عند حوافها كما تفعل الحائط اللانهائي.

أدخل z=ka و ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. إذن κa=√(ρ²−z²) و 0<z<ρ. حل z tan z=√(ρ²−z²) لحالة زوجية، أو −z cot z=√(ρ²−z²) لحالة فردية، على فترات الإشارة المناسبة وبعيداً عن أقطاب الظل. الطاقة تُعطى كـ E/V₀=z²/ρ²−1. لـ ρ=1، يقع الجذر الأرضي في 0<z<1 ويكون المعادلة الزوجية مكافئة هناك لـ z=cos z. يعطي التنصيف أو مجذّر متقارب z≈0.739085 و E/V₀≈−0.453753. بما أن ρ<π/2، فلا يوجد فرع لحالات مرتبطة فردية. في بُعد واحد، الحبل المربع الجذاب له حالة أرضية مرتبطة زوجية مهما كان ضحلًا؛ ذيل عتبة E=0 ليس مربع قابل للتكامل.

لحالة مرتبة زوجية، اكتب ψ=A cos(kx) داخل الحفرة و ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] خارجها. تحدد الاستمرارية سعة الذيل النسبية؛ قم بتكامل |ψ|² على كل من الداخل والذيل لتحديد A. احتمال وجود الجسيم خارج الحفرة غير صفري ويعتمد على عمقها وعرضها والحالة المختارة. الحالات المرتبة لها طاقات منفصلة وذيول تناقصية قابلة للتعيين (normalisable). الحالة المشتتة التي طاقتها E>0 لها موجات منتشرة خارجية وتُعيّن أو تُفسر باستخدام اتفاقية الاستمرار/التدفق. لا يُعد الذيل المتناقص دليلاً على انتهاك حالة ما لقانون حفظ الطاقة، ولا تمثل سعة الذيل الخام احتمالاً خارجياً حتى يتم تكاملها وتعيينها.

For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

الحفرة المحدودة لها V = -V0 لـ $|x|<a$ وصفر خارجها. طاقة الارتباط تقع حصراً بين -V0 والصفر. عرّف

التناظر الزوجي يعطي جيب تمام داخلي وذيول متناقصة. بمطابقة القيمة والمشتقة عند a نحصل على أما التناظر الفردي فيعطي $-k\cot(ka)=\kappa$. حل فقط ضمن فترات التناظر الصالحة; الجذر عند قطب التانجنت ليس حالة مرتبطة.

استخدم الصفر المعلّن للجهد، وطابق ψ′ إلى جانب ψ، وضمن مقياس القشرة الشعاعية. الذيل المرتبط وموجة السريان المستمرة لها أوضاع طاقة مختلفة.

حالة مرتبطة: حالة مستقرة قابلة للتعيين تحتوي على احتمالية محصورة وطاقة منفصلة في النموذج المحدد.

كثافة الاحتمالية الشعاعية: احتمال لكل وحدة مسافة شعاعية، بما في ذلك مقياس القشرة الكروية بعد التكامل الزاوي.