GAC 数学

价格下跌 20% 后上涨 20%，最终不会回到初始值。数学 I 课程帮助你运用方法、单位和清晰的解释来阐明此类结果。六个单元涵盖了算术、代数、图表、几何、三角学和指数模型。

您所在中心的当前评估简报是任务要求、权重、允许使用的工具及截止日期的权威依据。课堂测验 课堂测验需在规定的课堂条件下完成。项目 项目可能涉及收集数据、计算和报告；考试 考试和 平时作业 平时作业可能有不同的指示。请勿从这些练习纸中推断出官方评估模式。

术语记录本 术语记录本可用于记录英文术语、用自己的话表述的含义以及一个小例子。如果该记录本需提交或评估，请遵循您所在中心的指示。

阅读 指令词 指令词：solve（求解） 要求找出满足条件的值，simplify（化简） 要求得出等价表达式，justify（论证） 要求提供理由。展示有效的方法以便读者核对结果是如何得出的。每项任务的评分标准决定了其分值。

附带的六张练习纸是基于 GAC004 原创的材料，并非官方试卷。它们的解答根据明确的数学步骤给分，而非书面报告的篇幅。

后续每个单元都假设掌握数字词汇。

整数 整数是自然数，包括负整数和零。有理数 有理数可以 写成两个整数之比且分母不为零；无理数 无理数则不能，且 $\pi$ 和 $\sqrt{2}$ 是标准示例。质数 质数是大于 1 的正整数，恰好有两个正因数，即它本身和 1。

运算顺序 确定了书面表达式的含义：先括号，然后 指数，然后是乘法和除法，最后是加法和减法，从左到 在某个级别内。

• 因数（factor）能整除一个数；倍数（multiple）是当你将 乘以它。6是24的因数，且24是6的倍数。
• 最大公因数（HCF） 和 最小公倍数（LCM） 来自质因数：$24 = 2^3 \times 3$ 和 $36 = 2^2 \times 3^2$，因此最大公约数是 $2^2 \times 3 = 12$ 和最小公倍数是 $2^3 \times 3^2 = 72$。
• 百分比（percentage）是分母为 100 的分数。增加 15% 相当于乘以 $1.15$；减少 15% 相当于乘以 $0.85$。逆转百分比变化意味着 除法，绝不再减去相同的百分比。
• 有效数字 有效数字是保留用于表达指定精度的数值位数。它们本身并不能确定测量的准确度。$0.004\,072$ 保留三位 有效数字为 $0.004\,07$。
• 科学记数法 科学记数法将数字写为 $a \times 10^n$ 的形式，其中 $1 \le |a| < 10$ 表示非零数，n 为整数。它是如何 计算器显示一个非常大或非常小的答案。

工作示例。 下降和上升使用不同的基数

已知：虚构的价格为 80 单位，先下降 20%，然后上升 20%。为什么要使用连续乘数？每次变化都是基于当前价格计算的。

价格并未回到 80。下降幅度为 16，而随后的上升幅度为 12.8，因为基数不同。

继续完成练习纸 1.1。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

代数是带有代表数字的字母的算术，它有自己的一套词汇。

在 $5x^2 - 3x + 7$ 中，整体是一个 表达式；$5x^2$、$-3x$ 和 $7$ 是它的 terms 项；5 是 $x^2$ 的 coefficient 系数；而 7 是一个 constant 常数。

一个方程表示两个表达式相等，并用于求解某个值。一个恒等式 恒等式在其定义域内的所有值上都成立。不等式 不等式通过 $<$ 比较两个表达式， $\le$、$>$ 或 $\ge$。

⟦展开⟧ 是指去掉括号；⟦因式分解⟧ 是指将它们重新组合。

• 解一元一次方程意味着对等式两边执行相同的运算，直到 该字母单独出现。
• 一元二次方程 一元二次方程具有 $ax^2+bx+c=0$ 的形式，其中 $a\ne0$。合适时进行因式分解，或使用 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
• 联立方程 联立方程是指两个含有两个未知数的方程，通过代入法求解 或通过消元法求解。对于两个线性方程，唯一解是其交点。平行不重合的直线无解；重合的直线有无穷多解。
• ⚠ 当你将不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向反转。 只有当因数为零时，乘积才为零，所以 $-2x > 6$ 或 $x < -3$。将两者代回原方程是检查的方法，这只需十秒钟。

