力与平动动力学

学习标准 2.1.A： 描述系统的性质及相互作用。

• 2.1.A.1 系统的性质由系统内物体之间的相互作用决定。
• 2.1.A.2 如果构成系统的各物体的性质或相互作用在建立宏观系统行为模型时不重要，则该系统本身可被视为一个单一物体。
• 2.1.A.3 系统可能允许系统组成部分与环境之间发生相互作用，这可能导致能量或质量的转移。
• 2.1.A.4 选定系统中的单个物体彼此之间以及相对于整个系统而言，其行为可能各不相同。
• 2.1.A.5 系统的内部结构会影响对该系统的分析。
• 2.1.A.6 当系统外部的变量发生变化时，系统的子结构可能会改变。

学习标准 2.1.B： 描述系统质心的位置与系统组成部分之间的关系。

• 2.1.B.1 对于质量分布对称的物体或系统，其质心位于对称轴上。
• 2.1.B.2 系统中质心沿给定轴的位置可通过以下公式计算：
  • 公式： $\vec{x}_{\text{cm}} = \dfrac{\sum m_i \vec{x}_i}{\sum m_i}$
• 2.1.B.3 对于非均匀固体（可视为微元质量 $dm$ 的集合），其质心可通过以下公式计算：
  • 公式： $\vec{r}_{\text{cm}} = \dfrac{\int \vec{r}\, dm}{\int dm}$
    • 2.1.B.3.i 杆或其他线性刚体的线密度是该刚体上微元质量元素位置对杆质量的导数。
      • 公式： $\lambda = \dfrac{d}{d\ell} m(\ell)$
    • 2.1.B.3.ii 若给出固体的质量密度函数，可通过对该固体的长度（一维）、面积（二维）或体积（三维）积分质量密度来确定总质量。例如：
      • 公式： $M_{\text{total}} = \int \rho(r)\, dV$
• 2.1.B.4 系统可被建模为位于系统质心处的单一物体。

学习标准 2.2.A： 将力描述为两个物体或系统之间的相互作用

• 2.2.A.1 力是矢量，用于描述物体或系统之间的相互作用。
  • 2.2.A.1.i 施加在某个物体或系统上的力，始终源于该物体或系统与另一个物体或系统的相互作用。
  • 2.2.A.1.ii 一个物体或系统不能对自己施加净力。
• 2.2.A.2 接触力描述了物体或系统与另一个物体或系统相互接触时的相互作用，它是原子间电场力的宏观表现。

学习标准 2.2.B： 使用受力分析图描述作用在物体或系统上的力

• 2.2.B.1 受力分析图是一种有用的工具，可用于直观展示作用在单个物体或系统上的力，并确定代表物理情境的方程。
• 2.2.B.2 物体或系统的受力分析图显示了环境对该物体或系统施加的每一个力。
• 2.2.B.3 作用在物体或系统上的力被表示为从质心表示（如一个点）出发的矢量。系统将被视为所有质量都集中在质心上。
• 2.2.B.4 建立其中一个坐标轴平行于物体或系统加速度方向的坐标系，可以简化从受力分析图到代数表达式的转换。例如，在斜面上物体的受力分析图中，设置一个坐标轴平行于斜面表面是很有用的。

边界声明：AP 物理 C：力学和 AP 物理 C：电与磁仅要求学生描绘作用在物体上的力，而不要求在受力分析图上绘制力的分量。在 AP 物理考试中，受力分析图上表示的单个力必须画成单独的直箭头，起点位于点上，方向指向力的方向。方向相同的单个力必须并排绘制，不得重叠。

学习目标 2.3.A： 使用牛顿第三定律以及作用在两个物体或系统上的成对力的图示，描述两个物体或系统之间的相互作用。

• 2.3.A.1 牛顿第三定律通过每个物体施加给对方的成对力来描述两个物体或系统之间的相互作用。
  • 公式： $\vec{F}_{\text{A on B}} = -\vec{F}_{\text{B on A}}$
• 2.3.A.2 系统内物体之间的相互作用（内力）不会影响系统质心的运动。
• 2.3.A.3 张力是绳子、缆绳、链条或类似系统中的微小段在受到外力作用时彼此施加的力的宏观合力结果。
  • 2.3.A.3.i 理想绳子质量可忽略不计，且在受张力时不发生伸长。
  • 2.3.A.3.ii 理想绳子内部各点的张力大小相同。
  • 2.3.A.3.iii 对于质量不可忽略的绳子，其内部各点的张力可能不同。
  • 2.3.A.3.iv 理想滑轮是指质量可忽略不计，且绕穿过其质心的轴旋转且摩擦力可忽略不计的滑轮。

