النطاق والشروط المسبقة
إطار ACT، تحديث فبراير 2026. حالات الفصل الدراسي هنا ليست نموذج ACT رسمي.
- اميز بين الأعداد النسبية وغير النسبية دون افتراض أن مجموعها يحتفظ بالنوع
- طبق قواعد الأسس والجذور على المجال المسموح به
- احسب بالأعداد المركبة باستخدام i²=-1 والمرافق
المتطلبات السابقة: قانون التوزيع؛ الجذور الرئيسية؛ $i^2=-1$.
شرح واختيار الطريقة
العدد النسبي هو نسبة أعداد صحيحة بمقام غير صفري؛ الكسر العشري المنتهي أو الدوري هو نسبي. العدد الحقيقي غير النسبي ليس مثل هذه النسبة. إغلاق الأعداد النسبية تحت الجمع والضرب لا يعني إغلاق الأعداد غير النسبية. الجذور الدقيقة قد تتبسط: √18=3√2 يبقى غير نسبي، بينما √16=4 هو نسبي.
بالنسبة للأساس الموجب، يجمع a^(m/n) بين الجذر النوني والأس الصحيح. الأس السالب يشكل مقلوباً ويتطلب أساساً غير صفري. اميز بين √(x²)=|x| و x. عندما يكون هناك جذر زوجي، احترم المجال الحقيقي والجذر الرئيسي غير السالب. وزع القوى على الضرب، وليس على الجمع: (a+b)² يتضمن الحد العرضي.
العمل الحسابي المركب يستخدم i²=-1. أضف الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية بشكل منفصل، واضرب بالتوزيع قبل اختزال i². للقسمة على a+bi، اضرب البسط والمقام في a-bi؛ المقام الناتج هو a²+b² عندما يكون الأصلي غير صفري. الجذور المركبة تسمح بحلول لمعادلات مثل x²=-9 التي ليس لها جذور حقيقية.
يشمل ACT المعزز لا يزال موضوعات متقدمة مختارة، ولا يتم تزويد ورقة formulas. بنّ التعارف مع القواعد المعرفة بدلاً من التخمين من عرض الآلة الحاسبة. تحقق مما إذا كان السؤال يطلب حلولاً حقيقية أو مركبة، أو جذراً دقيقاً أو تقريباً عشرياً. التحقيقات المحلية هنا تكوينية، وليست نموذجاً رسمياً مدرجاً.
المرافق المعقد يغير إشارة الجزء التخيلي. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ للأعداد الحقيقية $a,b$. وبالتالي $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. المقام غير صفري؛ اميز القيمة الدقيقة عن تقريبها العشري.
مثال محلول. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. بالنسبة لـ (1+i)/(1-i)، بالضرب في 1+i نحصل على (1+i)²/2=2i/2=i. حلول x²+9=0 هي ±3i؛ لا أحد منهما حقيقي.
مواد تدريبية
كل سؤال تمريني أدناه يذكر جميع البيانات التي يحتاجها.
تدريب مع الاستدلال
تدريب 1
احسب $(3-2i)/(1+i)$ في صورة $a+bi$.
التبرير. اضرب كلا الجزأين في $1-i$. البسط هو $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. والمقام هو 2. الإجابة هي $1/2-(5/2)i$. والضرب مرة أخرى في $1+i$ يُعيد $3-2i$.
تدريب 2
قيّم $32^{2/5}$ و $\sqrt{(-7)^2}$. حل $z^2+16=0$ على الأعداد المركبة.
التبرير. الجذر الخامس لـ 32 هو 2، لذا $32^{2/5}=2^2=4$. والجذر التربيعي الأساسي هو $|-7|=7$. وبالنسبة للمعادلة، $z^2=-16$ يعطي $z=4i,-4i$، وكلاهما غير حقيقي.
تدريب 3
قدم مثالاً واحداً يوضح أن حاصل ضرب عددين غير نسبيين يمكن أن يكون نسبيًا، ومثالًا آخر يكون فيه غير نسبي.
التبرير. $\sqrt2\sqrt2=2$ عدد نسبي. و$\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ عدد غير نسبي. لا يتبع من التسمية "غير نسبي" وحدها إما الإغلاق أو عدم الإغلاق لجميع الضربيات.
تمرين 4
صنّف $\sqrt{50}$ و$\sqrt{50}\sqrt2$ كنسبية أو غير نسبية. احسب $32^{2/5}$ و$2^{-3}$. استخدم $\sqrt2$ و$-\sqrt2$ لاختبار ما إذا كان مجموع عددين غير نسبيين يجب أن يكون غير نسبي.
التبرير. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ عدد غير نسبي، بينما $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ عدد نسبي. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ و$2^{-3}=1/2^3=1/8$. مجموع العددين غير النسبيين يساوي صفراً، وهو عدد نسبي؛ فالعدد غير النسبي ليس مغلقاً تحت عملية الجمع. هذه الضربيات لجذور زوجية تستخدم جذوراً حقيقية غير سالبة.
الحدود والاستخدام التالي
لا تستنتج أن حدين غير نسبيين يجب أن يكون لهما مجموع غير نسبي، أو وزّع مربعاً على الجمع، أو استبدل √(x²) بـ x عندما يمكن أن يكون x سالباً.
هذه مهام تدريبية أصلية كُتبت لهذا الكورس، وليست أسئلة امتحانات رسمية.