工作示例。 除以负数时反转不等号

已知：求解 $7-3x>1$。两边同时减去 7，然后除以负 3。最后一步运算会反转不等号。

空心圆排除了 2。检查 $x=1$：$7-3(1)=4>1$；边界 $x=2$ 使等式成立，因此被排除。

继续完成练习纸 1.2。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

图形将方程转化为图像，而坐标几何则用于测量该图像。

非垂直直线可写为 $y = mx + c$ 的形式，其中 $m$ 是 斜率 斜率，$c$ 是 y-intercept y 轴截距。斜率等于纵坐标变化量除以横坐标变化量。

• 不同的非垂直直线当斜率相等时为 平行 平行线。两条非垂直直线当斜率之积等于 $-1$ 时为 垂直 垂直线。垂直直线的斜率未定义；垂直线与水平线互相垂直。
• 线段的中点是端点的平均值，而距离 两点之间的距离源于勾股定理：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
• 二次函数的图像是一条抛物线。其顶点是转折点，且该 根 根是曲线与 $x$-轴相交处的 x 值，即 $y=0$ 的解。重根接触但不穿过坐标轴；某些二次方程没有实根。
• 要图形化求解两个方程，绘制两者并读取交点的坐标 交点。答案的准确度仅取决于绘图精度，因此代数 检查事项。

工作示例。 经过两个给定点的上升直线

已知：$A=(1,2)$ 和 $B=(4,8)$。由于直线非垂直，应使用斜率公式计算。

直线方程为 $y=mx+c$。代入点 A 求截距。

因此 $y=2x$。图中水平变化量为 3，垂直变化量为 6。

继续完成练习纸 1.3。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

平面几何涉及平面形状，立体几何涉及三维形状，欧几里得几何是连接它们的推理。 欧几里得几何是将它们联系起来的推理。

直线上的角度之和为$180°$，围绕一点的角度之和为$360°$，以及内部 平面欧几里得三角形的内角之和为 $180°$。对于边数为 $n$ 的简单 多边形 多边形，其内角之和为 到 $(n - 2) \times 180°$。

• 全等 全等形状在大小和形状上完全相同；相似 相似形状具有 形状相同，所有长度成同一比例。
• 勾股定理 holds in a right-angled triangle: $a^2 + b^2 = c^2$, where $c$ 是 hypotenuse（斜边）。
• 面积 用平方单位测量，体积 用立方单位测量。圆柱体具有 体积 $\pi r^2 h$；球体的体积为 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$，表面积为 $4\pi r^2$。
• ⚠ 缩放不是线性的。如果一个立体图形的每条长度都加倍，其面积将乘以 $2^2 = 4$ 及其体积由 $2^3 = 8$。

工作示例。 三棱柱具有恒定横截面

已知：直角三角形两直角边分别为 3 和 4 cm；棱柱长度为 10 cm。求横截面积，然后乘以棱柱长度。

倾斜的三角形边长不是其垂高。体积不等于三角形端面的面积。

继续完成练习纸 1.4。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

三角函数将三角形的角度与其边长联系起来。

在直角三角形中，设$\theta$为其中一个锐角，则三个比值为 $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ 和 $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

对于非退化的平面欧几里得三角形，适用 正弦定理 正弦定理和 余弦定理 余弦定理：

• 角度可以用度或弧度来测量，其中 $\pi$ 弧度是 $180°$。在每道题之前，请检查计算器的模式。
• 单位圆 extends the ratios beyond $90°$ and explains why $\sin$ and $\cos$ repeat every $360°$: they are periodic.
• 方位角 is measured clockwise from north and always written with three figures, such as $075°$.
• 仰角与俯角 仰角与俯角分别从水平面向上和向下测量。如果答案需要高于地面的高度，请加上观测者或仪器的高度。当已知“边-边-角”数据时，正弦定理可能对应两个三角形：请将两个互补角分别与剩余角度之和进行比对。

