Q.A-number · Arithmetic: divisibility, remainders and multiplicative change

الممارسة الأصلية في الفصل ضمن أنواع المهام ذات الاختبار المختصر المراجعة. هذا لا يحاكي اختباراً تكيفياً ولا يتوقع نتيجة مقيّسة أو في الكتابة.

• استخدم التحليل إلى عوامل أولية للقابلية للقسمة، وأعداد القاسم المشترك الأكبر، والمضاعف المشترك الأصغر
• تفسير الباقي باستخدام قاسم القسمة الأصلي
• دمج النسب والتغيرات المئوية مع المجموع المرجعي الصحيح

أقل مضاعف مشترك The smallest positive integer divisible by each given positive integer.

باقي The nonnegative amount left after division by a positive integer, smaller than that divisor.

يمكن كتابة أي عدد صحيح يقبل القسمة على d على شكل dk؛ يعطي الباقي r表达 dk+r حيث 0≤r<d لقاسم موجب. يحدد التحليل إلى العوامل الأولية القابلية للقسمة والمضاعفات المشتركة. يأخذ عدد القاسم المشترك الأكبر القوى prime المشتركة بأصغر أسسها؛ بينما يأخذ المضاعف المشترك الأصغر كل قوة prime مطلوبة بأكبر أس.

احتفظ بخصائص الفرد/الزوجي والموجب/السالب منفصلة. حاصل ضرب عددين فرديين هو عدد فردي؛ وحاصل الضرب مع عدد زوجي هو عدد زوجي. قد لا تنطبق العبارة حول الأعداد الصحيحة على الأعداد الحقيقية. للمقارنة الكمية، استغل صورة الباكي لكشف الحالات الممكنة بدلاً من افتراض أن أصغر مثال موجب هو القيمة الوحيدة.

النسبة a:b تخصص الكل إلى a+b جزء متساوٍ عندما تستنفذ المجموعات ذلك. يغير النسب المئوية القيمة الأصلية بمقدار 1+r أو 1−r حيث r معبر عنها كعدد عشري. التغيرات المتتالية تضرب العوامل. حساب الجزء من جزء يغير المجموعة المرجعية في كل مرحلة؛ حدد المقام قبل الضرب.

قدر المقدار وتحقق من قيود الأعداد الصحيحة بعد الحل. الكسور والجذور والأسس السالبة تتبع قيود مجالها العادية؛ الجذور الزوجية تمثل القيمة الرئيسية غير السالبة. لا تُلغِ حداً في مجموع وكأنه عامل. الحساب الدقيق يمكن أن يكون أسرع وأكثر أماناً من إدخال الآلة الحاسبة العشرية.

معروف: $18=2\cdot3^2$ و$24=2^3\cdot3$. القواسم المشتركة الأصغر تعطي القاسم المشترك الأكبر ستة؛ والقواسم المشتركة المطلوبة تعطي المضاعف المشترك الأصغر七十二. إذا كان $n=5k+2$، فإن $2n=5(2k)+4$، وبالتالي الباقي عند القسمة على خمسة هو أربعة.

لنموذج بسعر 100 يوان انخفض ثم ارتفع بنسبة 20٪، اضرب التغيرين:

قسمة 250 بالنسبة 2:3 تعطي 100 و150: كل جزء من الخمسة يساوي خمسين.

زيادة ونقصان مئويان متساويان يستخدمان قواعد مختلفة. يجب الإبلاغ عن الباقي بالنسبة للمقسوم عليه المسمى.

أوجد عدد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لـ 36 و60. يرتفع سعر 25% ثم ينخفض 20%. أوجد تغيره المئوي الإجمالي.

النموذج والتبرير

$36=2^2\cdot3^2$، $60=2^2\cdot3\cdot5$. تعطي القوى المشتركة الأصغر GCF=12؛ القوى المطلوبة الأكبر LCM=180. حاصل ضربهما $12\cdot180=36\cdot60$ يتحقق من النتيجة. معامل السعر هو $1.25\cdot0.80=1$، لذا فإن التغير الإجمالي هو صفر بالمائة. يستخدم التغيران أسعار مرجعية مختلفة؛ إضافة +25 و-20 ستعطي زيادة خاطئة بنسبة خمسة بالمائة.

العدد الصحيح n له باقي 5 عند قسمته على 8. أوجد باقي $3n+7$ عند قسمته على 8، بما في ذلك للقيم السالبة لـ n. يرتفع قيمة ما بنسبة 10% في سنة ونسبة 20% في السنة التالية. ما هي نسبة التخفيض المفردة التي تستعيد قيمته الأصلية؟

تحقق بعد المحاولة

اكتب $n=8k+5$ لعدد صحيح k. إذن $3n+7=24k+22=8(3k+2)+6$، وبالتالي يكون الباقي ستة لجميع أعداد صحيحة k. القيمة النهائية هي 1.32 مرة القيمة الأصلية. استعادتها يضرب في $1/1.32=25/33$، وهو تخفيض بمقدار $1-25/33=8/33$، أو حوالي 24.24%. لا يعكس تخفيض 30 النمو المركب. يعتمد تقليد الباقي على $0\le r<8$ حتى عندما تكون n سالبة.