学习目标 2.4.A： 描述系统速度保持恒定的条件。

• 2.4.A.1 作用在系统上的合力是所有作用于该系统上力的矢量和。
• 2.4.A.2 平动平衡是指一种受力配置，使得作用在系统上的合力为零。
  • 导出方程： $\sum \vec{F}_i = 0$
• 2.4.A.3 牛顿第一定律指出，如果作用在系统上的合力为零，则该系统的速度将保持恒定。
• 2.4.A.4 力可能在某一维度上相互平衡，但在另一维度上不平衡。只有在不平衡力所在的方向上，系统的速度才会发生改变。
• 2.4.A.5 惯性参考系是指观察者可以在其中验证牛顿运动第一定律的参考系。

学习目标 2.5.A： 描述系统速度发生变化的条件。

• 2.5.A.1 非平衡力是指一组力，使得作用在系统上的合力不为零。
• 2.5.A.2 牛顿运动第二定律指出，系统质心的加速度大小与作用在该系统上的合力大小成正比，且方向与合力方向相同。
  • 公式： $\vec{a}_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \vec{F}}{m_{\text{sys}}} = \dfrac{\vec{F}_{\text{net}}}{m_{\text{sys}}}$
• 2.5.A.3 只有当系统受到非零的净外力作用时，其质心的速度才会发生改变。

学习目标 2.6.A： 描述具有质量的两个物体或系统之间的引力相互作用。

• 2.6.A.1 牛顿万有引力定律描述了两个物体或系统之间的引力，该力与它们各自的质量成正比，与两系统质心之间距离的平方成反比。
  • 公式： $\left| \vec{F}_g \right| = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$
  • 2.6.A.1.i 引力是吸引力。
  • 2.6.A.1.ii 引力始终沿着连接两个相互作用系统质心的直线作用。
  • 2.6.A.1.iii 作用于一个系统的引力可以被视为作用于该系统的质心上。
• 2.6.A.2 场模型用于描述非接触力在空间中不同位置对物体产生的影响。
  • 2.6.A.2.i 质量为 $M$ 的系统在空间某点产生的引力场的大小，等于该系统对质量为 $m$ 的测试物体施加的引力与该测试物体质量之比。
    • 推导公式： $\left| \vec{g} \right| = \dfrac{\left| \vec{F}_g \right|}{m} = G \dfrac{M}{r^2}$
  • 2.6.A.2.ii 如果引力是唯一作用于物体的力，则物体观察到的加速度（单位 $\text{m/s}^2$）在数值上等于该位置引力场强度（单位 $\text{N/kg}$）的大小。
• 2.6.A.3 天体对附近相对较小物体施加的引力称为重量（重力）。
  • 推导公式： $\text{Weight} = F_g = mg$

学习目标 2.6.B： 描述引力可被视为恒定的情况。

• 2.6.B.1 如果两系统质心间的引力在两系统相对位置变化时变化可忽略不计，则该引力可被视为在系统初始位置和最终位置之间的所有点上恒定。
• 2.6.B.2 在地表附近，引力场强度为
  • 公式： $g \approx 10\ \text{N/kg}$

学习目标 2.6.C： 描述系统视重大小与作用于该系统的引力大小不同的条件。

• 2.6.C.1 系统的视重大小等于作用于该系统的法向力的大小。
• 2.6.C.2 如果系统正在加速，则系统的视重不等于作用于该系统的引力大小。
• 2.6.C.3 当没有力作用于系统，或者引力是唯一作用于系统的力时，系统表现为失重状态。
• 2.6.C.4 等效原理指出，在非惯性参考系中的观察者无法区分物体的视重和引力场对该物体施加的引力。

