GAC004 数学 I：基础

价格下跌 20% 后上涨 20%，最终不会回到初始值。数学 I 课程帮助你运用方法、单位和清晰的解释来阐明此类结果。六个单元涵盖了算术、代数、图表、几何、三角学和指数模型。

您所在中心的当前评估简报是任务要求、权重、允许使用的工具及截止日期的权威依据。课堂测验 课堂测验需在规定的课堂条件下完成。项目 项目可能涉及收集数据、计算和报告；考试 考试和 平时作业 平时作业可能有不同的指示。请勿从这些练习纸中推断出官方评估模式。

术语记录本 术语记录本可用于记录英文术语、用自己的话表述的含义以及一个小例子。如果该记录本需提交或评估，请遵循您所在中心的指示。

阅读 指令词 指令词：solve（求解） 要求找出满足条件的值，simplify（化简） 要求得出等价表达式，justify（论证） 要求提供理由。展示有效的方法以便读者核对结果是如何得出的。每项任务的评分标准决定了其分值。

附带的六张练习纸是基于 GAC004 原创的材料，并非官方试卷。它们的解答根据明确的数学步骤给分，而非书面报告的篇幅。

后续每个单元都假设掌握数字词汇。

整数 整数是自然数，包括负整数和零。有理数 有理数可以 写成两个整数之比且分母不为零；无理数 无理数则不能，且 $\pi$ 和 $\sqrt{2}$ 是标准示例。质数 质数是大于 1 的正整数，恰好有两个正因数，即它本身和 1。

运算顺序 确定了书面表达式的含义：先括号，然后 指数，然后是乘法和除法，最后是加法和减法，从左到 在某个级别内。

• 因数（factor）能整除一个数；倍数（multiple）是当你将 乘以它。6是24的因数，且24是6的倍数。
• 最大公因数（HCF） 和 最小公倍数（LCM） 来自质因数：$24 = 2^3 \times 3$ 和 $36 = 2^2 \times 3^2$，因此最大公约数是 $2^2 \times 3 = 12$ 和最小公倍数是 $2^3 \times 3^2 = 72$。
• 百分比（percentage）是分母为 100 的分数。增加 15% 相当于乘以 $1.15$；减少 15% 相当于乘以 $0.85$。逆转百分比变化意味着 除法，绝不再减去相同的百分比。
• 有效数字 有效数字是保留用于表达指定精度的数值位数。它们本身并不能确定测量的准确度。$0.004\,072$ 保留三位 有效数字为 $0.004\,07$。
• 科学记数法 科学记数法将数字写为 $a \times 10^n$ 的形式，其中 $1 \le |a| < 10$ 表示非零数，n 为整数。它是如何 计算器显示一个非常大或非常小的答案。

工作示例。 下降和上升使用不同的基数

已知：虚构的价格为 80 单位，先下降 20%，然后上升 20%。为什么要使用连续乘数？每次变化都是基于当前价格计算的。

价格并未回到 80。下降幅度为 16，而随后的上升幅度为 12.8，因为基数不同。

继续完成练习纸 1.1。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

代数是带有代表数字的字母的算术，它有自己的一套词汇。

在 $5x^2 - 3x + 7$ 中，整体是一个 表达式；$5x^2$、$-3x$ 和 $7$ 是它的 terms 项；5 是 $x^2$ 的 coefficient 系数；而 7 是一个 constant 常数。

一个方程表示两个表达式相等，并用于求解某个值。一个恒等式 恒等式在其定义域内的所有值上都成立。不等式 不等式通过 $<$ 比较两个表达式， $\le$、$>$ 或 $\ge$。

⟦展开⟧ 是指去掉括号；⟦因式分解⟧ 是指将它们重新组合。

• 解一元一次方程意味着对等式两边执行相同的运算，直到 该字母单独出现。
• 一元二次方程 一元二次方程具有 $ax^2+bx+c=0$ 的形式，其中 $a\ne0$。合适时进行因式分解，或使用 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
• 联立方程 联立方程是指两个含有两个未知数的方程，通过代入法求解 或通过消元法求解。对于两个线性方程，唯一解是其交点。平行不重合的直线无解；重合的直线有无穷多解。
• ⚠ 当你将不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向反转。 只有当因数为零时，乘积才为零，所以 $-2x > 6$ 或 $x < -3$。将两者代回原方程是检查的方法，这只需十秒钟。

工作示例。 除以负数时反转不等号

已知：求解 $7-3x>1$。两边同时减去 7，然后除以负 3。最后一步运算会反转不等号。

空心圆排除了 2。检查 $x=1$：$7-3(1)=4>1$；边界 $x=2$ 使等式成立，因此被排除。

继续完成练习纸 1.2。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

图形将方程转化为图像，而坐标几何则用于测量该图像。

非垂直直线可写为 $y = mx + c$ 的形式，其中 $m$ 是 斜率 斜率，$c$ 是 y-intercept y 轴截距。斜率等于纵坐标变化量除以横坐标变化量。

