3 · Sequences, functions and graphs

موضوع 4MA1 3 (إصدار المواصفة 2، نوفمبر 2017). الصفوف الأساسية 3.1 و3.3 مشتركة مع المستوى الأعلى؛ كتلة كتابة الدوال 3.2 وكتلة التفاضل 3.4 مخصصة للمستوى الأعلى فقط، و يمتد مستوى أعلى 3.3 عمل الرسوم البيانية لتشمل التكعيبيات، والمقلوبات، ومنحنيات مثلثية، والتحويلات و التقاطعات. في أوراق امتحان 2024 للمرحلة العليا في يونيو، يُعد هذا المحور أثقل من بين الموضوعات الستة. (حوالي ثلث كل ورقة) ويحمل مقاييز التمييز A/A*: مجموع متسلسلات جبرية، الدوال المركبة، المستقيمات العمودية، وتقاطعات المستقيم والمنحنى والنقاط الثابتة.

مطلوع به بشكل أساسي للموضوع 3 (تعطي ورقة قوانين مستوى أعلى قواعد المتسلسلة وشكل شبه المنحرف فقط):

القاعدة من حد إلى حد توضح كيفية الحصول على الحد التالي (إضافة 4: 5، 9، 13، 17، …؛ الضرب في 2: 1، 2، 4، 8، …)؛ أما القاعدة من موقع إلى حد فتعطيك حداً مباشرة من موقعها. بالنسبة لـ متتالية حسابية الحد الأول $a$ و**الفرق المشترك الفرق $d$، الحد الـ$n$ هو $u_n = a + (n-1)d$: من أجل 1، 3، 5، 7، … القاعدة هي $2n - 1$، و"الحد النوني هو $4n + 3$" يولد 7، 11، 15، … تحقق من قاعدة مقترحة على نقطتين قبل التصديق بها.

المستوى المتقدم يضيف مجموع متسلسلة حسابية. تجميع الأول مع الأخير، الثاني مع قبل الأخير، … يعطي $n/2$ مجموع أزواج مساوية قدرها $a + u_n$:

من أجل $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$، $d=3$، إذن $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ من حدين يستخدم قاعدة الحد كمعادلتين متزامنتين: إذا $u_2 = 7$ و$u_5 = 19$، فإن $3d = 12$، لذا $d = 4$ و$a = 7 - 4 = 3$.

1، مما يعطي 2024، وبالتالي 23. الحدود هي المتسلسلات هي $4x-14$، $x+2$ و$7x-9$. الحدود المتجاورة تحمل فرقاً مشتركاً، لذا $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$، مما يعني $-3x + 16 = 6x - 11$، وبالتالي $x = 3$. الحدود هي $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$، $d = 7$. إذن $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 × 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ رمزيًا حتى التعويض النهائي — الجبر، ليس الحساب.

الدالة f تربط كل مدخل من مجموعة بخرج واحد بالضبط لمجموعة أخرى: اكتب $f(x) = \ldots$ أو $f{:}\ x \mapsto \ldots$. المجال هو مجموعة المدخلات المسموحة؛ المدى هو مجموعة المخرجات. استبعد المدخلات التي تخالف القاعدة: بالنسبة لـ المدخلات؛ المجال هو مجموعة المخرجات. استبعد المدخلات التي تخالف القاعدة: من أجل $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ استبعد $x = 2$؛ بالنسبة لـ $f(x) = \sqrt{x}$ خذ $x \ge 0$.

الدالة المركبة $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ تطبق $g$ أولاً، ثم $f$ — مخرج $g$ يجب أن يكون مدخلاً مسموحاً به لـ $f$. الدالة العكسية $f^{-1}$، لذا $f$ على مجال $f$. تحقق دائماً من $f(x) = \sqrt{x-2}$. (المجال $x \ge 2$، المجال $f \ge 0$)، كتابة $y = \sqrt{x-2}$ والتربيع يعطي $x = y^2 + 2$، لذا $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ على المجال $x \ge 0$. تحقق دائماً من $f^{-1}(f(x)) = x$.

مثال محلول (2HR يونيو 2024 سؤال17، معدّل). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ و $g(x) = 3x+1$؛ أوجد $k$ معطى $\mathrm{fg}(k) = 2$. أولاً $g(k) = 3k+1$، ثم

لذا $3k+1 = 12k-4$، مما يعطي $9k = 5$ و$k = \tfrac59$. (اختصار يستحق معرفته: حل $f(x) = 2$ أولاً يعطي $x = 8/3$، لذا ضع $g(k) = 8/3$ — نفس الإجابة مع جبر أقل.)

