المتتاليات والمتسلسلات والتكرار · مستوى متقدم
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | النسبة المشتركة |
هل التغير يجمع أم يضرب؟
- خطة توفير تضيف ¥30 كل أسبوع؛ نمو عدد السكان بنسبة 5% سنويًا. الفروقات المتساوية والنسب المتساوية تتطلب نماذج مختلفة.
- تدرس هذه الدرس النسبة المشتركة: المضروب الثابت بين الحدود المتتالية في المتتالية الهندسية.
اختر البنية الرياضية
- للمتتالية الحسابية: u_n=a+(n-1)d ومجموع أول n حد S_n=n(2a+(n-1)d)/2. للمتتالية الهندسية: u_n=ar^(n-1) ومجموع أول n حد S_n=a(1-r^n)/(1-r). مجموع هندسي لانهائي موجود فقط إذا كان |r|<1.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
تتقارب المتسلسلة الهندسية اللانهائية إلى مجموع محدود فقط عند تحقق أي من الشروط التالية؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقترب الحدود ar^(n-1) نحو الصفر فقط عندما يكون |r|<1، وبالتالي يتقارب المجموع إلى a/(1-r). أما عندما يكون |r|≥1 فلا تتقارب الحدود ولا تتقارب المتسلسلة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ a=5، d=3، n=8، فإن u_8=5+7×3=26 و S_8=8(10+21)/2=124. بالنسبة لـ a=12، r=1/2، فإن مجموع اللانهائي S_∞=12/(1-1/2)=24. بالنسبة للعلاقة u_(n+1)=2u_n+1 مع u_1=1، فإن الحدود التالية هي 3,7,15.
متتاليات، متسلسلات وتكرارية
بالنسبة للتقدم الحسابي، u_n=a+(n-1)d و S_n=n(2a+(n-1)d)/2
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
لأن a=5 وd=3، أوجد u_8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₈=5+(8-1)×3=26.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الحد الأول له مؤشر 1، لذا الأس هو n-1. المتتالية قائمة من العناصر؛ المتسلسلة هي مجموع. يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة ولا تزال تتقارب.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.
أوجد مجموع أول 8 حدود بـ a=5 وd=3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S₈=8[2×5+7×3]/2=124.
كل متسلسلة هندسية لها مجموع محدود إلى ما لا نهاية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الحد الأول له الفهرس 1، لذا الأس هو n-1. المتتالية هي قائمة؛ والمتسلسلة هي مجموع. يمكن للمتتالية الهندسية أن تتناوب في الإشارة وتظل متقاربة.
تفسير موقف جديد
- اشرح ما إذا كان السياق يبرر التغير الجمعي أم الضربي. في المالية، اميز بين إيداع مفرد وتدفق من الإيداعات قبل اختيار صيغة المجموع.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد المجموع اللانهائي بـ a=12 وr=0.5.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
بما أن |r|<1، فإن S∞=12/(1-0.5)=24.
صل كل صيغة بالكمية التي تمثلها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تضيف المتتاليات الحسابية فرقاً ثابتاً؛ وتضرب المتتاليات الهندسية في نسبة مشتركة ثابتة؛ وتعطي النسبة المتقلصة فقط مجموعاً نهائياً للمتسلسلات اللانهائية.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 4MA1 · المستوى المتقدم · 3. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
الثابت الضربي بين الحدود المتتالية للمتتالية الهندسية. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.