GAC010 数学 II：概率、统计与金融

较低的标题利率未必导致较低总额，较大的样本量未必产生更具代表性的结果。数学II通过明确的规则、计算和证据界限来探讨此类问题。

GAC010涵盖数列、金融、概率与统计。您所在考中心的当前大纲决定评估任务、权重、工具及截止日期。测验、项目、考试和平时作业可能使用不同的指令；这些原始练习纸并不确立其官方模式或大学学分。

展示已知数据、公式适用理由、符号方程及代入过程。注明单位并解释结果。统计摘要描述的是特定观测集或指定模型；它不会自动确立因果关系或关于整个总体的结论。

示例中的所有金额、利率、费用和支付规则均为虚构的教学条件。请使用其指定的时间和四舍五入假设，而非假设实际的税收或借贷规则。

A 数列 is an ordered list of numbers; a 级数 is their sum.

An 等差数列 adds a fixed common difference $d$ each step. A 等比数列 multiplies by a fixed common ratio $r$.

• The sums are $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ and $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ for $r \neq 1$.
• 公比为 $|r| < 1$ 的几何级数具有无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$。
• 将期数与总额区分开。某些金融模型呈几何复利增长，而另一些使用单利或现金流。请根据指定规则匹配模型。

例题。 行计数以恒定差值递增

已知：行计数为4、7和10，并保持相同差值继续。因此$a=4$和$d=3$。对于第五行：

对于前五行的总和，请使用算术级数求和公式，而非第五项的值。

练习纸2.1提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

本单元是日常生活中的算术，用英语表述。

• 税前工资 is what you earn; 税后工资 is what arrives after deductions such as tax and insurance.
• 单利 is $I = Prt$ — interest on the original amount only.
• 复利是$A = P(1+r)^n$——即利息产生的利息，这就是为什么它 geometric.
• 折旧是账面价值的减少。固定百分比模型使用$V_n=V_0(1-r)^n$；其他折旧惯例可采用不同规则。
• A 折扣 of 20% multiplies by 0.8. Two successive discounts of 20% and 10% multiply by $0.8 \times 0.9 = 0.72$, which is a 28% reduction, not 30%.

例题。 分别计算常规工时和加班工时

已知：常规工时8小时，每小时20个单位；加班工时2小时，费率为常规费率的1.5倍。在相加工资前需将两类分开。

如果虚构的固定扣除额为15个单位，则从税前工资中扣除一次。

练习纸2.2提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

• 在指定的恒定折现率和时间假设下，未来金额的现值为： $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• 年金是在定期间隔内支付的指定款项。贷款还款计划可能包含变动金额或调整后的最终付款；请明确利息是在付款前还是付款后计算。
• 标签APR是一项年利率度量，其计算方式和包含的费用取决于指定惯例。本练习纸使用明确定义的期间利率，而非未说明的APR惯例。
• ⚠ 名义上的12%教学利率（月利率1%）对应的有效年增长率为$(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$。不同的复利频率或费用表需要不同的计算。

例题。 先计息再付款，按此顺序

已知：期初余额1000个单位，期间利率2%，期末付款300个单位。在此指定惯例下，利息在付款之前计算。

下一期的利息基于720计算，而非原始本金。

练习纸2.3提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

概率 measures how likely an event is, on a scale from 0 to 1.

• For equally likely outcomes, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Events are 互斥 when they cannot both happen: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Events are 独立 when one does not affect the other: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• The 对立事件 rule, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, is often the fastest route to an answer containing "at least one".
• 计数方法 supply the denominator: a 排列 counts ordered selections, a 组合 counts unordered ones.