工作示例。 利用水平距离和角度求高度

已知：水平距离 $d=12$ m 和仰角 $\theta=30^\circ$。高度 h 位于对边，d 位于邻边，因此在度数模式下使用正切函数。

这是相对于观测者水平视平线的高度，并不自动等同于离地高度。

继续完成练习纸 1.5。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

这两个函数描述了增长和衰减，并且互为逆运算。

指数函数 指数函数的形式为 $y=a^x$，其中 $a>0$ 和 $a\ne1$：变量位于 指数 指数位置。每增加一个单位步长，其值乘以 a。当 $a>1$ 时增长，当 $0<a<1$ 时衰减。其 y 轴截距为 1，且值始终为正；x 轴是一条水平渐近线。

A 对数 answers the reverse question. $\log_a y = x$ means exactly $a^x = y$, so $\log_{10}1000=3$。对于实数对数，真数必须为正，底数必须为正且不等于 1。图 $y=\log_a x$ 经过点 $(1,0)$，且具有垂直渐近线 $x=0$。

• 当真数为正且底数相同时，运算法则将乘法转化为加法，这正是对数之所以有用的原因，尤其适用于 求解未知数在指数中的方程。
• 自然对数 use the base $e \approx 2.718$ and are written $\ln$.
• 复利 is exponential: $A = P(1 + r)^n$ after $n$ periods.
• 指数衰减 指数衰减的底数介于 0 和 1 之间，可以在特定假设下描述每个周期的留存比例。但这并不保证真实过程会无限期地遵循该模型。

工作示例。 重复减少是相乘而不是减去固定金额

已知：虚构的数量起始于 100 单位，每个完整周期减少 20%。留存比例为 0.8，因此使用乘法模型。

第一次减少 20 单位，第二次减少 16 单位。如果每个周期固定减去 20，则是另一种模型。

继续完成练习纸 1.6。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

较低的标题利率未必导致较低总额，较大的样本量未必产生更具代表性的结果。数学II通过明确的规则、计算和证据界限来探讨此类问题。

GAC010涵盖数列、金融、概率与统计。您所在考中心的当前大纲决定评估任务、权重、工具及截止日期。测验、项目、考试和平时作业可能使用不同的指令；这些原始练习纸并不确立其官方模式或大学学分。

展示已知数据、公式适用理由、符号方程及代入过程。注明单位并解释结果。统计摘要描述的是特定观测集或指定模型；它不会自动确立因果关系或关于整个总体的结论。

示例中的所有金额、利率、费用和支付规则均为虚构的教学条件。请使用其指定的时间和四舍五入假设，而非假设实际的税收或借贷规则。

A 数列 is an ordered list of numbers; a 级数 is their sum.

An 等差数列 adds a fixed common difference $d$ each step. A 等比数列 multiplies by a fixed common ratio $r$.

• The sums are $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ and $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ for $r \neq 1$.
• 公比为 $|r| < 1$ 的几何级数具有无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$。
• 将期数与总额区分开。某些金融模型呈几何复利增长，而另一些使用单利或现金流。请根据指定规则匹配模型。

例题。 行计数以恒定差值递增

已知：行计数为4、7和10，并保持相同差值继续。因此$a=4$和$d=3$。对于第五行：

对于前五行的总和，请使用算术级数求和公式，而非第五项的值。

练习纸2.1提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

本单元是日常生活中的算术，用英语表述。

• 税前工资 is what you earn; 税后工资 is what arrives after deductions such as tax and insurance.
• 单利 is $I = Prt$ — interest on the original amount only.
• 复利是$A = P(1+r)^n$——即利息产生的利息，这就是为什么它 geometric.
• 折旧是账面价值的减少。固定百分比模型使用$V_n=V_0(1-r)^n$；其他折旧惯例可采用不同规则。
• A 折扣 of 20% multiplies by 0.8. Two successive discounts of 20% and 10% multiply by $0.8 \times 0.9 = 0.72$, which is a 28% reduction, not 30%.

