Q.G-geometry · Geometry: labelled facts, coordinates, circles and solids

الممارسة الأصلية في الفصل ضمن أنواع المهام ذات الاختبار المختصر المراجعة. هذا لا يحاكي اختباراً تكيفياً ولا يتوقع نتيجة مقيّسة أو في الكتابة.

• استخدم العلاقات المعطاة بدلاً من المقياس الظاهري للرسمة
• Connect coordinate distances, slopes and geometric properties
• Distinguish linear, area and volume scale factors

المقطع الدائري: منطقة دائرية محصورة بين شعاعين والوتر الذي يربطهما.

عامل المقياس: المضروب الذي يربط الأطوال المتناظرة للأشكال المشابهة.

استخرج الحقائق التي توفرها الرسمة: الأطوال، علامات الزوايا القائمة، الخطوط المتوازية، أنصاف أقطار الدوائر، وخصائص الشكل المعلنة. تجنب القياس على الشاشة. مجموع الزوايا والتشابه يوفر علاقات عند تحقق شروطها. استنتاج فيثاغورس يحتاج إلى مثلث قائم؛ ولا ينطبق على كل مثلث مرسوم.

لإحداثيتين، استخدم النقطة الوسطى ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) والمسافة √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²). الميل هو Δy/Δx عندما Δx≠0. الخط الرأسي ليس له ميل محدود. ادمج حقائق الإحداثيات والأشكال عند الحاجة؛ الخطوط العمودية غير الرأسية لها أمال حاصل ضربها −1.

محيط الدائرة 2πr ومساحتها πr². القوس أو القطاع يستخدم كسره من دورة كاملة. solids مستطيلة الحجم lwh؛ الأسطوانات تستخدم πr²h. المساحة السطحية تحسب الأوجه أو الأسطح المكشوفة، وليس الحجم المغلق. اربط الوحدات حتى لا يتم الخلط بين إجابة المساحة والطول أو الحجم.

لأشكال متشابهة بعامل خطي k، تتضاعف المساحات المقابلة بـ k² والحجوم بـ k³. إذا زودت المسألة بنسبة مساحات فقط، خذ الجذر التربيعي لاستعادة نسبة الطول؛ لا تنسخ نسبة المساحة مباشرة. هندسة الاختبار العام تستخدم علاقات أولية، دون الحاجة للمثلثات أو التفاضل والتكامل لمهام هذا الدرس.

النقاط A(−1,2) و B(5,10) لها Δx=6، Δy=8. المسافة d=√(6²+8²)=10 والنقطة الوسطى M=((−1+5)/2,(2+10)/2)=(2,6). لدائرة نصف قطرها 6، قطاع بزاوية 60° يمثل 1/6 من الدائرة الكاملة: المساحة=(60/360)π6²=6π؛ طول القوس=(60/360)2π6=2π. تكبير كل طول بمقدار 3 يضرب المساحة في 9 والحجم في 27، وليس 3.

استخدم الحقائق الموسومة، وأدر π أو الوحدات المطلوبة، وامتيز بين المحيط والمساحة أو القطاع وقوسه.

النقاط A=(-1,2) وB=(5,10) معطاة. أوجد مسافتهما ونقطة المنتصف. أسطوانة دائرية مستقيمة نصف قطرها 3 سم وطولها 4 سم. أوجد حجمها والمساحة الكلية، بما في ذلك كلا الطرفين.

النموذج والتبرير

اختلاف الإحداثيات هو ستة وثمانية. المسافة هي $\sqrt{6^2+8^2}=10$ ونقطة المنتصف $(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. حجم الأسطوانة هو $V=\pi r^2h=\pi(3\ \mathrm{cm})^2(4\ \mathrm{cm})=36\pi\ \mathrm{cm^3}$. المساحة الكلية هي $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\ \mathrm{cm})^2+2\pi(3\ \mathrm{cm})(4\ \mathrm{cm})=42\pi\ \mathrm{cm^2}$. الحجم والمساحة السطحية يقيسان كميتين مختلفتين.

مستطيل قطره 10 سم وجانب واحد 6 سم. مستطيل مشابه له مساحة أكبر تسعة مرات. أوجد محيطه. اشرح أي الحقائق الموسومة تسمح بنظرية فيثاغورس، وهل نفس الحساب سيبقى صالحاً لأي رباعي أضلاع عشوائي.

تحقق بعد المحاولة

أضلاع المستطيل المجاورة عمودية. قطره يشكل مثلثاً قائماً، لذا الضلع الآخر هو $b=\sqrt{d^2-a^2}=\sqrt{(10\ \mathrm{cm})^2-(6\ \mathrm{cm})^2}=8\ \mathrm{cm}$. مقياس المسعة تسعة يعني مقياس الطول ثلاثة. الأضلاع الجديدة هي 18 و24 سم، مما يعطي محيط $P=2(a+b)=2(18+24)\ \mathrm{cm}=84\ \mathrm{cm}$. الرباعي العام قد لا يوفر زاوية قائمة، لذا رسمه وحده لا يبرر المعادلة.