条件概率是$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$针对$P(B)>0$。并集减去重叠部分：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。所提供表格中的关联本身并不确立因果关系。

例题。 第二次抽取取决于第一次

已知：2红1蓝筹码，不放回随机抽取两次。要得到两红，请沿“红-红”路径进行并将条件概率相乘。

第一次抽到蓝色后只剩红色筹码；“蓝-蓝”路径的概率为零。这两次抽取不是独立的。

练习纸2.4提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

• A 总体 is everyone you want to describe; a 样本 is who you actually measure.
• 推广到总体需要一个合适的代表性样本以及对选择和无响应情况的诚实说明。班级调查可以描述该班级，但不能确立全校百分比。
• 定性数据是类别；定量数据衡量数量，分为 离散 (counted) or 连续 (measured).
• 偏差源于询问对象、回答对象以及问题措辞，单纯依靠算术无法修复缺失或有系统选择偏差的观测值。

例题。 等高条形图可能掩盖不等频数

已知：区间0到10的频数为20；区间10到30的频数为20。由于宽度不同，需计算频数密度。

第二个条形高度减半但宽度加倍。两者的面积均代表20个观测值。

练习纸2.5提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

对于不等宽直方图组，高度为频数除以组宽，从而使条形面积代表频数。请将分类变量置于分离的条形图中，数值连续型变量置于直方图中。

• The 平均数 is the total divided by the count. It uses every value, and every outlier.
• 中位数是有序数据中的中间值。移动极端值但不改变有序中间值可能会使其保持不变。
• 众数是最频繁出现的值，它可以识别最频繁的类别而不强加数值标尺。分布可能有多个众数或没有唯一众数。
• ⚠ 根据问题选择合适的摘要。高极值会将均值拉向高于中位数的方向。均值仍衡量每观测值的总量；中位数定位有序数据的中间位置。两者都不表示大多数观测值等于它。

例题。 组大小决定合并均值

已知：A组有10个分数，均值为60；B组有20个分数，均值为75。在合并前先恢复每组的总量。

60和75的简单平均值为67.5，这忽略了数量不相等的事实。

练习纸2.6提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

• 全距 是最大值减去最小值——即完整跨度，因此极端值会显著改变它。
• 四分位距 (IQR) 是按照指定的四分位数惯例跨越中间一半数据的$Q_3-Q_1$差值。箱线图 显示四分位数和中位数，其须线规则必须加以说明。
• 标准差 使用平方偏差来总结离散程度。对于完整总体，使用： $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$。样本估计值在该指定惯例下使用$s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$。方差具有平方单位；标准差具有原始单位。
• 较大的标准差表示更宽的离散程度。两个数据集可以共享相同的均值并描述 completely different situations.

例题。 读取五数概括法而非每一个观测值

已知的五数概括法：最小值2，$Q_1=4$，中位数6，$Q_3=8$，最大值12。整体跨度和中间一半跨度不同。

箱体无法识别每一个原始数值、样本量或离散度产生的原因。

练习表 2.7 提供了一套逐步加难的题目并附有解题过程。

对于练习表2.7，四分位数是有序半列表的中位数，奇数个数据时排除总中位数。须线延伸至最小值和最大值。不要将该惯例与软件插值四分位数或离群值边界须线混淆。

• 正态分布 是一种由均值和正标准差确定的连续对称钟形模型。仅凭这两个摘要指标不能确定观测数据是否遵循此模型。
• 在正态模型下，近似经验法则为：约68%的值位于均值一个标准差范围内，95% within two, and 99.7% within three.
• A 标准分 says how many standard deviations a value sits from the mean: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$，这使得两种不同的刻度具有可比性。

对于正态模型，使用累积面积$\Phi(z)=P(Z\leq z)$和对称性$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$。区间通过减去两个累积边界得出。期望值是样本量乘以概率，不必是整数；观测值是整数。

例题。 阈值是标准化值之外的面积

已知：一个虚构的测量模型具有$\mu=50$和$\sigma=10$。对于高于60的值，对阈值进行标准化。

使用提供的累积面积的补集。

这是模型概率，而不是保证有限样本中恰好有15.87%超过60。

练习表 2.8 提供了一套逐步加难的题目并附有解题过程。