1 · Numbers and the number system

4MA1 موضوع 1 (مسألة المواصفات 2، نوفمبر 2017) هو العدد قلب صفوف المستوى الأساسي 1.1–1.11 تمتد من الأعداد الصحيحة والقواعد الأربعة عبر الكسور والأعداد العشرية والأسس والمجموعات والنسب المئوية والنسبة والحدود والصيغة القياسية إلى عمل الأعداد اليومية؛ يضيف المستوى الأعلى تحويل الكسر العشري المتكرر والجذور والتجريدية للمجموعات، والتغير المئوي المتكرر ومشاكل الحدود. في أوراق يونيو 2024 قدم هذا المحور العكس المئوي (2HR Q8)، والصيغة القياسية (2HR Q9)، وإثبات الكسر العشري المتكرر (2HR Q18)، وضرب الحد الأعلى (2HR Q19)، وتبرير الجذور (عائلة 1HR Q17) والعوامل الأولية مع مناطق فن (1HR Q11 عائلة).

ما يجب معرفته لموضوع 1:

تشمل الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر؛ وقيمة المكان تُحدد قيمة كل رقم. الأعداد الموجهة تظهر في سياقات عملية (درجة الحرارة، الديون، مستوى سطح البحر)؛ والترتيب يضعها على خط الأعداد. القواعد الأربع مع السالب: نفس الإشارات نجمع، مختلف الإشارات نطرح، سالبان يصبحان موجباً. الأقواس، ثم الأسس، ثم القسمة/الضرب، ثم الجمع/الطرح (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$، بينما $(3 + 4) \times 2 = 14$. فردي، زوجي، أعداد أولية (عاملان بالضبط)، العوامل والمضاعفات تصنف الأعداد الصحيحة؛ العوامل المشتركة و المضاعفات المشتركة تؤدي إلى القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر.

الكسور المكافئة تختزل أو تمدد: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. الأعداد المختلطة والكسور العادية تتحول عن طريق القسمة بالباقي. المقام المشترك يسمح بترتيب الكسور ومقارنتها وجمعها و طرحها: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. كسر كسر لآخر يُقسم ($\tfrac34$ ككسر من 48 يساوي 36). ضرب الكسور يُضرب البسط والمقام؛ والقسمة تُضرب في كسر من آخر يُقسم ($7$ ككسر من $28$ هو $\tfrac14$). الضرب الكسور يضرب البسط والمقام؛ والقسمة تضرب في المقلوب المعكوس — الكسور الوحدة كمعكورات ضربية ($\tfrac13$ يلغي $3$). تحويل الكسور إلى أعداد عشرية (القسمة) والنسب المئوية (الضرب في 100).

الكسور العشرية الدورية (المستوى الأعلى) حولها جبرياً: ليكن $x = 0.306306\ldots$؛ بعد ذلك $1000x = 306.306\ldots$؛ والطرح، $999x = 306$، لذا $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (يونيو 2024 2HR Q18). الكسر العشري المنتهي هو كسر مقامه قوة من عشرة.

قيمة منزلية عشرية تمتد بال Tenths و Hundredths و Thousandths؛ الترتيب يقارن الأرقام أولاً الأرقام ذات القيمة الأعلى. الأعداد المربعة ($1, 4, 9, \ldots$)، مكعبات الأعداد ($1, 8, 27, \ldots$)، وجذورها، والترميز الأسّي مع قوانين الضرب والقسمة للأسس الصحيحة الموجبة: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$؛ يونيو 2024 1HR Q11 تحليل العوامل العائلية للأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية وقراءة حاصل ضرب المناطق من مخطط ڤين ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). الـ العامل المشترك الأكبر HCF يأخذ أقل أس لكل عامل أولي مشترك؛ وأقل مضاعف مشترك LCM يأخذ أعلى أس لكل عامل أولي: بالنسبة لـ $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ و $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$، العامل المشترك الأكبر $= 2^2 \cdot 3 = 12$ وأقل المضاعف المشترك $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$. ## الجذور غير المنقوطة

الجذر غير القابل للاختزال هو جذر غير نسبي دقيق مثل $\sqrt2$. يتم تبسيطه باستخراج المربعات: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$، باستخدام $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ لا يمكن تبسيطه.

