GAC016 数学 III：微积分与进阶应用

平均速度无法告诉你每一个瞬时速度，且带符号的位移并不总是等于总路程。微积分使这些区别变得精确。

GAC016 涵盖微分（differentiation）、积分（integration）及其应用。你所在中心的当前大纲决定了评估任务和评分要求；这些原始练习纸不确立大学学分决定或官方考试模式。

陈述自变量、定义域和单位。记号 $dy/dx$ 是关于 x 的导数；y 上方的点通常表示关于时间的导数。只有当它们的自变量一致时，这些记号才描述相同的运算。

对于应用题，描述速率或累积值在指定模型中的含义。体积变化率为负每秒 3 立方厘米，意味着体积以该速率下降，而不是体积本身为负。

A 导数 is a rate of change: how fast $y$ changes as $x$ changes. Geometrically it is the 切线斜率 at a point.

该极限即为定义。从定义求导（Differentiation from first principles）使用非零 h 的差商，然后取其极限。单侧极限不相等（如 $|x|$ 在零处）会导致即使函数连续也无法求得导数。

• 幂法则（power rule）适用于幂可微的定义域：若 $y = x^n$，则 $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$。
• The 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
• 商法则（quotient rule）适用于 $v\ne0$ 的情况：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$。
• The 链式法则: if $y = f(g(x))$ then $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• 驻点 occur where $f'(x) = 0$. The 二阶导数 then 在驻点非零时对驻点进行判定：负值给出局部极大值（maximum），正值给出局部极小值（minimum）。二阶导数为零时无结论；请使用一阶导数符号或其他证据。驻点拐点既不是极值也不是极小值。

例题。切线斜率不同于割线斜率

已知：$f(x)=x^2$。x 等于 1 和 2 之间的割线斜率为 3，但在 x 等于 1 处的导数为 2。

有限区间上的平均斜率不必等于任一端点的瞬时斜率。

使用原始练习纸 3.1 对照其解答测试方法、定义域和解释。

不定积分寻找原函数。定积分衡量带符号的累积量，这可能与几何面积不同。对于连续被积函数，微积分基本定理（fundamental theorem of calculus）将定积分与其界限处原函数值的差联系起来。

• An 不定积分 has no limits and needs the 积分常数: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ for $n \neq -1$.
• 定积分 (definite integral) 有上下限，结果为一个数值： $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• integration by substitution(换元积分法)是链式法则的逆运算。
• ⚠ 忘记在不定积分中加上 $+c$ 是 模块中最常见的失分点，即使其他部分回答正确也会因此丢分。

例题。负面积和正面积可以相互抵消

已知：$f(x)=x$ 从 -1 到 1。其定积分为零，因为负贡献和正贡献相互抵消。

几何面积则是两个三角形区域的大小之和。

使用原始练习纸 3.2 对照其解答测试方法、定义域和解释。

• 最优化 (Optimisation) 寻找某数量的最大值或最小值：将该数量 作为单一变量的函数在指定的可行域内，进行微分，找出候选解并论证所需的极值。根据相关性检查包含的边界和整数约束。
• 变化率 (Rates of change) 链式相连：$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$。
• 两曲线间面积（Area between two curves）是 $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$，其中 $f$ 是该整个区间上的上曲线。若顺序改变，请在交点处分段计算。
• 边际成本与边际收益（Marginal cost and revenue）是给定连续成本和收益模型的导数。它们是瞬时速率，而非自动确定的离散单位变化量。

例题。固定周长留有一个可变面积

已知：矩形周长为 20，所以长加宽等于 10。设宽为 x；长为 $10-x$ 且 $0<x<10$。

该驻留候选值为 $x=5$。由于 $A''(x)=-2<0$ 以及定义域两端的面积均趋近于零，此候选值为全局最大值。它是一个边长为 5 × 5 的正方形，面积为 25。

使用原始练习纸 3.3 对照其解答测试方法、定义域和解释。