例题。 分别计算常规工时和加班工时

已知：常规工时8小时，每小时20个单位；加班工时2小时，费率为常规费率的1.5倍。在相加工资前需将两类分开。

如果虚构的固定扣除额为15个单位，则从税前工资中扣除一次。

练习纸2.2提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

• 在指定的恒定折现率和时间假设下，未来金额的现值为： $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• 年金是在定期间隔内支付的指定款项。贷款还款计划可能包含变动金额或调整后的最终付款；请明确利息是在付款前还是付款后计算。
• 标签APR是一项年利率度量，其计算方式和包含的费用取决于指定惯例。本练习纸使用明确定义的期间利率，而非未说明的APR惯例。
• ⚠ 名义上的12%教学利率（月利率1%）对应的有效年增长率为$(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$。不同的复利频率或费用表需要不同的计算。

例题。 先计息再付款，按此顺序

已知：期初余额1000个单位，期间利率2%，期末付款300个单位。在此指定惯例下，利息在付款之前计算。

下一期的利息基于720计算，而非原始本金。

练习纸2.3提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

概率 measures how likely an event is, on a scale from 0 to 1.

• For equally likely outcomes, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Events are 互斥 when they cannot both happen: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Events are 独立 when one does not affect the other: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• The 对立事件 rule, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, is often the fastest route to an answer containing "at least one".
• 计数方法 supply the denominator: a 排列 counts ordered selections, a 组合 counts unordered ones.

条件概率是$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$针对$P(B)>0$。并集减去重叠部分：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。所提供表格中的关联本身并不确立因果关系。

例题。 第二次抽取取决于第一次

已知：2红1蓝筹码，不放回随机抽取两次。要得到两红，请沿“红-红”路径进行并将条件概率相乘。

第一次抽到蓝色后只剩红色筹码；“蓝-蓝”路径的概率为零。这两次抽取不是独立的。

练习纸2.4提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

• A 总体 is everyone you want to describe; a 样本 is who you actually measure.
• 推广到总体需要一个合适的代表性样本以及对选择和无响应情况的诚实说明。班级调查可以描述该班级，但不能确立全校百分比。
• 定性数据是类别；定量数据衡量数量，分为 离散 (counted) or 连续 (measured).
• 偏差源于询问对象、回答对象以及问题措辞，单纯依靠算术无法修复缺失或有系统选择偏差的观测值。

例题。 等高条形图可能掩盖不等频数

已知：区间0到10的频数为20；区间10到30的频数为20。由于宽度不同，需计算频数密度。

第二个条形高度减半但宽度加倍。两者的面积均代表20个观测值。

练习纸2.5提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

对于不等宽直方图组，高度为频数除以组宽，从而使条形面积代表频数。请将分类变量置于分离的条形图中，数值连续型变量置于直方图中。

• The 平均数 is the total divided by the count. It uses every value, and every outlier.
• 中位数是有序数据中的中间值。移动极端值但不改变有序中间值可能会使其保持不变。
• 众数是最频繁出现的值，它可以识别最频繁的类别而不强加数值标尺。分布可能有多个众数或没有唯一众数。
• ⚠ 根据问题选择合适的摘要。高极值会将均值拉向高于中位数的方向。均值仍衡量每观测值的总量；中位数定位有序数据的中间位置。两者都不表示大多数观测值等于它。

例题。 组大小决定合并均值

已知：A组有10个分数，均值为60；B组有20个分数，均值为75。在合并前先恢复每组的总量。

60和75的简单平均值为67.5，这忽略了数量不相等的事实。

练习纸2.6提供了一套循序渐进的题目并附有解答。

• 全距 是最大值减去最小值——即完整跨度，因此极端值会显著改变它。
• 四分位距 (IQR) 是按照指定的四分位数惯例跨越中间一半数据的$Q_3-Q_1$差值。箱线图 显示四分位数和中位数，其须线规则必须加以说明。
• 标准差 使用平方偏差来总结离散程度。对于完整总体，使用： $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$。样本估计值在该指定惯例下使用$s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$。方差具有平方单位；标准差具有原始单位。
• 较大的标准差表示更宽的离散程度。两个数据集可以共享相同的均值并描述 completely different situations.