إنطاق المقام يزيل الجذر بضرب البسط والمقام في المرافق — الفرق بين مربعين يلغيه تمامًا. حالة محلولة: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. يونيو 2024 1HR Q17 عائلة إنطاق مقام مُبنى من $2 - \sqrt3$ إلى إجابة من العائلة $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — بما أن $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$، فإن-multiplier $(2 + \sqrt3)$ يلغي الجذر تمامًا.

المجموعة هي تجميع لعناصر: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. الترميز: $\cup$ (الاتحاد، في أي مجموعة)، $\cap$ (التقاطع، في كلا المجموعتين)، $\in$ و $\notin$ (الانتماء). المجموعة الشاملة $\mathcal{E}$ تحتوي على كل شيء قيد النقاش؛ المجموعة الخالية $\emptyset$ لا تحتوي على عناصر؛ الـ المتممة $A'$ تحتوي على كل ما في $\mathcal{E}$ خارج $A$. **مخططات فون ترسم المناطق — في المستوى المتقدم مع المجموعات الجبرية، المجموعات الجزئية ($B \subset A$: كل عنصر من $B$ يقع في $A$)، عدد العناصر $n(A)$، والتطبيقات العملية (الاستطلاعات، مناطق العوامل الأولية). يونيو 2024 1HR Q11 عائلة تضع العوامل الأولية لعددين في مخطط فون بمجموعتين وتقرأ products مثل $AB$، $A^2$ و$B^2$ من المناطق المدمجة — القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب منطقة التقاطع، الكمية المشتركة صغيرة هي حاصل ضرب كل شيء.

النسبة المئوية تعني أجزاء لكل 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. تعمل النسب المئوية كـ مضارب: الزيادة بمقدار $12\%$ تعني $\times 1.12$؛ النقصان بمقدار $20\%$ يعني $\times 0.8$. العكس بالنسبة يقسم القيمة النهائية على المضرب — يونيو 2024 2HR Q8: ثلاجة سعرها 6225 روبية بعد خصم $17\%$ كانت تكلف originally $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ روبية. الفائدة المركبة والاهتلاك تطبق المضرب مراراً: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 عند 3% مركبة لمدة 4 سنوات تتحول إلى $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$؛ سيارة قيمتها £12000 تهبط بنسبة 15% سنوياً لمدة 3 سنوات لتصل إلى $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

النسبة تقارن الأجزاء: أبسطها بالقسمة ($45 : 60 = 3 : 4$)؛ قسّم على $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 مقسوم بنسبة $2 : 5$ يعطي $\tfrac27 \times 350 = £100$ و$\tfrac57 \times 350 = £250$. التناسب يقيّس داخل أو بين الكميات: طريقة الوحدة الواحدة تجد وحدة واحدة أولاً (7 أقلام تكلف £4.20، إذن قلم واحد يكلف £0.60 و12 أقلام تكلف £7.20)؛ الكميات في تناسب طردي تُقيَّس بنفس الطريقة ($y = kx$). المسائل اللفظية تخلط النسبة بالكسور والنسب المئوية — احتفظ بالوحدات صريحة وتحقق من أن الإجابة معقولة.

قرب الأعداد الصحيحة لأساسات عشرة والأعداد العشرية لأرقام معنوية أو منازل عشرية أماكن: $3.4617 \to 3.5$ (2 أرقام معنوية) و$3.46$ (2 منازل عشرية). القيمة الدقيقة تحمل حدودًا — 19 إلى أقرب عدد صحيح تعني $18.5 \le v < 19.5$ — الحد الأعلى الحد الأدنى 19.5 والحد الأدنى 18.5. التقدير يقرب كل رقم إلى 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. مسائل الحدود (المستوى المتقدم) تختار الأطراف القصوى التي تحتاجها المسألة — يونيو 2024 2HR Q19: المسافة $=$ السرعة $\times$ الزمن مع سرعة $19$ كم/س إلى أقرب عدد صحيح (لذا UB $19.5$) والزمن $1.5$ ساعة إلى 1 خانات عشرية (لذا UB $1.55$): الحد الأعلى للمسافة هو $19.5 \times 1.55 = 30.2$ كم (3 رقم معنوي).