学习目标 2.6.D： 描述惯性质量和引力质量。

• 2.6.D.1 物体具有惯性质量（或惯性），这是一种属性，决定了物体在与另一物体相互作用时其运动抵抗变化的程度。
• 2.6.D.2 引力质量与具有质量的两个系统之间的吸引力有关。
• 2.6.D.3 实验验证表明，惯性质量和引力质量是等效的。

学习目标 2.6.E： 描述均匀球对称质量分布对物体施加的引力。

• 2.6.E.1 均匀球对称质量分布对物体施加的净引力，是由构成该分布的微小微分质量所产生的各个引力的矢量和。
• 2.6.E.2 牛顿壳层定理描述了均匀球壳质量对物体施加的净引力。
  • 2.6.E.2.i 作用于薄球壳内部物体的净引力为零。
  • 2.6.E.2.ii 作用于薄球壳外部物体的净引力可以通过将壳层视为位于壳层中心的一个大质量物体来确定。
  • 2.6.E.2.iii 均匀密度球体内部的物体仅受到球体部分质量的净引力作用。
  • 2.6.E.2.iv 对球体内物体产生净引力的球体部分质量，是指位于距球心距离小于或等于物体到球心距离范围内的球体质量部分，可利用球体的密度进行计算。
    • 推导公式： $m_{\text{partial}} = \rho \dfrac{4}{3} \pi \left( r_{\text{partial}} \right)^3$
• 2.6.E.3 均匀球体内部物体所受的引力与其到球心的距离成正比。
  • 推导公式： $F_{g,\text{partial}} = -k r_{\text{partial}}$

边界说明：AP物理C：力学不要求学生通过数学方法证明或推导牛顿壳层定理。

学习目标 2.7.A： 描述两个表面之间的动摩擦力。

• 2.7.A.1 当两个相互接触的表面发生相对运动时，就会产生动摩擦力。
  • 2.7.A.1.i 动摩擦力的方向与每个表面相对于另一个表面的运动方向相反。
  • 2.7.A.1.ii 两个表面之间的摩擦力大小不取决于接触面积的大小。
• 2.7.A.2 作用在物体上的动摩擦力的大小等于表面对物体的法向力与动摩擦因数的乘积。
  • 公式： $\left| \vec{F}_{f,k} \right| = \left| \mu_k \vec{F}_N \right|$
  • 2.7.A.2.i 动摩擦因数取决于相互接触的表面的材料属性。
  • 2.7.A.2.ii 法向力是表面对物体施加的力的垂直分量；其方向背离表面。

学习目标 2.7.B： 描述两个表面之间的静摩擦力。

• 2.7.B.1 当两个物体的接触面之间没有相对运动时，可能会产生静摩擦力。
• 2.7.B.2 静摩擦力会取所需的大小和方向，以防止物体在表面上滑动或滑移。
  • 公式： $\left| \vec{F}_{f,s} \right| \leq \left| \mu_s \vec{F}_n \right|$
  • 2.7.B.2.i “滑动”和“滑移”指两个表面相互移动的情况。
  • 2.7.B.2.ii 存在一个最大静摩擦力值，超过该值时静摩擦力将无法防止物体在给定表面上滑动。
    • 推导公式： $F_{f,s,\text{max}} = \mu_s F_N$
• 2.7.B.3 对于给定的两个表面，静摩擦因数通常大于动摩擦因数。

学习目标 2.8.A： 描述理想弹簧对物体施加的力。

• 2.8.A.1 理想弹簧的质量可忽略不计，且其施加的力与相对于松弛长度的长度变化量成正比。非理想弹簧要么具有不可忽略的质量，要么其施加的力与相对于松弛长度的长度变化量不成正比。
• 2.8.A.2 理想弹簧对物体施加的力的大小由胡克定律给出：
  • 公式： $\vec{F}_s = -k \Delta \vec{x}$
• 2.8.A.3 弹簧对物体施加的力始终指向物体–弹簧系统的平衡位置。

