S · Moments

AQA A-level Mathematics 7357، القسم S (العزوم)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تعليمية أصلية.

المتطلبات المسبقة: القوى وقوانين نيوتن من القسم R.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• مفتاح ربط طويل يفك برغيًا محكمًا لا يستطيع مفتاح ربط قصير تحريكه، بنفس القوة الدافعة تمامًا. من أين يأتي تأثير الدوران الإضافي؟
• قبل القراءة، اذكر مما يعتمد تأثير الدوران للقوة، ولماذا يؤدي مضاعفة طول المقبض إلى مضاعفته.

الطريقة

• عزم القوة حول نقطة هو حاصل ضرب القوة في المسافة العمودية من النقطة إلى خط عمل القوة، بوحدة نيوتن متر. القوة التي تمر عبر النقطة لها مسافة صفر وعزم صفر — ولا يمكنها تدوير الجسم حول تلك النقطة.
• يكون الجسم في اتزان فقط عندما يتحقق الشرطان معًا: مجموع القوى يساوي صفرًا (لا انقلاص) ومجموع العزوم حول كل نقطة يساوي صفرًا (لا دوران). عند أخذ العزوم حول مفصل قوة مجهولة، يتم حذفها من المعادلة لأن مسافتها صفر — معادلة واحدة ومجهول واحد.
• عزم: القوة × المسافة العمودية من النقطة إلى خط عمل القوة، بوحدة نيوتن متر؛ اتزان: حالة تكون فيها محصلة القوى وصفرًا ومحصلة العزوم صفرًا، لذا لا يوجد انقلاص ولا دوران؛ مفصل: النقطة التي تؤخذ حولها العزوم أو حولها يدور الجسم.

التحقق من عملك

• Choose the point to take moments about so that the most awkward unknown passes through it. For a beam on two supports, take moments about one support to find the other reaction, then use ΣF = 0 for the first.
• The distance is measured to the LINE of the force, not to where the force is drawn: a force at 40° to a 3 m bar has perpendicular distance 3 sin 40°, not 3 m.

حالة محلولة

• Known: a light 4 m beam rests on supports A and B at its ends, with a 260 N load 1 m from A. Moments about A: R_B × 4 = 260 × 1, so R_B = 65 N. Vertical forces: R_A + R_B = 260, so R_A = 195 N. The check R_A + R_B = 260 ✓ and moments about B (195 × 4 = 260 × 3 = 780 ✓) both close.

مثال:

عارضة موحدة 6 م طولها، وزنها 200 نيوتن، تستند على دعامات عند طرفيها، وصندوق 400 نيوتن موضوع على مسافة 2 م من أحد الطرفين. أوجد كلتا القوتين المؤثرتين على الدعامة، بنفس التسلسل: عزم العزوم حول إحدى الدعامات → ΣF = 0 → تحقق حول الأخرى. (الإجابة: عزم العزوم حول الدعامة القريبة يعطي 6R_البعيدة = 400 × 2 + 200 × 3 = 1,400، إذن R_البعيدة ≈ 233 نيوتن و R_القريبة = 600 − 233 ≈ 367 نيوتن.)

حدود ومخاطر

• خذ العزوم حول نقطة ثانية كتحقق: خطأ بسيط في المعادلة الأولى يظهر فورًا. يجب أن تكون ردا الفعل لكلا طرفي العارضة موجبة — رد فعل سالب يعني أن العارضة ستنفصل عن تلك الدعامة ويتغير النموذج.

تحذير:

محصلة القوى صفر كافية للاتزان. هذا الادعاء غير صحيح: قوتان متساويتان ومتعاكستان عند نقطتين مختلفتين (زوج قوى) تعطي محصلة قوى صفر لكنها لا تزال تدور الجسم. الاتزان يحتاج أيضًا إلى محصلة عزم صفر — ولهذا السبب يهم طول المفتاح حتى لو كانت الدفعة دون تغيير.

المفتاح:

العزوم: العزم = القوة × المسافة العمودية بوحدة نيوتن-متر؛ يتطلب التوازن ΣF = 0 AND ΣM = 0؛ احسب العزوم حول قوة مجهولة لإلغائها، وتحقق بإعادة حساب العزوم حول نقطة ثانية.