العزم والديناميكا الدورانية

الهدف التعليمي 5.1.A: صف دوران نظام بالنسبة للزمن باستخدام الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي.

• 5.1.A.1 الإزاحة الزاوية هي قياس الزاوية بالراديان التي يدور حولها نقطة على نظام صلب حول محور معين.
  • المعادلة: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
  • 5.1.A.1.i النظام الصلب هو نظام يحافظ على شكله ولكن نقاط مختلفة عليه تتحرك في اتجاهات مختلفة أثناء الدوران. لا يمكن نمذجة النظام الصلب كجسم واحد.
  • 5.1.A.1.ii عادةً ما يُشار إلى أحد اتجاهي الإزاحة الزاوية حول محور الدوران—سواء كان عقارب الساعة أو عكس عقارب الساعة—كمقدار رياضي موجب، بينما يصبح الاتجاه الآخر سالباً رياضياً.
  • 5.1.A.1.iii إذا كان دوران النظام حول محور يمكن وصفه جيداً باستخدام حركة مركز كتلته، يمكن التعامل معه كجسم واحد. على سبيل المثال، يمكن اعتبار دوران الأرض حول محورها مهملاً عند النظر في revolution الأرض حول مركز كتل نظام الأرض-الشمس.
• 5.1.A.2 السرعة الزاوية هي المعدل الذي يتغير به الموضع الزاوي بالنسبة للزمن.
  • المعادلة: $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
• 5.1.A.3 التسارع الزاوي هو المعدل الذي تتغير به السرعة الزاوية بالنسبة للزمن.
  • المعادلة: $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
• 5.1.A.4 الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي حول محور واحد مماثلة للإزاحة الخطية والسرعة والتسارع في بُعد واحد وتظهر نفس العلاقات الرياضية.
  • 5.1.A.4.i بالنسبة للتسارع الزاوي الثابت، يمكن وصف العلاقات الرياضية بين الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي بالمعادلات التالية:
    • $\omega = \omega_0 + \alpha t$
    • $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
    • $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
  • 5.1.A.4.ii يمكن استخدام رسوم بيانية للإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي بدلالة الزمن لإيجاد العلاقات بين تلك الكميات.

بيان الحدود: يتوقع امتحان AP Physics C: Mechanics من الطلاب القدرة على التعامل الرياضي مع مقادير الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي باستخدام قواعد المتجهات. ومع ذلك، لن يتم تقييم اتجاهات تلك المتجهات في الامتحان.

تقتصر وصفات اتجاهات كميات الحركة الدورانية لنقطة أو جسم صلب على الاتجاهين عقارب الساعة وعكس عقارب الساعة بالنسبة لمحور دوران محدد.

الهدف التعليمي 5.2.A: صف الحركة الخطية لنقطة على نظام صلب دوار تقابل الحركة الدورانية لتلك النقطة، والعكس صحيح.

• 5.2.A.1 بالنسبة لنقطة على مسافة $r$ من محور دوران ثابت، تُعطى المسافة الخطية $s$ المقطوعة بواسطة النقطة عندما يدور النظام بزاوية $\Delta\theta$ بالمعادلة $\Delta s = r\Delta\theta$.
• 5.2.A.2 تُعطى العلاقات المشتقة للسرعة الخطية والمكون المماسي للتسارع لكمياتها الزاوية المقابلة بالمعادلات التالية:
  • $s = r\theta$
  • $v = r\omega$
  • $a_T = r\alpha$
• 5.2.A.3 بالنسبة للنظام الصلب، جميع النقاط داخل ذلك النظام لها نفس السرعة الزاوية والتسارع الزاوي.

بيان الحدود: يتوقع امتحان AP Physics C: Mechanics من الطلاب القدرة على التعامل الرياضي مع مقادير الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي باستخدام قواعد المتجهات. ومع ذلك، لن يتم تقييم اتجاهات المتجهات في الامتحان.

تقتصر وصفات اتجاهات كميات الحركة الدورانية لنقطة أو جسم صلب على الاتجاهين عقارب الساعة وعكس عقارب الساعة بالنسبة لمحور دوران محدد.

الهدف التعليمي 5.3.A: حدد عزوم القوى المؤثرة على نظام صلب.

• 5.3.A.1 ينتج العزم فقط من مركبة القوة العمودية على متجه الموضع من محور الدوران إلى نقطة تطبيق القوة.
• 5.3.A.2 ذراع العزم هو المسافة العمودية من محور الدوران إلى خط عمل القوة المؤثرة.

الهدف التعليمي 5.3.B: وصف العزوم المؤثرة على نظام صلب.

• 5.3.B.1 يمكن وصف العزوم باستخدام مخططات القوة.
  • 5.3.B.1.i تشبه مخططات القوة مخططات الجسم الحر وتُستخدم لتحليل العزوم المؤثرة على نظام صلب.
  • 5.3.B.1.ii مثل مخططات الجسم الحر، تمثل مخططات القوة المقدار والاتجاه النسبيين للقوى المؤثرة على نظام صلب. كما تصور مخططات القوة الموقع الذي تُطبق فيه تلك القوى بالنسبة لمحور الدوران.
• 5.3.B.2 يُوصف عزم القوة المؤثر على نظام صلب حول نقطة ارتكاز مختارة بواسطة قوة معينة بالمعادلة $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
  • 5.3.B.2.i حاصل الضرب الاتجاهي بين متجهين، $\vec{A}$ و$\vec{B}$، ينتج عنه كمية متجهة مقدارها $\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta$.
  • 5.3.B.2.ii اتجاه المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي للمتجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$ يكون عمودياً على كل من المتجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$، وبالتالي يكون طبيعياً للمستوى المحدد بالمتجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$.
  • 5.3.B.2.iii يمكن تحديد اتجاه المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي للمتجهين $\vec{A}$ و$\vec{B}$ بشكل نوعي بتطبيق قاعدة اليد اليمنى المناسبة.