الإحداثيات الديكارتية تسمى النقاط في الأرباع الأربعة؛ النقطة الوسطى هي متوسط الإحداثيات النهائية: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. الميل لخط مستقيم هو التغير في $y$ مقسوماً على التغير في $x$: عبر $(1,7)$ و $(2,9)$ يكون الميل $2$. الخط $y = mx+c$ له ميل $m$ ويقطع المحور $y$ عند $(0,c)$ — من أجل $y = 3x+5$، الميل 3 والقاطع $(0,5)$. حالات خاصة: $x = k$ هو عمودي (لا ميل محدود)، $y = c$ أفقي (ميل 0). الرسوم البيانية للتحويل (العملات، درجة الحرارة) تُقرأ بنفس الطريقة.

تفسير الرسوم البيانية الحقيقية جزء من هذا القسم: على رسم المسافة–الزمن يكون الميل سرعة؛ على رسم السرعة–الزمن يكون الميل تسارعاً والمساحة تحت الرسم هي المسافة المقطوعة. تمارين الرسم تشمل ملء جداول القيم للخطوط المستقيمة (بما في ذلك الصيغ $ax + by = c$) والمربعات الثانية، ورسم منحنى سلس يمر بالنقاط المرسومة — لا تقاطع بينها بقطاعات مستقيمة.

الخطوط المتوازية لها نفس الميل. الخطوط المتعامدة يكون حاصل ضرب ميليها $-1$: الخط العمودي على $m$ هو $-1/m$. الخط المار بـ $(x_1, y_1)$ مع الميل $m$ هو $y - y_1 = m(x - x_1)$.

مثال محلول (2HR يونيو 2024 سؤال21، معدّل). $ABCD$ مربع به $A(-5, 2)$ و $B(3, 5)$؛ أوجد معادلة $BC$ بالصيغة $ax + by + c = 0$. أضلاع المربع المجاورة متعامدة. ميل $AB$ هو $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$، إذن ميل $BC$ هو $-\tfrac83$. عبر $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$، لذا $3y - 15 = -8x + 24$، مما يعطي $8x + 3y - 39 = 0$. فك الأقواس في النهاية لتكون $a$، $b$، $c$ أعداد صحيحة كما طُلب.

يتوقع مستوى 3.3 أعلى التعرف على رسم ثلاث عائلات من المنحنيات تتجاوز التربيعيات: كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (بأي إشارات؛ $y = x^3 - 4x$ تصعد ثم تهبط ثم تصعد)، والمقلوبات $y = A/x$، $y = A/x^2$، $y = A/x^3$ (ذراعان، مقاربات، لا تقطع المحاور) و المنحنيات المثلثية $y = \sin x$، $y = \cos x$، $y = \tan x$ لزوايا أي حجم في درجات — يتذبذب الجيب وجيب التمام بين $-1$ و$1$ بفترة 360°؛ يتكرر الظل كلما 180° وينقطع عند $90° + 180°n$. الدائرة التي مركزها نقطة الأصل لها $x^2 + y^2 = r^2$ — تدخل الدائرة هذا المساق كمربع ثانٍ في تقاطع السؤال.

أربعة تحويلات مطلوبة لـ $y = f(x)$، للدوال الخطية والتربيعية والجيب وجيب التمام: الدوال المثلثية:

The inside forms act "backwards" on $x$ and only on $x$. For $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ نصف قيم $x$، مما يجعل القطع المكافئ أضيق، وليس أطول. بالنسبة لـ $y = \sin 2x$ تنصف الفترة لتصبح 180°. اقرأ التحويل المرسوم من الرسم البياني (إلى أين انتقلت النقطة العطفية؟) و اكتبها جبرياً — يُقيَّم كلا الاتجاهين.

ميل المنحنيات: ارسم مماساً عند النقطة واتخذ ميله كـ الارتفاع/المسافة الأفقية — يُقاس الخط المرسوم وليس المنحنى. تتطلب حسابات الميل الدقيق للمنحنيات التفاضل (القسم التالي).

التقاطعات: قيم $x$ حيث يتقاطع خط مستقيم $y_1$ مع منحنى غير خطي $y_2$ تمثل حلول $y_2 - y_1 = 0$. نقاط التقاء $y = 2x+1$ و$y = x^2 + 3x - 2$ تحل $x^2 + x - 3 = 0$؛ بالنسبة لـ $y = 5$ و$y = x^3 - 3x^2 + 7$، حل $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

مثال محلول (2HR يونيو 2024 سؤال22، معدّ). أوجد أين يقطع الخط $y = 3x - 1$ المنحنى $x^2 + y^2 = y + 11$. عوض معادلة الخط في معادلة المنحنى:

إذن $x = -\tfrac35$ أو $x = \tfrac32$، مما يعطي $y = 3x-1$ قيمة $y = -\tfrac{14}{5}$ أو $y = \tfrac72$. النقاط هي $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ و $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — عوض مرة أخرى في المعادلة الأخرى للتحقق: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