学习目标 2.8.B： 描述多个弹簧组合对物体施加力时的等效劲度系数。

• 2.8.B.1 一组对物体施加力的弹簧，其整体行为可能类似于一个具有等效劲度系数 $k_{\text{eq}}$ 的单根弹簧。
  • 2.8.B.1.i 串联弹簧组的等效劲度系数的倒数等于各单个弹簧劲度系数倒数之和。
    • 推导公式： $\dfrac{1}{k_{\text{eq, series}}} = \sum_i \dfrac{1}{k_i} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2} + \dots$
  • 2.8.B.1.ii 串联弹簧组的等效劲度系数小于其中最小的单个弹簧劲度系数。
  • 2.8.B.1.iii 并联弹簧组的等效劲度系数等于各单个弹簧劲度系数之和。
    • 推导公式： $k_{\text{eq, parallel}} = \sum_i k_i = k_1 + k_2 + \dots$

边界说明： AP Physics C: Mechanics（大学物理C：力学）仅要求学生计算串联或并联排列的弹簧系统的等效劲度系数，不要求学生计算弹簧同时以串联和并联方式混合排列的系统的等效劲度系数。

学习目标 2.9.A： 描述受阻力作用的物体的运动。

• 2.9.A.1 阻力被定义为一种与物体速度方向相反的、依赖于速度的力，例如：
  • 公式： $\vec{F}_r = -k\vec{v}$
• 2.9.A.2 将牛顿第二定律应用于受阻力作用的物体会得到一个关于速度的微分方程。
  • 2.9.A.2.i 使用分离变量法，通过对适当的积分限进行积分可以确定速度。
  • 2.9.A.2.ii 一旦确定了速度函数，就可以利用物体的初始条件和微积分方法来确定受速度相关力作用的运动物体的加速度或位置。
  • 2.9.A.2.iii 在形式为 $\vec{F}_r = -k\vec{v}$ 的阻力作用下，物体的位置、速度和加速度随时间变化的函数是指数形式的，其渐近线由物体的初始条件和作用于物体上的力决定。
• 2.9.A.3 终端速度（收尾速度）定义为物体在恒定力和方向相反的阻力共同作用下所能达到的最大速度。当作用于物体的合力为零时，达到终端状态。

学习目标 2.10.A： 描述物体沿圆形路径运动的特性。

• 2.10.A.1 向心加速度是物体加速度中指向其圆形路径中心的那个分量。
  • 2.10.A.1.i 沿圆形路径运动的物体的向心加速度大小，等于该物体切向速度的平方与圆形路径半径的比值。
    • 公式： $a_c = \dfrac{v^2}{r}$
  • 2.10.A.1.ii 向心加速度的方向指向物体圆形路径的中心。
• 2.10.A.2 做圆周运动的物体所受的向心加速度可能由单个力、多个力或力的分量引起。
  • 2.10.A.2.i 在竖直圆形环的最高点，物体需要达到最小速度才能维持圆周运动。在该位置且以该最小速度运动时，重力是唯一产生向心加速度的力。
    • 推导公式： $v = \sqrt{gr}$
  • 2.10.A.2.ii 静摩擦力和支持力的分量可以共同作用，为在倾斜面上做圆周运动的物体提供产生向心加速度的合力。
  • 2.10.A.2.iii 圆锥摆所受张力的一部分贡献于产生向心加速度的合力。
• 2.10.A.3 切向加速度是物体速率变化的快慢，其方向与物体的圆形路径相切。
• 2.10.A.4 做圆周运动的物体的合加速度是向心加速度和切向加速度的矢量和。
• 2.10.A.5 以恒定速率（匀速圆周运动）沿圆形路径运动的物体的公转周期可以用周期和频率来描述。
  • 2.10.A.5.i 完成一次完整圆周路径、一次完整旋转或一次完整振荡运动所需的时间定义为周期，记作 $T$。
  • 2.10.A.5.ii 物体完成公转的速率定义为频率，记作 $f$。
    • 公式： $T = \dfrac{1}{f}$
  • 2.10.A.5.iii 对于以恒定速率沿圆形路径运动的物体，其周期可由以下推导公式给出：
    • 推导公式： $T = \dfrac{2\pi r}{v}$

学习目标 2.10.B： 使用开普勒第三定律描述圆形轨道。

• 2.10.B.1 对于绕中心天体做圆形轨道运行的卫星，其向心加速度仅由万有引力引起。圆形轨道的周期和半径与中心天体的质量有关。
  • 推导公式： $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} R^3$

边界声明：AP物理C：力学考试不要求学生掌握开普勒行星运动第一定律和第二定律。