例题。 读取五数概括法而非每一个观测值

已知的五数概括法：最小值2，$Q_1=4$，中位数6，$Q_3=8$，最大值12。整体跨度和中间一半跨度不同。

箱体无法识别每一个原始数值、样本量或离散度产生的原因。

练习表 2.7 提供了一套逐步加难的题目并附有解题过程。

对于练习表2.7，四分位数是有序半列表的中位数，奇数个数据时排除总中位数。须线延伸至最小值和最大值。不要将该惯例与软件插值四分位数或离群值边界须线混淆。

• 正态分布 是一种由均值和正标准差确定的连续对称钟形模型。仅凭这两个摘要指标不能确定观测数据是否遵循此模型。
• 在正态模型下，近似经验法则为：约68%的值位于均值一个标准差范围内，95% within two, and 99.7% within three.
• A 标准分 says how many standard deviations a value sits from the mean: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$，这使得两种不同的刻度具有可比性。

对于正态模型，使用累积面积$\Phi(z)=P(Z\leq z)$和对称性$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$。区间通过减去两个累积边界得出。期望值是样本量乘以概率，不必是整数；观测值是整数。

例题。 阈值是标准化值之外的面积

已知：一个虚构的测量模型具有$\mu=50$和$\sigma=10$。对于高于60的值，对阈值进行标准化。

使用提供的累积面积的补集。

这是模型概率，而不是保证有限样本中恰好有15.87%超过60。

练习表 2.8 提供了一套逐步加难的题目并附有解题过程。

平均速度无法告诉你每一个瞬时速度，且带符号的位移并不总是等于总路程。微积分使这些区别变得精确。

GAC016 涵盖微分（differentiation）、积分（integration）及其应用。你所在中心的当前大纲决定了评估任务和评分要求；这些原始练习纸不确立大学学分决定或官方考试模式。

陈述自变量、定义域和单位。记号 $dy/dx$ 是关于 x 的导数；y 上方的点通常表示关于时间的导数。只有当它们的自变量一致时，这些记号才描述相同的运算。

对于应用题，描述速率或累积值在指定模型中的含义。体积变化率为负每秒 3 立方厘米，意味着体积以该速率下降，而不是体积本身为负。

A 导数 is a rate of change: how fast $y$ changes as $x$ changes. Geometrically it is the 切线斜率 at a point.

该极限即为定义。从定义求导（Differentiation from first principles）使用非零 h 的差商，然后取其极限。单侧极限不相等（如 $|x|$ 在零处）会导致即使函数连续也无法求得导数。

• 幂法则（power rule）适用于幂可微的定义域：若 $y = x^n$，则 $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$。
• The 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
• 商法则（quotient rule）适用于 $v\ne0$ 的情况：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$。
• The 链式法则: if $y = f(g(x))$ then $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• 驻点 occur where $f'(x) = 0$. The 二阶导数 then 在驻点非零时对驻点进行判定：负值给出局部极大值（maximum），正值给出局部极小值（minimum）。二阶导数为零时无结论；请使用一阶导数符号或其他证据。驻点拐点既不是极值也不是极小值。

例题。切线斜率不同于割线斜率

已知：$f(x)=x^2$。x 等于 1 和 2 之间的割线斜率为 3，但在 x 等于 1 处的导数为 2。

有限区间上的平均斜率不必等于任一端点的瞬时斜率。

使用原始练习纸 3.1 对照其解答测试方法、定义域和解释。

不定积分寻找原函数。定积分衡量带符号的累积量，这可能与几何面积不同。对于连续被积函数，微积分基本定理（fundamental theorem of calculus）将定积分与其界限处原函数值的差联系起来。