الهدف التعليمي 5.4.A: وصف القصور الذاتي الدوراني لنظام صلب بالنسبة لمحور دوران محدد.

• 5.4.A.1 يقيس القصور الذاتي الدوراني مقاومة النظام الصلب للتغيرات في الدوران وهو مرتبط بكتلة النظام وتوزيع هذه الكتلة بالنسبة لمحور الدوران.
• 5.4.A.2 يُوصف العزم القصور الذاتي لجسم يدور على مسافة عمودية $r$ من محور الدوران بالمعادلة $I = mr^2$.
• 5.4.A.3 العزم القصور الذاتي الكلي لمجموعة من الأجسام حول محور ما هو مجموع عزوم قصورها الذاتية لكل جسم حول ذلك المحور.
  • المعادلة: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$
• 5.4.A.4 بالنسبة لجسم صلب يمكن اعتباره مجموعة من الكتل التفاضلية، $dm$، يمكن حساب العزم القصور الذاتي للجسم الصلب باستخدام المعادلة $I = \int r^2\, dm$، حيث $r$ هو المسافة العمودية من $dm$ إلى محور الدوران.

الهدف التعليمي 5.4.B: وصف القصور الذاتي الدوراني لنظام صلب يدور حول محور لا يمر عبر مركز كتلته.

• 5.4.B.1 يكون القصور الذاتي الدوراني للنظام الصلب في مستوى معين في أدنى حد له عندما يمر محور الدوران عبر مركز كتلته.
• 5.4.B.2 يستخدم قانون المحور الموازي المعادلة التالية لربط القصور الذاتي الدوراني لنظام صلب حول أي محور موازٍ لمحور يمر عبر مركز كتلته:
  • المعادلة: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

بيان الحدود: يتوقع امتحان AP Physics C: Mechanics من الطلاب استخدام التفاضل والتكامل فقط في اشتقاق العزم القصور الذاتي لأعمدة رقيقة ذات كثافة منتظمة أو غير منتظمة حول محور عشوائي عمودي على العمود، وكذلك اشتقاق العزم القصور الذاتي لقشرة أسطوانية رقيقة، أو قرص، أو أجسام صلبة يمكن اعتبارها مكونة من حلقات أو قشور متماثلة المحور حول محور يمر بمراكزها (مثل الحلقات الدائرية).

يجب أن يمتلك الطلاب فهماً نوعياً للعوامل التي تؤثر على العزم القصور الذاتي؛ على سبيل المثال، كيف يكون العزم القصور الذاتي أكبر عندما تكون الكتلة أبعد عن محور الدوران، وهو السبب في أن الحلقة لها عزم قصور ذاتي أكبر من القرص الصلب ذي نفس الكتلة ونصف القطر.

الهدف التعليمي 5.5.A: وصف الظروف التي تظل فيها سرعة زاوية النظام ثابتة.

• 5.5.A.1 قد يظهر النظام توازناً دورانياً (سرعة زاوية ثابتة) دون أن يكون في حالة توازن انتقالي، والعكس صحيح.
  • 5.5.A.1.i تصف مخططات الجسم الحر ومخططات القوة طبيعة القوى والعزوم المؤثرة على جسم أو نظام صلب.
  • 5.5.A.1.ii التوازن الدوراني هو ترتيب للعزوم بحيث يكون صافي العزم المؤثر على النظام مساوياً للصفر.
    • معادلة: $\sum \tau_i = 0$
  • 5.5.A.1.iii النظير الدوراني لقانون نيوتن الأول ينص على أن النظام سيحافظ على سرعة زاوية ثابتة فقط إذا كان صافي العزم المؤثر عليه مساوياً للصفر.
• 5.5.A.2 ينص نظير دوراني لقانون نيوتن الثاني على أنه إذا كانت العزوم المؤثرة على نظام صلب غير متوازنة، يجب أن تتغير سرعة زاوية النظام.

بيان الحدود: لا يتوقع امتحان AP Physics C: Mechanics من الطلاب تحليل الدوران في مستويات متعددة في آنٍ واحد.

الهدف التعليمي 5.6.A: وصف الظروف التي تتغير فيها سرعة زاوية النظام.

• 5.6.A.1 تتغير السرعة الزاوية عندما لا يساوي صافي العزم المؤثر على الجسم أو النظام الصفر.
• 5.6.A.2 معدل تغير السرعة الزاوية لنظام صلب يتناسب طردياً مع صافي العزم المؤثر على النظام الصلب ويكون في نفس الاتجاه. يتناسب التسارع الزاوي للنظام الصلب عكسياً مع القصور الذاتي الدوراني للنظام الصلب.
  • المعادلة: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\Sigma\tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
• 5.6.A.3 لوصف نظام صلب دوار بشكل كامل، قد يلزم إجراء تحليلين خطي ودوراني بشكل مستقل.