الصيغة القياسية تكتب $a \times 10^n$ بـ $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (يونيو 2024 2HR Q9). الأسس تُجمع وخصم عمليات الضرب والقسمة للأعداد بالصيغة القياسية، و مفتاح $\times 10^{\wedge}$ في الآلة الحاسبة يحافظ على الدقة.

الرقم اليومي — المال، الجداول الزمنية، القراءات — يستخدم نفس العمليات الحسابية مع وحدات مرفقة. وحدات قياسية: الكتلة (كجم، غرام)، الطول (كم، متر، سم، مم)، المساحة، الحجم، الوقت (ثوانٍ إلى سنوات، ساعات 12- و24-ساعة)، والتحويلات بينها. ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A تطبق الآلة الحاسبة العلمية ترتيب العمليات بشكل صحيح — لكن التقدير المبكر يفقد الدقة: حافظ على الدقة الكاملة خلال الحساب وقرب فقط النتيجة النهائية، بدقة ما طُلب.

• الأعداد الصحيحة، الترتيب، الأعداد الموجهة، العمليات الأربعة، قاعدة BIDMAS، الأعداد الفردية والزوجية، الأولية، القواسم والمضاعفات (F 1.1 A–H).
• الكسور المكافئة، الكسور المختلطة، المقامات المشتركة، جزء من كمية، المقلوب، تحويلات الكسور والعشرية (F 1.2 A–H).
• تحويل الكسور العشرية الدورية إلى كسور جبرياً (H 1.3 A؛ يونيو 2024 2HR Q18).
• الكسور العشرية: القيمة المكانية، الترتيب، الكسور العشرية المنتهية على شكل كسور (F 1.3 A–E).
• المربعات، المكعبات، الجذور، قواعد الأسس، التحليل الأولي، القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر (F 1.4 A–E؛ عائلة أسئلة يونيو 2024 1HR Q11).
• الجذور غير النسبية: التبسيط، جمع الجذور المتشابهة، التنسيب باستخدام المرافق (H 1.4 A–B؛ عائلة أسئلة يونيو 2024 1HR Q17).
• المجموعات: الرموز، المجموعة الشاملة/الفارغة/المتممة، مخطط فن؛ المجموعات الجزئية في المستوى المتقدم، n(A)، المجموعات الجبرية والعملية (F 1.5 A–E، H 1.5 A–D).
• النسب المئوية: المضاعفات، النسبة المئوية، الزيادة والنقصان، العكس، الفائدة المركبة والتآكل (F 1.6 A–G، H 1.6 A–B؛ أسرة أسئلة يونيو 2024 2HR Q8).
• النسبة بأبسط صورة، التقسيم، التناسب المباشر، مسائل لفظية (F 1.7 A–E).
• التقريب لأسس العشرة، أ.م. و د.ع.؛ تحديد الحدود وحل المسائل باختيار الحواف المناسبة؛ التقدير باستخدام 1 أ.م. (F 1.8 A–D، H 1.8 A؛ أسرة أسئلة يونيو 2024 2HR Q19).
• التحويلات والحساب بالصيغة القياسية (F 1.9 A، H 1.9 A؛ أسرة أسئلة يونيو 2024 2HR Q9).
• أعداد يومية، وحدات قياسية وتحويلاتها، حساب الوقت، ضبط الآلة الحاسبة (F 1.10 A–C، F 1.11 A).

ملاحظات الحدود: الأسس الكسرية والسالبة والصفرية تتجاوز عمليات الضرب و القسمة وتتبع الموضوع 2؛ منحنيات التناسب تتبع المواضيع 2 و4؛ الكميات القياسات (السرعة، الكثافة، الضغط) تنتمي لموضوع 4. المرشحون في المستوى الأساسي يلتحقون بـ الأساسي يوفرون فقط. الأمثلة المحلولة مستخرجة من اختبارات يونيو 2024 المراجعة أو أصلية؛ أسئلة الورقة أصلية ما لم تُصنف.