• An 不定积分 has no limits and needs the 积分常数: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ for $n \neq -1$.
• 定积分 (definite integral) 有上下限，结果为一个数值： $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• integration by substitution(换元积分法)是链式法则的逆运算。
• ⚠ 忘记在不定积分中加上 $+c$ 是 模块中最常见的失分点，即使其他部分回答正确也会因此丢分。

例题。负面积和正面积可以相互抵消

已知：$f(x)=x$ 从 -1 到 1。其定积分为零，因为负贡献和正贡献相互抵消。

几何面积则是两个三角形区域的大小之和。

使用原始练习纸 3.2 对照其解答测试方法、定义域和解释。

• 最优化 (Optimisation) 寻找某数量的最大值或最小值：将该数量 作为单一变量的函数在指定的可行域内，进行微分，找出候选解并论证所需的极值。根据相关性检查包含的边界和整数约束。
• 变化率 (Rates of change) 链式相连：$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$。
• 两曲线间面积（Area between two curves）是 $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$，其中 $f$ 是该整个区间上的上曲线。若顺序改变，请在交点处分段计算。
• 边际成本与边际收益（Marginal cost and revenue）是给定连续成本和收益模型的导数。它们是瞬时速率，而非自动确定的离散单位变化量。

例题。固定周长留有一个可变面积

已知：矩形周长为 20，所以长加宽等于 10。设宽为 x；长为 $10-x$ 且 $0<x<10$。

该驻留候选值为 $x=5$。由于 $A''(x)=-2<0$ 以及定义域两端的面积均趋近于零，此候选值为全局最大值。它是一个边长为 5 × 5 的正方形，面积为 25。

使用原始练习纸 3.3 对照其解答测试方法、定义域和解释。

重复集合成员只计一次，二进制进位可能超出固定宽度，且最少边数的路径不一定具有最小权重。离散数学明确了这些规则。

GAC024 涵盖集合、计数系统、二进制逻辑、算法和网络。你所在中心的当前大纲决定了评估任务、工具、权重和截止日期。这些原始练习纸不确立官方评分规则或大学学分决定。

求解前声明论域、表示宽度、允许输入或图假设。展示足够的演算过程以便另一读者重现结果，并区分数学模型与其实际实现。

• 集合 是一个由不同对象组成的集合。顺序和重复无关紧要。
• 并集 $A \cup B$ 是任意一个集合中的元素；交集 $A \cap B$ 是公共的元素 两者皆适用；补集（set complement）是指论域中属于全集但不属于该集合的所有元素。
• 关系 (Relation) 将两个集合的元素配对。函数 (Function) 是一种关系，其中每个
• 关系 将两个集合中的元素配对。函数 是一种关系，其中每个 在其声明的定义域内，每个输入恰好对应一个输出。不同的输入可能共享同一个输出；只有当输出能唯一标识其对应的输入时，逆关系才构成函数。
• Venn diagram 韦恩图将集合问题转化为图形，可显示不相交区域及其数量。请验证这些区域的总和是否等于给定的全集总数。

inclusion-exclusion principle 容斥原理减去被重复计算的交集一次：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$。

Worked example. 仅对交集减去一次

已知：30名学生，18人学习法语，15人学习德语，7人两门都学。交集部分同时包含在两个学科的总数中。

仅学法语为$18-7=11$，仅学德语为$15-7=8$。四个不相交区域的总和为30。

练习表 4.1 包含难度递增的问题及独立核对的答案。

• 一个位置number base 进制 b 使用从零到 b-1 的数字以及位权 $b^i$。Decimal 十进制使用十，binary 二进制，十六进制
• 每一位的数值为其位值：在二进制中，数位依次为 1、2、4、8、16 等。
• Hexadecimal 十六进制是二进制的简写：一个十六进制数字恰好对应四位二进制位，因此转换可将指定宽度的二进制模式按四位一组进行分组。前导零保留宽度而不改变无符号值的大小。

