قلب كتلة عائمة قد يغير مقدار الخشب المغمور رغم بقاء الوزن الكلي ثابتاً.
المستلزمات: 10.
- استخدم عزم الارتكاز وعزم القصور الذاتي بشكل متناسق
- قسّم الطاقة الحركية الدوارة باستخدام شرط عدم الانزلاق
- توازن الطفو والمقاومة للأجسام المركبة
CM.2 · Rotation, buoyancy and terminal-speed balances
GRE Subject Test · GRE Physics · الموضوع 11
11.1
توازن الدوران والطفو والسرعة الحدية
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| moment of inertia/ˈməʊmənt ɒv ɪˈnɜːʃə/ | عزم القصور الذاتي |
| terminal speed/ˈtɜːmɪnl spiːd/ | السرعة النهائية |
| no-slip constraint/nəʊ slɪp kənˈstreɪnt/ | قيد عدم الانزلاق |
11.2
اختر النظام والنموذج
عزم القوة حول محور ثابت هو r×F؛ وتُحسب مقداره باستخدام الذراع العمودي. بالنسبة لعارضة موحدة طولها L مثبتة عند أحد طرفيها، تعمل الجاذبية في مركزها على بُعد L/2، والعزم القصور الذاتي هو ML²/3. إذا كان الزاوية θ مقاسة من الأفقي، فإن مقدار عزم الجاذبية هو Mg(L/2)sinθ، وبالتالي يكون مقدار تسارع الزاوية 3g sinθ/(2L). عرّف اتجاه الدوران الموجب قبل تحديد الإشارة. استخدام عزم القصور الذاتي لمركز الكتلة ML²/12 بدون تصحيح المحور الموازي يؤدي إلى تسارع خاطئ.
11.3
استخدم العلاقة الحاكمة
الجسم الذي يدور دون انزلاق يحقق v=Rω. اكتب الطاقة الحركية الكلية كـ ½Mv²+½Iω². مع I=βMR²، تكون الكسر الدوار β/(1+β)؛ بالنسبة لأقراص صلبة β=1/2 والكسر هو 1/3. الحلقة لها β=1 والكسر 1/2. يمكن أن توفر الاحتكاك الساكن العزم المطلوب للدوران دون انزلاق دون تبديد الطاقة عند نقطة التلامس الثابتة لحظياً على سطح ثابت. الجسم المنزلق لا يحقق علاقة عدم الانزلاق تلقائياً.
11.4
طبق الشروط
بالنسبة لجسم مركب عائم، يساوي الطفو وزن المائع المزاح، مجموعاً لكل جزء مغمور. ليكن لدينا كتلة خشبية حجمها V وحجر كثيف حجمه Vs. إذا كان الحجر فوق الماء، يساهم الخشب المغمور فقط: ρwater g fV يساوي الوزن الكلي. إذا كان الحجر مثبتاً تحته ومغموراً بالكامل، فإن حجمه المزاح يقلل الكسر المغمور المطلوب من الخشب إلى f−Vs/V. الحجر لا يتوقف عن الوزن؛ بل يوفر الماء الآن جزءاً من دعمه. تحقق مما إذا كانت الاتجاه المفترض والطفو ممكنان فيزيائياً.
11.5
تحقق من النتيجة
السرعة النهائية تعني تسارعاً صفراً، وليس سرعة صفرية أو قوة صفرية. مع مقاومة تربيعية C v² ووزن لأسفل Mg، بتجاهل الطفو نحصل على vt=sqrt(Mg/C). كرةان متطابقتان تقريباً تشتركان في معامل المقاومة C؛ مضاعفة الكتلة تضرب السرعة النهائية بـ sqrt(2). إذا كان الطفو مهماً، استبدل Mg بـ (M−ρfluid V)g. نموذج المقاومة الخطية يعطي بدله قياس كتلي مختلف. حدد قانون المقاومة المحدد وقارن موازنات القوى، بدلاً من نقل صيغة بين النماذج.
11.6
طريقة محلولة
جسم يدور دون انزلاق على سطح ثابت. شرط عدم الانزلاق هو v = R omega.
$$K=\tfrac12Mv^2+\tfrac12I\omega^2=\tfrac12Mv^2(1+\beta),\qquad I=\beta MR^2.$$
بالنسبة لأقراص صلبة، beta = 1/2، لذا فإن الحصة الدوارة هي
$$\frac{K_{rot}}K=\frac\beta{1+\beta}=\frac{1/2}{3/2}=\frac13.$$
بالنسبة لعارضة موحدة مثبتة عند أحد طرفيها، استخدم $I=ML^2/3$، وليس عزم القصور الذاتي لمركز الكتلة.
حول هذا المحور $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$، للزاوية θ المقاسة من الرأس للأسفل.
$$\ddot\theta=\tau/I=-3g\sin\theta/(2L).$$
11.7
تحقق من الشروط والمصطلحات
استخدم عزم القصور الذاتي حول نقطة الارتكاز المختارة. في الطفو، اشمل حجم الحجر المزاح بالإضافة إلى وزنه. يتطلب السرعة الحدية قانون مقاومة محدد.
عزم القصور الذاتي: مسافة عمودية مربعة موزونة بالكتلة من محور دوران محدد.
السرعة الحدية: سرعة ثابتة تتوازن فيها القوى المعاكسة.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.