• 不同的非垂直直线当斜率相等时为 平行 平行线。两条非垂直直线当斜率之积等于 $-1$ 时为 垂直 垂直线。垂直直线的斜率未定义；垂直线与水平线互相垂直。
• 线段的中点是端点的平均值，而距离 两点之间的距离源于勾股定理：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
• 二次函数的图像是一条抛物线。其顶点是转折点，且该 根 根是曲线与 $x$-轴相交处的 x 值，即 $y=0$ 的解。重根接触但不穿过坐标轴；某些二次方程没有实根。
• 要图形化求解两个方程，绘制两者并读取交点的坐标 交点。答案的准确度仅取决于绘图精度，因此代数 检查事项。

工作示例。 经过两个给定点的上升直线

已知：$A=(1,2)$ 和 $B=(4,8)$。由于直线非垂直，应使用斜率公式计算。

直线方程为 $y=mx+c$。代入点 A 求截距。

因此 $y=2x$。图中水平变化量为 3，垂直变化量为 6。

继续完成练习纸 1.3。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

平面几何涉及平面形状，立体几何涉及三维形状，欧几里得几何是连接它们的推理。 欧几里得几何是将它们联系起来的推理。

直线上的角度之和为$180°$，围绕一点的角度之和为$360°$，以及内部 平面欧几里得三角形的内角之和为 $180°$。对于边数为 $n$ 的简单 多边形 多边形，其内角之和为 到 $(n - 2) \times 180°$。

• 全等 全等形状在大小和形状上完全相同；相似 相似形状具有 形状相同，所有长度成同一比例。
• 勾股定理 holds in a right-angled triangle: $a^2 + b^2 = c^2$, where $c$ 是 hypotenuse（斜边）。
• 面积 用平方单位测量，体积 用立方单位测量。圆柱体具有 体积 $\pi r^2 h$；球体的体积为 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$，表面积为 $4\pi r^2$。
• ⚠ 缩放不是线性的。如果一个立体图形的每条长度都加倍，其面积将乘以 $2^2 = 4$ 及其体积由 $2^3 = 8$。

工作示例。 三棱柱具有恒定横截面

已知：直角三角形两直角边分别为 3 和 4 cm；棱柱长度为 10 cm。求横截面积，然后乘以棱柱长度。

倾斜的三角形边长不是其垂高。体积不等于三角形端面的面积。

继续完成练习纸 1.4。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

三角函数将三角形的角度与其边长联系起来。

在直角三角形中，设$\theta$为其中一个锐角，则三个比值为 $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ 和 $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

对于非退化的平面欧几里得三角形，适用 正弦定理 正弦定理和 余弦定理 余弦定理：

• 角度可以用度或弧度来测量，其中 $\pi$ 弧度是 $180°$。在每道题之前，请检查计算器的模式。
• 单位圆 extends the ratios beyond $90°$ and explains why $\sin$ and $\cos$ repeat every $360°$: they are periodic.
• 方位角 is measured clockwise from north and always written with three figures, such as $075°$.
• 仰角与俯角 仰角与俯角分别从水平面向上和向下测量。如果答案需要高于地面的高度，请加上观测者或仪器的高度。当已知“边-边-角”数据时，正弦定理可能对应两个三角形：请将两个互补角分别与剩余角度之和进行比对。

工作示例。 利用水平距离和角度求高度

已知：水平距离 $d=12$ m 和仰角 $\theta=30^\circ$。高度 h 位于对边，d 位于邻边，因此在度数模式下使用正切函数。

这是相对于观测者水平视平线的高度，并不自动等同于离地高度。

继续完成练习纸 1.5。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。

这两个函数描述了增长和衰减，并且互为逆运算。

指数函数 指数函数的形式为 $y=a^x$，其中 $a>0$ 和 $a\ne1$：变量位于 指数 指数位置。每增加一个单位步长，其值乘以 a。当 $a>1$ 时增长，当 $0<a<1$ 时衰减。其 y 轴截距为 1，且值始终为正；x 轴是一条水平渐近线。

A 对数 answers the reverse question. $\log_a y = x$ means exactly $a^x = y$, so $\log_{10}1000=3$。对于实数对数，真数必须为正，底数必须为正且不等于 1。图 $y=\log_a x$ 经过点 $(1,0)$，且具有垂直渐近线 $x=0$。

• 当真数为正且底数相同时，运算法则将乘法转化为加法，这正是对数之所以有用的原因，尤其适用于 求解未知数在指数中的方程。
• 自然对数 use the base $e \approx 2.718$ and are written $\ln$.
• 复利 is exponential: $A = P(1 + r)^n$ after $n$ periods.
• 指数衰减 指数衰减的底数介于 0 和 1 之间，可以在特定假设下描述每个周期的留存比例。但这并不保证真实过程会无限期地遵循该模型。

工作示例。 重复减少是相乘而不是减去固定金额

已知：虚构的数量起始于 100 单位，每个完整周期减少 20%。留存比例为 0.8，因此使用乘法模型。

第一次减少 20 单位，第二次减少 16 单位。如果每个周期固定减去 20，则是另一种模型。

继续完成练习纸 1.6。请先解题再查看答案，并核对方法与最终单位。