对于 n 位无符号数，数值范围从零到 $2^n-1$。需区分不受限制的求和与存储的固定宽度结果；若明确给出了回绕规则，则保留低 n 位。

Worked example. 位权决定十进制值

已知数字 $1101_2$。从右向左使用位权：1、2、4 和 8。

相同的值在十六进制中为 D。前导零不会改变该非负值，但可用于记录预期的宽度。

练习表 4.2 包含难度递增的问题及独立核对的答案。

• 二进制运算 与十进制加法类似，在 2 处进位而非在 10 处。
• 布尔代数 (Boolean algebra) 在真和假之间使用 AND、OR 和 NOT 进行操作。
• 真值表 (Truth table) 列出每种输入组合及其输出，它是证明两个逻辑表达式等价
• A truth table 真值表列出所有布尔输入组合及对应的输出。逐行匹配可证明相同有限布尔输入的等价性；但这不能证明物理电路的时序或真实系统的安全性。
• Logic gates 逻辑门实现指定的运算，logic circuit 逻辑电路将它们连接起来。根据连接方式和输入约定追踪抽象逻辑。

使用包容性 OR 和显式括号。De Morgan 给出 $\neg(A\land B)=(\neg A)\lor(\neg B)$。按位 NOT 仅反转指定宽度，而非未指明的无限表示。

Worked example. OR 的输出经 NOT 反相

已知：$Y=\neg(A\lor B)$。包容性 OR 仅在两个输入均为假时为假；NOT 反转该结果。按行序 $(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$，输出列为 1, 0, 0, 0。De Morgan 给出等价表达式 $(\neg A)\land(\neg B)$。

练习表 4.3 包含难度递增的问题及独立核对的答案。

• An algorithm 算法描述任务的无歧义步骤。解决指定有限任务的程序必须终止，并针对其允许的输入给出所需结果。
• 伪代码 (Pseudocode) 用结构化英语编写，这也是考试通常要求的形式。
• Pseudocode 伪代码表示步骤而无需特定编程语言。追踪前需明确赋值语句、循环边界及索引约定。
• Tracing 追踪算法——以每变量一列、每步骤一行的表格——记录实际更新过程。追踪用于检验选定输入；若声称适用于所有允许输入，还需附加正确性论证。
• Efficiency 效率至关重要：线性搜索可提前终止，但也可能检查全部 n 个元素。二分搜索反复舍弃有序搜索范围的一半；其对数级比较次数依赖于已排序数据及边界约定。

Worked example. 重复取余步骤直至第二个数为零

已知：起始正整数 a=10，b=6。当 b 非零时，计算 r = a MOD b，然后令 a=b，b=r。完整迭代后的数对依次为 (6,4)、(4,2)、(2,0)，输出结果为 2。临时变量 r 在 a 和 b 更新前保存余数。每个非零余数均小于前一个正 b，从而保证终止。

练习表 4.4 包含难度递增的问题及独立核对的答案。

• 图（graph）是由顶点（vertices）通过边（edges）连接而成的集合。它可用于建模任何具有 连接：道路、友谊、依赖关系。
• 对于无自环且无重复边的简单无向图，degree 度统计关联边数。每条边使总度数之和增加 2。
• A tree 树是无环连通图；含 n 个顶点的有限树恰有 n−1 条边。部分层次模型采用树结构，但实际系统也可能包含交叉链接或环。
• shortest path 最短路径问题要求在给定约束下找出两顶点间总权重最小的路径，而非仅比较边数。最小生成树则在不形成环的前提下连接所有顶点，并使所含边总权重最小。

Worked example. 比较路径总权重，而非边数

已知边权：AB=2，BC=3，AC=8，CD=1。路径 A-C-D 权重为 9，而 A-B-C-D 权重为 6。因此尽管三边路径边数更多，但其总权重更短。该小网络的最小生成树选用 AB、BC、CD，总权重为 6；此处总权重相等并不意味着两个任务相同。

练习卷 4.5 包含难度递增的问题及独立核实的解答。