تتغير ميل المنحنى على طوله: وهو معدل تغير متغير. الاشتقاق يعطيه بدقة: للأسس الصحيحة $x$،

لـ $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. نقطة ثابتة لها $\dfrac{dy}{dx} = 0$: هنا $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$، لذا $x = -\tfrac23$ أو $x = 6$. اميز بين الأعلى والأدنى من شكل الرسم البياني: مكعب مع معامل $x^3$ موجب يرتفع–ينخفض–يرتفع... هنا $y \to -\infty$ عندما $x \to -\infty$، so the left stationary point $x = -\tfrac23$ is the maximum ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

مثال محلول (1HR يونيو 2024 Q19، معدّل). $C$ له معادلة $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ ولديه نقطتان ثابتتان بالضبط $A$ و$B$ حيث $x_A > x_B$؛ أوجد $A$. اشتق وقم بـ المساواة بالصفر: $(3x+2)(x-6) = 0$، والجذر الأكبر هو $x = 6$. بالتعويض في المنحنى: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$، إذن $A = (6, -139)$. تتابع الدرجات — الاشتقاق (على الأقل حدين صحيحين)، المساواة بالصفر، حل المعادلة التربيعية، والتعويض مرة أخرى.

الحركة: مع إزاحة $s$ متر بعد $t$ ثانية، السرعة هي معدل تغير الإزاحة والتسارع هو معدل تغير السرعة: $v = \dfrac{ds}{dt}$، $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. بالنسبة لـ $s = t^3 - 24t$ (أمتار، $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ م/ث و$a = 6t$ م/ث². الجسيم يتوقف لحظياً حيث $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ ث (3 أرقام معنوية).

• توليد متتاليات من قواعد الحد إلى الحد وقواعد الموقع إلى الحد؛ إيجاد قاعدة متتالية أعداد صحيحة (F 3.1 A–B).
• استخدام $u_n = a + (n-1)d$ للمتتاليات الحسابية؛ إيجاد $a$ و$d$ من أي حدين (F 3.1 C, H 3.1 A–B).
• حساب مجموع متسلسلة حسابية باستخدام $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$، بما في ذلك الحدود الجبرية (H 3.1 C; يونيو 2024 1HR Q23).
• استخدام $f(x)$ و$f{:}\,x\mapsto$ للرموز؛ تحديد مجالات التعريف مع الاستثناءات والمدى (H 3.2 A–C).
• بناء $\mathrm{fg}(x)$ ← $g$ أولاً وإيجاد $f^{-1}$ على مجال واحد لواحد (H 3.2 D; يونيو 2024 2HR Q17).
• قراءة ورسم وتفسير الرسوم البيانية في جميع الأرباع: النقاط المنتصفية، رسوم التحويل، رسوم المسافة/السرعة–الزمن، وجداول القيم (F 3.3 A–I).
• حساب التدرج من نقطتين؛ $y = mx + c$؛ معادلات المستقيمات الموازية والمتعامدة المارة بنقطة (F 3.3 G–H، H 3.3 F–G؛ يونيو 2024 2HR Q21).
• التعرف على المنحنيات التكعيبية، ومنحنيات المقلوب، و$\sin/\cos/\tan$، والدائرة المتمركزة في نقطة الأصل $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• طبق واستخرج التحولات الأربعة $f(x)+a$، $f(x+a)$، $af(x)$، $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• تقدير تدرج المنحنى برسم مماس (H 3.3 D).
• حل تقاطعات الخطوط المستقيمة وغير الخطية عبر $y_2 - y_1 = 0$ وتحقق بالتعويض (H 3.3 E؛ يونيو 2024 2HR Q22).
• اشتقاق القوى الصحيحة؛ إيجاد النقاط الثابتة؛ تصنيف القيم العظمى/الصغرى من شكل المنحنى (H 3.4 A–D؛ يونيو 2024 1HR Q19).
• تطبيق التفاضل على الحركة: $v = ds/dt$، $a = dv/dt$، و"ساكن" يعني $v = 0$ (H 3.4 E).

ملاحظات الحدود: المتسلسلة الهندسية ومجموع اللانهاية مستبعدتان في هذا المستوى (لا صفوف هندسية في 4MA1 3.1)؛ يقتصر الاشتقاق على القوى الصحيحة لـ $x$ — السلسلة، قواعد الضرب والقسمة مستبعدة؛ مقياس الراديان مستبعد (الدرجات طوال الوقت). مرشحين المستوى الأساسي يلتزمون بـ 3.1 و3.3 فقط. الأمثلة المحلولة أعلاه مستوحاة من زوج Higher لمراجعة يونيو 2024 (راجع أدلة التقييم الخاصة بالميتا)؛ جميع الأسئلة الأخرى في الأوراق أصلية.